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2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

{0,2},B={-2,-1,0,1,2},則AAB=（）

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}

上L+2i,則|z|=（）

1+i

A.0B.1C.1D.V2

2

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

22

三+二=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

a24

A.1B.1C.返D.空1

3223

I，02,過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱

的表面積為（）

A.12-/2RB.12nC.8MjiD.lOn

3+（a-1）x2+ax.若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點（0,0）處的切線方

程為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則而=()

A.1AB-1ACB.IAB-IACC.1AB+1ACD.1AB+1AC

44444444

2x-siMx+2,則()

A.f(x)的最小正周期為兀，最大值為3

B.f(x)的最小正周期為K,最大值為4

C.f（x）的最小正周期為2A,最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2A,最大值為4

A.2^/17B.2泥C.3D.2

IBICIDI中,AB=BC=2,AJ與平面BBiJC所成的角為30。,則該長方體的體積為

()

A.8B.6MC.8?'歷D.8M

―,則|a-b|=()

3

A.LB.在C.2庭D.1

555

,2-x,x<0,則滿足f(x+i)<f(2x)的x的取值范圍是()

1,x>0

A.(-8,-1]B.(0,+8)c.(-1,0)D.(-8,0)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2(x2+a),若f(3)=1,貝(Ja=.

'x-2y-240

<X-T+1>0，則z=3x+2y的最大值為.

rCo

+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則AB|=

△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2

-a2=8,則4ABC的面積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。(一)必考題：共60分。

設bn=占

{an}滿足ai=l,間，i=2(n+1)an>

(1)求bi,b2,b3；

(2)判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛aj的通項公式.

ZACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB1DA.

(1)證明：平面ACD_L平面ABC；

(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=ZDA,求三棱錐Q

3

-ABP的體積.

3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水[[[[[[[

里

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[[[[[[

頻數(shù)151310165

(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

3的概率；

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，

同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)

2=2X,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線I與C交于M,N兩點.

(1)當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：NABM=NABN.

x-Inx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a,并求f(x)的單調區(qū)間；

(2)證明：當aCL時,f(x)20.

e

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲

線的極坐標方程為2

C2p+2pcos0-3=0.

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若J與C2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知f(x)=x+11-ax-1.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xW(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(文科)(新課標I)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

{0,2},B={-2,-1,0,1,2},則AAB=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}

【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可.

【解答】解：集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2),

則AAB={0,2}.

故選：A.

【點評】本題考查集合的基本運算，交集的求法，是基本知識的考查.

上L+2i,則|z|=()

1+i

A.0B.1C.1D.V2

2

【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算化簡后，然后求解復數(shù)的模.

【解答】解：z=1~~L+2i=《l二，，(1二.+2i=-i+2i=i,

1+i(l-i)(l+i)

則|z|=l.

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的模的求法，考查計算能力.

則下面結論中不正確的是()

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

【分析】設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.通過選項逐一分析新農

村建設前后，經濟收入情況，利用數(shù)據(jù)推出結果.

【解答】解：設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.

A項，種植收入37%X2a-60%a=14%a>0,

故建設后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項，建設后，其他收入為5%X2a=10%a,

建設前，其他收入為4%a,

故10%a4-4%a=2.5>2,

故B項正確.

C項，建設后，養(yǎng)殖收入為30%X2a=60%a,

建設前，養(yǎng)殖收入為30%a,

故60%a4-30%a=2,

故C項正確.

D項，建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入總和為

（30%+28%）X2a=58%X2a,

經濟收入為2a,

故（58%X2a）4-2a=58%>50%,

故D項正確.

因為是選擇不正確的一項，

故選：A.

【點評】本題主要考查事件與概率，概率的應用，命題的真假的判斷，考查發(fā)現(xiàn)

問題解決問題的能力.

22

名■+-=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

a24

A.1B.1C.返D..2返

3223

【分析】利用橢圓的焦點坐標，求出a,然后求解橢圓的離心率即可.

22

【解答】解：橢圓C：三_+二=1的一個焦點為（2,0）,

24

a士

可得a2-4=4,解得a=2后,

Vc=2,

?c_2_^2

a2V22

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力.

I，。2,過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱

的表面積為()

A.12-72^B.12KC.8\歷1D,10R

【分析】利用圓柱的截面是面積為8的正方形，求出圓柱的底面直徑與高，然后

求解圓柱的表面積.

【解答】解：設圓柱的底面直徑為2R,則高為2R,

圓柱的上、下底面的中心分別為。1，。2，

過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，

可得：4R2=8,解得R=M，

則該圓柱的表面積為：兀?(加)2、2+2逐兀X2亞=12A.

故選：B.

【點評】本題考查圓柱的表面積的求法，考查圓柱的結構特征，截面的性質，是

基本知識的考查.

3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方

程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出a,求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的向量然后求解

切線方程.

【解答】解：函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，

可得a=l,所以函數(shù)f(x)=x3+x,可得f(x)=3x2+1,

曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率為：1,

則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計算能力.

△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則稀=()

A.2AB-1ACB.1AB-1ACC.3^+17CD.1AB+1AC

44444444

【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量.

【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，

EB=AB-AE=AB--^AD

2

=AB-1x1(AB+AC)

22

=1AB-IAC.

44

故選:A.

【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎題.

2x-sin2x+2,則()

A.f(x)的最小正周期為n,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為兀最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2兀，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2A,最大值為4

【分析】首先通過三角函數(shù)關系式的恒等變換，把函數(shù)的關系式變形成余弦型函

數(shù)，進一步利用余弦函數(shù)的性質求出結果.

【解答】解：函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,

=2cos2x-sin2x+2sin2x+2cos2x,

=4cos2x+sin2x,

=3cos2x+l,

=3早等+1，

-_-3-c--o--s-2--x--.5

22

故函數(shù)的最小正周期為兀

函數(shù)的最大值為差導小

故選:B.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，余弦型函數(shù)的性質

的應用.

A.2717B.2泥C.3D.2

【分析】判斷三視圖對應的幾何體的形狀，利用側面展開圖，轉化求解即可.

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,

直觀圖以及側面展開圖如圖：

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的

路徑中，最短路徑的長度：如2+42=2相.

故選:B.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，側面展開圖的應用，考查計

算能力.

iBiJDi中,AB=BC=2,AJ與平面BB1C1C所成的角為30。,則該長方體的體積為

()

A.8B.6近C.8&D.873

【分析】畫出圖形，利用已知條件求出長方體的高，然后求解長方體的體積即可.

【解答】解:長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=2,

ACi與平面BBiCiC所成的角為30°,

即NACiB=30°,可得BCi=—蛆—=2?.

tan300

可得BBk伍喬彳=2心

所以該長方體的體積為：2義2義2鄧潮如.

故選：C.

【點評】本題考查長方體的體積的求法，直線與平面所成角的求法，考查計算能

力.

—,則|a-b|=()

3

A.工B.在C.2庭D.1

555_

【分析】推導出cos2a=2cos2a-1=2,從而|cosa|=1^,進而|tana|=|上M|=|a

_362-1

-bi=YG.由此能求出結果.

5

【解答】解：???角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，

終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2a=2,

3

/.cos2a=2cos2a-1=A,解得cos2a="，

_36

|cosa|Isina|={]_30=^_,

返

Itana|=|上2.=a-b=[sin。.[=,=2/^.

2-1IcosaIV30_5

6

故選：B.

【點評】本題考查兩數(shù)差的絕對值的求法，考查二倍角公式、直線的斜率等基礎

知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

.2-x,x<0則滿足f(x+i)<f(2x)的x的取值范圍是()

1,x>0

A.(-8,-i]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(…，o)

【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調性列出不等式轉化求解即可.

【解答】解：函數(shù)fa)』？'x<°,的圖象如圖：

1,x>0

滿足f(x+l)<f(2x),

可得:2xV0Vx+l或2x<x+lW0,

解得xW(-8,o).

故選：D.

【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的單調性以及不等式的解法，考查計算

能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2(x2+a),若f(3)=1,則a=-7.

【分析】直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.

2

【解答】解:函數(shù)f(x)=log2(x+a),若f(3)=1,

可得：Iog2(9+a)=1,可得a=-7.

故答案為：-7.

【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應用，函數(shù)的領導與方程根的關系，是基本知

識的考查.

x-2y-240

，xpr+l>0，則z=3x+2y的最大值為6.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

由z=3x+2y得v=--x+—z,

22

平移直線y=-lx+lz,

22

由圖象知當直線y=-Wx+Lz經過點A(2,0)時，直線的截距最大，此時z最

22

大，

最大值為z=3X2=6,

故答案為：6

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結合

是解決本題的關鍵.

+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB|=2①.

【分析】求出圓的圓心與半徑，通過點到直線的距離以及半徑、半弦長的關系，

求解即可.

【解答】解：圓x2+y2+2y-3=0的圓心(0,-1),半徑為：2,

圓心到直線的距離為：10+廿11=①

V2

所以|AB|=2j22_(&)2=2點.

故答案為：2?.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，弦長的求法，考查計算能力.

△ABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2

-a2=8,則4ABC的面積為名叵.

~3~

【分析】直接利用正弦定理求出A的值，進一步利用余弦定理求出be的值，最

后求出三角形的面積.

【解答】解：Z^ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

bsinC+csinB=4asinBsinC,

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

由于OVBVTI,0<C<n,

所以sinBsinCWO,

所以sinA二L

2

則A=?或罕

00

由于b2+c2-a2=8,

①當A=2L時，金

62~2bc

解得bc=生叵，

3_

所以SAABC^ybcsinA=-^-

②當A=12L時，巫

62-2bc

解得bc=-生區(qū)（不合題意），舍去.

3

故：SAABC

故答案為：2口.

3

【點評】本體考察的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦定理和余弦定

理的應用及三角形面積公式的應用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。（一）必考題：共60分。

｛an｝7兩足ai=l,nan+i=2（n+1）an,設bn=——.

n

（1）求bi，bz,bs;

（2）判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（3）求｛aj的通項公式.

【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的各項.

（2）利用定義說明數(shù)列為等比數(shù)列.

（3）利用（1）（2）的結論，直接求出數(shù)列的通項公式.

【解答】解:（1）數(shù)列｛aj滿足ai=l,nag（n+1）an,

an+1

則：—=2（常數(shù)），

an

n

由于b

nn

故：3=2，

b6

數(shù)列｛bn｝是以bl為首項，2為公比的等比數(shù)列.

整理得：t>n二b]-二2n"1，

所以：bi=l,b2=2,bs=4.

（2）數(shù)列｛bj是為等比數(shù)列，

由于%生（常數(shù)）；

bn

（3）由（1）得：乂二2f1，

根據(jù)%二現(xiàn)，

nn

所以：a/n叱mL

【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用.

ZACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB±DA.

（1）證明：平面ACD_L平面ABC；

（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=2DA,求三棱錐Q

3

-ABP的體積.

【分析】（1）可得AB_LAC,AB±DA.且ADAAB=A,即可得AB,面ADC,平面

ACD_L平面ABC；

（2）首先證明DC,面ABC,再根據(jù)BP=DQ=2DA,可得三棱錐Q-ABP的高，

3

求出三角形ABP的面積即可求得三棱錐Q-ABP的體積.

【解答】解：（1）證明：?.?在平行四邊形ABCM中，ZACM=90°,AAB1AC,

XAB±DA.且ADAAB=A,

AAB±11ADC,；.ABu面ABC,

平面ACDJ_平面ABC；

（2）VAB=AC=3,ZACM=90°,，AD=AM=3&，

，BP=DQ=2DA=2&,

3

由（1）得DCLAB,XDC±CA,...DC，面ABC,

三棱錐Q-ABP的體積V=^-SAABPX^-DC

o。

=Xx

1fsAABC|DC=|x|x|x3X3x|x3=l-

【點評】本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的

能力，屬于中檔題.

3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水[[[[[[[

量

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[[[[[[

頻數(shù)151310165

（1）作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，

同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）

【分析】（1）根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表能作出使用了節(jié)

水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

3的概率.

【解答】解：（1）根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表，

作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，如下圖：

（2）根據(jù)頻率分布直方圖得：

3的概率為：

+++1）X

（3）由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為：

-L（1X+3X+2X+4X+9X+26X+5X

50

使用節(jié)水龍頭50天的日均用水量為：

-X-.（1X+5X+13X+10X+16X+5X

50

.?.估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)?。?65X3.

【點評】本題考查頻率分由直方圖的作法，考查概率的求法，考查平均數(shù)的求法

及應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

2=2X,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線I與C交于M,N兩點.

(1)當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

【分析】(1)當x=2時，代入求得M點坐標，即可求得直線BM的方程；

(2)設直線I的方程，聯(lián)立，利用韋達定理及直線的斜率公式即可求得kBN+kBM=0,

即可證明/ABM=NABN.

【解答】解：(1)當I與x軸垂直時，x=2,代入拋物線解得丫=±2,

所以M(2,2)或M(2,-2),

直線BM的方程：y=lx+l,或：y=-lx-1.

22

(2)證明：設直線I的方程為I：x=ty+2,M(xi,yi),N(x2,y2),

，2

聯(lián)立直線I與拋物線方程得y=2x,消X得y2-2ty-4=0,

x=ty+2

即yi+y2=2t,yiy2=-4,

則有

22

y2ylyiy

(Xy+Xy)+2(y+y)2

bbYiy2TiT2i2的+了2)(—772)

町+2,+2(町+2)(功+2)(Xj+2)(X2+2)

9

所以直線BN與BM的傾斜角互補，

/.ZABM=ZABN.

【點評】本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，直

線的斜率公式，考查轉化思想，屬于中檔題.

x-Inx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a,并求f(x)的單調區(qū)間；

(2)證明：當a2工時，f(x)20.

e

【分析】(1)推導出x>0,f(x)=ae*x-工，由x=2是f(x)的極值點，解得a=-^—,

x2e2

xx

從而f(x)=——e-Inx-1,進而f(x)=——p_X,由此能求出f(x)的單

2e22e2x

調區(qū)間.

(2)當a22時，f(x)2^--Inx-1,設g(x)=-^--Inx-1,貝1J，

eeee

-1,由此利用導數(shù)性質能證明當時，f(x)20.

xe

【解答】解:(1)??,函數(shù)f(x)=aex-Inx-1.

Ax>0,f'(x)=aex-—,

x

?；x=2是f(x)的極值點,

Af(2)=ae2--=0,解得a=——，

22e2

當0Vx<2時，f(x)<0,當x>2時，fz(x)>0,

：.f(x)在(0,2)單調遞減，在(2,+8)單調遞增.

(2)證明：當a22時，f(x)-Inx-1,

ee

設g(x)=幺-Inx-1,貝I］g'6)=J-工，

eex

當0<xVl時，gz(x)VO,

當x>l時，gz(x)>0,

，x=l是g(x)的最小值點，

故當x>0時，g(x)2g(1)=0,

...當a21時，f(x)20.

e

【點評】本題考查函數(shù)的單調性、導數(shù)的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力

和綜合應用能力，是中檔題.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修