2022屆高三數(shù)學(xué)第4章 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1?考查形式從高考題型、題量來看，一般有兩種方式：二個小題或一個小題另加一個解答題,考點(diǎn).正?.余弦定理1171113lift117IIU7mn[17R6ID鶯hfiliaID1?Um?.二角恒等噸換TT915I16HI5114II10[9112T9112]]7川141?IflO—肅顒數(shù)的圖獄耳怦質(zhì)UL4I6III15n勺iun1217同対關(guān)系與誘導(dǎo)公戌枉意外的三角隔數(shù)、二珀雷數(shù)的定艾20162017201R20192fl2n20162017201R20192fl2n年粉2?考査內(nèi)容客觀題主要考査三角函數(shù)的定義，圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識.解答題涉及知識點(diǎn)較為綜合?涉及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形知識較為常見.［考試要求］1?了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3?理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.［走進(jìn)教材?步實(shí)嗟礎(chǔ)］回顧知識-恥;舌技能?梳理?必備知識1?角的概念的推廣定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形..?”按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.分類！萬犬I按終邊位置不同分為象限角和軸線角.⑶終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={B|B=a+k?360°,k^Z}?提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．2．弧度制的定義和公式⑴定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角a的弧度數(shù)公式|a|=r(弧長用l表示)角度與弧度的換算①廣二僉訕；②1訕=鬻°弧長公式弧長l=ar扇形面積公式S=2lr=2|a|r2提醒：有關(guān)角度與弧度的兩個注意點(diǎn)⑴角度與弧度的換算的關(guān)鍵是n=180°,在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．3．任意角的三角函數(shù)定義設(shè)角a終邊與單位圓交于P(x,y),則sina=y,cosa=x,tana='(xH0)?x拓展：任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)p(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)0的距離為r,則sin0=右遇a=|，tan0=?(好0)?三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號為正的口訣一全正,二正弦,三正切,四余弦?幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示?正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是(1,0)?如圖中有向線段MP,0M,AT分別叫做角a的正弦線、余弦線和正切線.

［常用結(jié)論］faVP1?象限角第一鑽限角#二象限角第三星附角{fl|2fcTi<a<2fcw+-^,iEZ制2兇tt+號［常用結(jié)論］faVP1?象限角第一鑽限角#二象限角第三星附角{fl|2fcTi<a<2fcw+-^,iEZ制2兇tt+號W<x忒2拆+叭*E2|?|2^r+1r<w<2W+^y,*EZ'.Ju12ku1■普vuc2Air+2tt,AEZ2?軸線角燼邊落在戈軸上的角爍邊蕭在7軸上的角俗迪蓉腔坐標(biāo)柚上的商&flt=A^rtfc￡Z!?激活?必備技能一、易錯易誤辨析（正確的打“J”，錯誤的打“X”）（1）銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.（）⑵角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).（）（3）不相等的角終邊一定不相同.（）⑷若a為第一象限角，則sina+cosa>1.（）［答案］⑴X⑵J⑶X⑷“二、教材習(xí)題衍生1?若0滿足sin0<0,cos0>0,則0的終邊在（）A.第一象限B.第二象限C?第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)［???sin0<0,cos0>0,.?.0的終邊落在第四象限.］

9n2?下列與亍的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()9A?2kn+45°(k￡Z)B?k?360°+4n(kWZ)5nC?k?360°-315°(kGZ)D?kn^^(kGZ)9nn9nnC［???94-=2n+y,???94-與才終邊相同.又角度制與弧度制不可同時混用，故選C?］3?角一225°=弧度，這個角的終邊落在第象限.5n［答案］-Z二4?設(shè)角0的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3)，那么2cos9-sin0=113cosC555?—條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為rad.-5［由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin0=—5，0=5，所以2cos0—sin0=2X5—cosC555?—條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為rad.nn［弦和兩條半徑構(gòu)成等邊三角形，因此這條弦所對的圓心角大小為扌訕?］［細(xì)研器點(diǎn)*突破題型］鉀解惑直去齢□考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角—:.通性通法1.象限角的兩種判斷方法圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為「360°+a(0°WaV360°,kWZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角a，再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角02.求云或n0(nWN*＞所在象限的步驟⑴將0的范圍用不等式(含有k，且k￡Z)表示.兩邊同除以n或乘以n.

e⑶對k進(jìn)行討論，得到一或ne(nWN*)所在的象限.n1?集合杯knWaWkn+才，k^Z>中的角所表示的范圍(陰影部分)是()ABCDnnB［當(dāng)k=2n(n￡Z)時，2nnWaW2nn+$(nEZ),此時a的終邊和05n的終邊相同；當(dāng)k=2n+1(n^Z)時，2nn+nWaW2nn■-(n^Z)，此時a的終5n邊和nWaW亍的終邊相同，故選B.]2?設(shè)e是第三象限角，且cos占=—cose，則ee^)A?第一象限角B?第二象限角C?第三象限角D?第四象限角B[???e是第三象限角，3n.*.n+2kn<e<+2kn，k^Z,e3nne3nn<2<2卜kn，k^Z，e???$的終邊落在第二、四象限,又cos=—cos又cos=—coscos~2<0,e???@是第二象限角.]3?與一2010°終邊相同的最小正角是?150°[與一2010°終邊相同的角可表示為a=—2010°+k?360°，kGZ,又當(dāng)k=6時，a=150°，故與—2010°終邊相同的最小正角為150°?]4?終邊在直線y=、；3x上的角的集合是?|aa=kn+專，k^Z?［終邊在直線y=/x上且在第一象限的角為a=2kn+nn(kWZ),終邊在直線y=J3x上且在第三象限的角為0=2kn+n+-3=(2k、n,、+1)n■■(k^Z)?則終邊在直線y=&x上的角的集合為aa=kn+n，kWZ?.］點(diǎn)評：利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.□考點(diǎn)二扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用｛驅(qū)對訓(xùn)通性通法有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(diǎn)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.⑶在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.［典例1］已知一扇形的圓心角為a,半徑為R，弧長為1.若a=60°，R=10cm,求扇形的弧長1；已知扇形的周長為10cm,面積是4cm2，求扇形的圓心角；若扇形周長為20cm，則當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面積最大？n［解］(1)a=60°=-3rad，TOC\o"1-5"\h\zn10n所以1=a?R=_3X10=—^(cm)?2R+Ra=10，Cr=4，丿R—1，丿由題意得*n,彳。(舍去)或］1l^a?R2=4la=8Ia=^?故扇形圓心角為*rad?由已知得1+2R=20，所以S=21R=2(20—2R)R=10R—R2=—(R—5)2+25，所以當(dāng)R=5cm時，S取得

最大值25cm2,此時l=10cm,a=2rad.［跟進(jìn)訓(xùn)練］A.1?若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.B?C?3D［如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓0的內(nèi)接三角形,2n段AB所對的圓心角NA0B=可，作0M丄AB,垂足為M,在RtAA0M中，A0=r,nza0m=~3,.'.AM^^r,AB=\'3r,.?.l=J3r,由弧長公式得a=r=|r=.'3?]2?已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長是()A.2B?sin2C.2

C.2

sin1D.2sin1C［如圖，ZA0B=2弧度，過0點(diǎn)作0CC［如圖，ZA0B=2弧度，過0點(diǎn)作0C丄AB于C,并延長0C交AB于D?則NA0D=NB0D=1弧度,且ac=2ab=i,在Rt^A0C中,BAC=1sinZAOCsin1’即r=即r=1

sin1’從而AB的長為日”島?故選c?］cm2.3?已知扇形弧長為20cm,圓心角為cm2.挈［由弧長公式l=|a|挈［由弧長公式l=|a|Jwr,_2036得r=i00n=n‘180所以S=2lr=2x20X—=36°.]扇形22nn口考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用口考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用｛多堆探究考向1利用三角函數(shù)的定義求值金通性通迭三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決方法已知角a的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值.方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解.已知角a的一個三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值.方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題.已知角a的終邊所在的直線方程(y=kx，kH0)，求角a的三角函數(shù)值.方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a，ka)，aH0,求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(注意a的符號，對a分類討論)，再利用三角函數(shù)的定義求解.A/［典例2—1］⑴(多選)角a的終邊上一點(diǎn)P(a,2a)(aH0)，則2sina—cosa的值可取(A/B?-普D?-竿(2)若角a(2)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—j3,m)(mH0)，且sin0=，則cos0=(3)若角(3)若角4a的終邊在直線y=—§x上，求sina，cosa和tana的值.A.cos2a>0A.cos2a>0B.cos2aV0(1)CD(2)乎[(1)???p(a,2a)為角a的終邊上一點(diǎn)，且aHO,???當(dāng)a>0時,(1)CD(2)乎[(1)???p(a,2a)為角a的終邊上一點(diǎn)，且aHO,???當(dāng)a>0時,2a2a25=扁=5，cosa==a2+sina=a2+2a2,??2sina—cosa=5a2a2當(dāng)aVO時，sina=—寧，cosa=—魯55??2sina—cosa=—癥5?綜上可知，2sina—cosa=土誓，故選CD?(2)r=.血+3，由sin9=，■―整理得m2=5，則r=J—+3=v'8=2\/2???cos9-T=_衣］2也—4???cos4［解］由題意知tana=—§,①當(dāng)角a終邊落在第二象限，設(shè)角a終邊上一點(diǎn)P(—3,4)，r=5,?sina=45'，cos5'②當(dāng)角a終邊落在第四象限，設(shè)角a終邊上一點(diǎn)P(3，—4)，r=5，sina=5，cosa=5?點(diǎn)評：充分利用三角函數(shù)的定義解題是解答此類問題的關(guān)鍵，對于含字母的方程求解要注意字母的范圍.考向2三角函數(shù)值的符號判斷一迪性通法已知一角的三角函數(shù)值(sina，cosa,tana)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.[典例2—2](1)(2020?全國卷II)若a為第四象限角，則()C.sin2a>0C.sin2a>0D.sin2aV0cosa若sina?tanaV0,且V0,則角a是()tanaA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角若sinxV0,且sin(cosx)>0,則角乂是()A?第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角D(2)C(3)D[(DTa是第四象限角，?sinaV0,cosa>0,.'.sin2a=2sinacosaV0,故選D?由sina?tanaV0可知sina,tana異號，則a為第二象限角或第三象限角.cosa由t°—V0可知cosa,tana異號，則a為第三象限角或第四象限角?綜tana上可知，a為第三象限角，故選C?由一IWcosxW1,且sin(cosx)>0知0VcosxW1,又sinxV0,??角x是第四象限角，故選D.][跟進(jìn)訓(xùn)練]1?函數(shù)y=log(x—3)+2(a>0且aH1)的圖象過定點(diǎn)P,且角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn),a始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P,則sina+cosa的值為()c?罟D[???函數(shù)y=log(x—3)+2