二次函數(shù)壓軸題40個問題

中考復(fù)習(xí)之二次函數(shù)壓軸40個問題主要題型：二次函數(shù)之面積問題二次函數(shù)之特殊三角形的存在性問題二次函數(shù)之特殊四邊形的存在性問題二次函數(shù)之線段最值問題二次函數(shù)之角度問題題目：如圖,拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，OB＝OC＝３，OA＝１，頂點為D第1問.如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D.求二次函數(shù)的解析式；解:設(shè):設(shè)二次函數(shù)解為=a(+1)(-3)將(0,3)代入得a=-1,故二次函數(shù)解析式為=-+2+3第2問.如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1.頂點為D判斷BCD的形狀；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=3,CD=,BD=2,BC+CD=BD,故BCD是直角三角形；方法二:K=1,K=-1,K?K=-1,故CDCB,所以BCD是直角三角形；第3問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1.頂點為D,四邊形ABDC的面積解:BC:=-+3,鉛垂法:E(1,2)DE=2,S=?2?3=3S=?4?3+3=9第4問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與交于點C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D,P為直線BC上方拋物線上一點,求PBC面積最大值及P點坐標(biāo)；解:方法一:設(shè)P(m,-m+2m+3)S=?3?[-m+2m+3-(m+3)]=(-m+3m),當(dāng)m=時,S有最大值,此時P(,)S=方法二:平移BC至拋物線相切時,面積可取最大值設(shè)切線為=-+n,與拋物線=-+2+3聯(lián)立得-3+n-3=0,=0,n=,=,故P(,)S=第5問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D5點M為BC上方拋物線上一點,過點M作軸的平行線交BC于點N,求MN的最大值；解:設(shè)點M(m,-m+2m+3),BC:=-+3,則點N(m,-m+3)MN=-m+2m+3-(-m+3)=-m+3m當(dāng)m=時,MN=第6問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OC=3,OA=1,頂點為D,在對稱軸上找一點P,使ACP的周長最小,并求出最小值解:點A、B關(guān)于對稱軸對稱,連接BP,則BP=AP,PA+PC=PB+PC,當(dāng)點B、P、C三點共線時,可取最小值,此時P(1,2),ACP周長的最小值為+3第7問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D在軸上找一點E,使BDE為直角三角形,求出E點坐標(biāo),方法一:1.DEBE時,設(shè)E(0,m)易知DEF~EBO,=,即=,m=3或1,故E(0,1)、E(0,3)DEDB時,設(shè)E(0,m)易知DEN~BDM,=,即=,m=故E；(0,)DBBE時,設(shè)E(0,m),易知DBF~BEG,=,即=,m=-,故E(0,-)第8問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D在軸上找一點F,使BDF為等腰三角形,求出F點坐標(biāo)；BD=DF,設(shè)F(0,m),=2,m=4+或4-,F(0,4+);F(0,4-)2.BD=BF,設(shè)F(0,m),=2,m=,F(0,),F(0,-)3.DF=BF,設(shè)F(0,m),=,m=1,F(0,1)第9問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D求拋物線上一點N,使S=S；解:設(shè)N點的坐標(biāo)(m,n),則ABC與ABN底相同,故n=3,-m+2m+3=3或者-m+2m+3=3得m=0,m=2,m=1-,m=1+,N(0,3),(2,3),(1-,-3),(1+,-3)第10問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D,在拋物線上找一點Q,使S=S解:設(shè)Q(m,-m+2m+3),S=,BD：=-2+6,鉛垂高QS=|-m+2m+3-(-2m+6)|S=|-m+2m+3-(-2m+6)|??1=得m=0或4Q(0,3),(4,-5),第11問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.在拋物線上找一點E,使BE平分ABC的面積；解:BE平分ABC的面積,故BE經(jīng)過AC的中點,AC中點(-,),BE:=-+;與拋物線聯(lián)立得-+2+3=-+=-或,E(-;)或(；)第12問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.在對稱軸上找一點M,使|MB-MC|取最大值,并求出最大值；解:點B關(guān)于對稱軸對稱的點A,連接MA,則MB=MA,MA-MC<AC,當(dāng)點A、C、M共線時,|MB-MA|=AC=,AC:=3+3,M(1,6)第13問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.M、N為對稱軸上的兩點(M在N點上方),且MN=1,求四邊形ACNM周長的最小值；解:A關(guān)于對稱軸對稱的點B,連接BN,則BN=AN,將點向下平移1個單位得C’、N,則C’N=CM,故CM+BN=C’N+BN,當(dāng)C’、N、B共線時,取最小值(CM+BN)=,故ACNM周長得最小值為1++第14問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.E在拋物線對稱軸上,在拋物線上找一點F,使得點四邊形ACFE為平行四邊形；解:設(shè)E(1,m)F(n,-n+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A平行至點C與E平移至點F,n=1+1=2,m+3=-n+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.M為軸上一點,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點N,使A、C、M、N為頂點的四邊形為菱形；解:當(dāng)ACM為等腰三角形時,問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題1.ACNM為菱形時,M(0,3),N(1,0),2.AMCN為菱形時,M(0,),N(-1,),3.ACMN為菱形時,M(0,3+),N(-1,)4.ACMN為菱形時,M(0,3-),N(-1,-)第16問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.E為軸上一點,以BE為邊的正方形BEFG；另一點G在拋物線上,求點F坐標(biāo)；設(shè)E(m,0)則EF=|-m+2m+3|由EF=EB得3-m=|-m+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.P是拋物線上任意一點,過點P作PE軸于點E,交直線BC于點G；過點G作GF軸,連接EF,求EF的最小值；連接OG,則OG=EF,當(dāng)OGBC時,OG最小,即EF最小,故EF=第18問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.M在拋物線上CB上方一點過點M作軸的平行線,交BC于點E,則ME的最大值是多少?解:設(shè)M(m,-m+2m+3),BC:=-+3,E(m,3-m),ME=-m+2m+3-(3-m)=-m+3m,當(dāng)m=時,ME=第19問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.求一點P,使POC=PCO；解:點P在OC得垂直平分線上,-+2+3=,=1P(1-,)P(1+,)第20問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.E(2,-2),M為軸上一點,且EMO=CMO；1.M在右側(cè)時,易知CMO~EMG,設(shè)M(m,0)則有=,m=62.M在左側(cè)時,同理易知CMO~EMG,=,m=6(舍)第21問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.P是直線=上的動點,當(dāng)直接=平分APB時,求點P的坐標(biāo)；如圖,PAOPEO,此時OE=OA=1,故E(0,-1),EB：=-1,與=得=-,P(-,-)第22問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.點P在拋物線上,且ABP=CBD,求P坐標(biāo)；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tanCBD=,故tanPBO=,OE=1或者OF=1,PB：=-+1或且=-1,聯(lián)立可得P(-,)P(-,-)第23問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.在拋物線上找一點P,使ACP=45；方法1:OCB=ACP=45,得ACO=ECB,故tanECB=,作EHBC,設(shè)BH=m,則EH=m;CH=3m,故4m=3,m=,E(,0)故CE:=-2+3,聯(lián)立得P(4,-5)方法2:由12345模型得tanECO=得E(,0)第24問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.P在拋物線上,DBP=45；由tanCBD=,CBD+CBP=45,而PBO+CBP=45,故tanPBO=,BP:=-+1,P(-,)第25問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.點P在拋物線上,PCB=15,求點P的坐標(biāo)；解:由BCO=45得PCO=30或PCO=60,故PC:=-+3或=-+3聯(lián)立得P(2+,-2)P(2+,)第26問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.直線=-1與軸交于點E,求EBC-CBD；由tanDBC=tanEBO=,故EBC-CBD=45第27問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D1.過點P(3,0)作直線與拋物線交于F、G、FM、GN分別垂直于軸,求PM,PN；設(shè)F(,)G(,),直線=(+3)與拋物線=-+2+3聯(lián)立得+(-2)+3-3=0;+=2-,=3-3,PMPN=(+3)(+3)=+3(+)+9=12第28問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DP是第一象限拋物線上,PEAB,求的值,若PE=AEBE,求P點坐標(biāo)設(shè)P(m,-m+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,=,(m+1)(3-m)=(-m+2m+3)得m=1+,P(1+,1)第29問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DM為直線=上的點,N(0,-1),求BM+MN的最小值,過點B作I軸,MHI,MBH=60,MH=BM,BM+MN=MH+MN,當(dāng)N、M、H共線且垂直于I時取最值(BM+MN)min=3第30問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DM為直線=上的點,求BM+OM的最小值過點B作I:=-3,MHI,MBH=30,MH=BH,BH+OM=MH+OM,當(dāng)Q、M、H共線且垂直于I時取最值(BM+MN)min=第31問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DM為直線=上的點,求BM+OM的最小值過點B作I,I與直線MN夾角45,MHI,MBH=45,MH=BM,BM+OM=MH+OM,當(dāng)Q、M、H共線且垂直于I時取最值兩著色三角形相似,得cos15=,(BM+MN)min=第32問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為D在AB上是否存在點M,使CM+BM取最小值.過點B作I,I與軸夾角為30,MH=BM,BM+CM=MH+CM,當(dāng)C、M、H共線且垂直于I時取最值(BM+CM)min=第33問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DM是拋物線上一點,作MH軸,交BC于點E,當(dāng)ME:EH=3:2時,求M點的橫坐標(biāo),設(shè)M(m,-m+2m+3),則E(m,3-m),ME=-m+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2即有-m+2m+3-(3-m)=(3-m)m=第34問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DP是拋物線上一點,且PAB=2CBD,求P點坐標(biāo).tanCBD=,tanPAB=tan2CBD=(12345模型)設(shè)P(m,-m+2m+3)(1)tanPAB==,m=,P(,)(2)tanPAB==,m=,P(,)第35問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DF(1,)直線=,(1)證明:M上任意一點到直線=距離等于到F點的距離,M(m,-m+2m+3),MH=-(-m+2m+3)=m-2m+MF==m-2m+,故MH=MF第36問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DF(1,)直線=,(2)證明:N(2,-1)M為拋物線上一點,求NM+MF的最小值由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=第37問:如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于C,OB=OC=3,OA=1,頂點為DBAC的角平分線交軸于點M,繞點M作直線I,與軸交于點E,與A交于點F,求證:+為定值過點M、F、C作軸