2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.7拋物線真題演練集訓(xùn)理新人教A版

PAGEPAGE42022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.7拋物線真題演練集訓(xùn)理新人教A版1．[2022·浙江卷]如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，那么△BCF與△ACF的面積之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)答案：A解析：由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知△BCF與△ACF的面積之比就等于eq\f(|BC|,|AC|).由拋物線方程知，焦點F(1,0)，作準線l，那么l的方程為x＝－1.∵點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BM|,|AN|)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).2．[2022·新課標全國卷Ⅰ]以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦點到準線的距離為()A．2B．4C．6D．8答案：B解析：由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，設(shè)O為坐標原點，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，解得p＝4，應(yīng)選B.3．[2022·四川卷]設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，那么直線OM的斜率的最大值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(2),2)D．1答案：C解析：設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,2p)，t))，易知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，那么由|PM|＝2|MF|，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋\f(t2,2p),3)，\f(t,3))).當(dāng)t＝0時，直線OM的斜率k＝0；當(dāng)t≠0時，直線OM的斜率k＝eq\f(t,p＋\f(t2,2p))＝eq\f(1,\f(p,t)＋\f(t,2p))，所以|k|＝eq\f(1,\f(p,|t|)＋\f(|t|,2p))≤eq\f(1,2\r(\a\vs4\al(\f(p,|t|)·\f(|t|,2p))))＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(p,|t|)＝eq\f(|t|,2p)時等號成立，于是直線OM的斜率的最大值為eq\f(\r(2),2)，應(yīng)選C.4．[2022·天津卷]設(shè)拋物線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù)，p＞0)的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設(shè)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)p，0))，AF與BC相交于點E.假設(shè)|CF|＝2|AF|，且△ACE的面積為3eq\r(2)，那么p的值為________．答案：eq\r(6)解析：拋物線的普通方程為y2＝2px，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，l：x＝－eq\f(p,2).由|CF|＝2|AF|，得|AF|＝eq\f(3,2)p，不妨設(shè)點A(x，y)在第一象限，那么x＋eq\f(p,2)＝eq\f(3p,2)，即x＝p，所以y＝eq\r(2)p.易知△ABE∽△FCE，eq\f(|AB|,|CF|)＝eq\f(|AE|,|EF|)＝eq\f(1,2)，所以|EF|＝2|AE|，所以△ACF的面積等于△AEC的面積的3倍，即S△ACF＝9eq\r(2)，所以S△ACF＝eq\f(1,2)×3p×eq\r(2)p＝9eq\r(2)，解得p＝eq\r(6).5．[2022·浙江卷]假設(shè)拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，那么M到y(tǒng)軸的距離是________．答案：9解析：由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線為x＝－1，設(shè)點M的坐標為(x，y)，那么x＋1＝10，所以x＝9.故M到y(tǒng)軸的距離是9.課外拓展閱讀對拋物線的標準方程認識不準而致誤分析[典例]拋物線C1：x2＝2py(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.假設(shè)C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)[解析]拋物線C1：x2＝2py(p>0)的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點坐標為(2,0)，兩點連線的方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,4)x－2，,y＝\f(1,2p)x2，))消去y，得2x2＋p2x－2p2＝0.設(shè)點M的橫坐標為a，易知在點M處切線的斜率存在，那么在點M處切線的斜率為y′x＝a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2p)x2))′x＝a＝eq\f(a,p)，又因為雙曲線eq\f(x2