人教版導與練總復習數(shù)學一輪教學課時作業(yè)：第一章第4節(jié)　基本不等式及其應用

第4節(jié)基本不等式及其應用

靈活方醫(yī)方致偎影

課時作業(yè)

三選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

利用基本不等式求最值1,2,3,4,610,11,14,15

基本不等式的應用5,7,8,912,13,1617

A級基礎鞏固練

1.(2021?河南天一高二期末聯(lián)考)當x〉l時,￡@)=等的最大值為

%2+4

(A)

11

A.-B.-C.1D.2

42

解析：因為X〉l,故f(x)二福二義忘-^^,當且僅當x==即x=2時取

4

N+4X+-2ypiX

等號,故f(X)的最大值為;.故選A.

%2+44

2.(2021?重慶高三調研)已知x>2,y>l,(x-2)?(y-l)=4,則x+y的最

小值是(C)

A.1B.4C.7D.3+V17

解析：因為x>2,y>l,(x-2)(yT)=4,

所以x+y=(x-2)+(y-1)+342J(%-2)(廠1)+3=7,當且僅當二時

等號成立.故選C.

3.(2021?全國乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是(C)

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+---

sinx|

C.y=2x+22-xD.y=lnx+—

Inx

解析:y=x2+2x+4=(x+l)2+333,所以函數(shù)的最小值為3,故選項A錯誤;

因為0<|sinx|Wl,

所以y=|sinx|+」一廿2/|sinxi?—^—=4,

sinx7|sinxl

當且僅當|sinxL4即|sinx|=2時取等號，因為0<|sinx|Wl,

sinxl

所以等號取不到，

所以y=|sinx|+'一>4,故選項B錯誤；

sinx

因為2*>0,所以y=2x+22-=2x+^^2J2》?券4,當且僅當2=2,即x=l

時取等號,所以函數(shù)的最小值為4,故選項C正確；

對于D,y=lnx+白函數(shù)的定義域為(0,1)U(1,+8),而lnx^R且

InxWO,如當Inx=-l時，y=-5,故選項D錯誤.故選C.

4.(2021?江蘇無錫模擬)設實數(shù)x滿足x>0,則函數(shù)丫=2+3乂+三的最

小值為(A)

A.4V3-1B.4V3+2

C.4V2+1D.6

解析：因為x>0,所以x+l>l,

所以y=2+3x+—=2+3(x+1)-3+—=3(x+l)+--1

x+1x+1x+1

213(x+1)-1=4V3-1,當且僅當3(x+1)=白，即x=^-l>0時,

7x+1x+13

等號成立,所以函數(shù)y=2+3x+三的最小值為48-1.故選A.

5.(2021?湖南高三模擬)由于近年來,冬季氣候干燥,冷空氣頻繁襲

來.為提高公民的取暖水平,某社區(qū)決定建立一個取暖供熱站.已知供

熱站每月自然消費與供熱站到社區(qū)的距離成反比,每月供熱費與供熱

站到社區(qū)的距離成正比,如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站,這兩

項費用分別為5千元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,供熱站

應建在離社區(qū)多遠處（A）

A.5千米B.6千米

C.7千米D.8千米

解析:設供熱站應建在離社區(qū)x千米處,則自然消費山=”供熱費

X

丫2=k?x,

由題意得,當x=20時,yi=O.5,y2=8,

所以k]-xyi=10,k2=-=-,

x5

所以y尸y2=1x.

x5

所以兩項費用之和為

10?2%、門1102x.

yi+y=—+—^2—?—=4,

2x57x5

當且僅當竺=§,即x=5時，等號成立,所以要使這兩項費用之和最小，

供熱站應建在離社區(qū)5千米處.故選A.

6.已知a>0,b>0,H-+7=Vab,貝Uab的最小值是.

解析：因為Vab--^三2I-?

abab

所以ab22倔當且僅當上的寸,取等號.

ab

答案：2傷

7.若兩個正實數(shù)x,y滿足4x+y=xy且存在這樣的x,y使不等式

x+^<m2+3m有解,則實數(shù)m的取值范圍是

解析：由4x+y=xy=^+±=1矢口（x+與（-+-）=1+—+—+1^2+2I—?—=4,

xy4xyy4x7y4%

當且僅當x=2,y=8時一，等號成立，則使不等式x+^<m2+3m有解，只需滿

4

足m2+3m>4即可,解得(-°°,-4)U(1,+°°).

答案：(-8,-4)U(l,+8)

8.已知m>0,xy>0,當x+y=2時，不等式二”恒成立,則m的取值范圍

xy

是.

解析：因為m>0,xy>0,x+y=2,

所l^-+—=-(x+y)(-+—)=-(―+—+m+2)2工(2,2m+m+2),

xy2xy2yx2

因為不等式3+”24恒成立，

xy

所以1(2,2m+m+2)24.

整理得G/記+3V^)》0,解得S元即m22.

答案：⑵+8)

9.證明下列各題：已知a,b,c為正數(shù).

⑴若abc=l,求證:a+b+cW-!；

(2)若a+b+c=9,求證，+工+工21.

abc

證明：⑴由條件abc=l得白+白2三=2c,

b‘a(chǎn)b

當且僅當a=b時等號成立，

卷+2232a,當且僅當b=c時等號成立，

bzcLbe

=2b,當且僅當c=a時等號成立，

z

cQNca

以上三個不等式相加可得2煜+a+助巨(a+b+c),

當且僅當a=b=c時等號成立，

因此a+b+c

a2bzcz

⑵(a+b+c)(炭+3=3+(*)+鏟)+(@+￡),因為a,b,c為正數(shù)，

abcbabcca

所以（a+b+c）（星+工）N3+2-?-+2-?-+2-?-=3+2+2+2=9,

abcyjba7bc7ca

當且僅當a=b=c=3時取等號，

所以工+，+工》L

abc

B級綜合運用練

10.（2021?浙江嫌州高考模擬）已知x>0,y>0,且x+y=xyT,則

(D)

A.xy的最大值為3+2V2

B.xy的最大值為6

C.2x+y的最小值為3+3企

D.2x+y的最小值為7

解析:x>0,y>0,且x+y=xy-l226歹,當且僅當x=y時取等號，解得

21+血或后忘1-a（舍去），故乂丫23+2位,即xy的最小值為3+2V2,

沒有最大值,A錯誤,B錯誤；

因為x+y=xy-l,所以x=W>0,故y>l,

y-i

2x+y=^^+y=2+—+y=—+y-l+3^2I—?(y-l?+3=7,

y-1y-1y-1yly-1

當且僅當丫-1=3,即y=3,x=2時取等號,所以2x+y的最小值為7,C錯

y-i

誤,D正確.故選D.

11.（2。21?山西運城模擬）若a,b,c均為正實數(shù)，則濯急的最大值

為(A)

A.-B.iC.—D.—

2422

解析.ab+bc=____________

1'a2+2b2+c2(a2+62)+(c2+b2)'

由a2+b2^2ab,bJ+c2^2bc可知色>1）?）+（b'+c‘）22（ab+bc）.

因此F算片再W急MW（當且僅當a=b=c時取等號）.故選A.

（a2+d2）+{c2+b2）2{ab+bc）2

12.（多選題）對于正數(shù)a,b,且a+b=4,若abmWb+3a+4恒成立,則m可

以為（BCD）

A.3B.-C.2D.1

2

解析：因為對于正數(shù)a,b,滿足a+b=4,

所以abmWb+3a+4恒成立化為，

L--,「、.

mW—b+3a—+4=-b+--3a+--a-+-b=一2+］4恒成乂，

ababab

又因為2+汽（2+令（a+b）=；（6+弛+引刊（6+2件?馬爭企,

ab4ab4ab4y］ab2

當［a=4近時等號成立,所以m^|+V25選項BCD都符合題意.故

（匕=8-4V22

選BCD.

13.（多選題）（2021?福建南平模擬）已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,則下列

不等式恒成立的是（BC）

A.-+-^V2B.abW2

ab

C.a+bW2應D.a2+b2^4

解析:對于A,B,由a>0,b>0,利用基本不等式a2+b2^2ab,

可得ab+222ab,解得abW2.

又工+《2名（當且僅當a=b=a時,等號成立），而abW2,所以會2企，

abyjab7ab

所以工+公企,故B正確,A錯誤；

ab

由a>0,b>0,利用基本不等式abW如叱,變形a?+b2-ab=2,得（a+b）2-2=

24

3abW至世"（當且僅當a=b=四時,等號成立），

4

解得(a+b)2<8,即a+bW2近,故C正確;

由a>0,b>0,利用基本不等式abW亨，化簡a2+b2-ab=2,得a2+b2-2=

盧(當且僅當a=b=/時,等號成立)，解得a2+b2^4,故D錯誤.

故選BC.

14.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=3,則S=x2y2-4xy的最大值為.

解析：x2+y2-xy=3221xy|-xy,

當xy》O時，2xy-xy=xyW3,

當xy<0時，-2xy-xyW3,xyeT,

所以TWxyW3,當x=y=±W時，xy=3,

當x=-y=±l時,xy=-l,

222

S=xy-4xy=(xy-2)-4,所以xy=-l時，Smax=5.

答案：5

15?已知a,b,c是不同時為0的實數(shù)，則就黑的最大值

為.

解析：1+42=匠+軟)+(。中)，

a'+—b2^2a,：b=^^ab,

5V55

當且僅當agb時,取得等號.

c2+-b2^2c?弊延be,

5V55

當且僅當C3|時，取得等號.

所以a2+4b2+c2=(a^+^b2)+(c2+1b2)(2ab+bc),

當且僅當a=^b,c嚏,a=2c時,取得等號.

2ab+bcV2ab+bc_5/5

所以222

a+4b+c7警(2ab+bc)4

答案:乎

4

16.政府無息貸款10萬元給某農戶養(yǎng)羊,每萬元可創(chuàng)造利潤0.15萬

元.若進行技術指導,養(yǎng)羊的投資減少了x(x>0)萬元,且每萬元創(chuàng)造的

利潤變?yōu)樵瓉淼?1+0.25x)倍.現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的x萬元全部投資網(wǎng)

店,進行農產(chǎn)品銷售,則每萬元創(chuàng)造的利潤為0.15(a-0.875x)萬元,其

中a>0.

(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤,求x的取

值范圍；

⑵若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤,求a的最

大值.

解：⑴由題意，得0.15(1+0.25x)(10-x)^0.15X10,

整理得X2-6X^0,解得0WxW6,

又x>0,故0<xW6.

(2)由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為0.15(a-0.875x)x萬元,

技術指導后,養(yǎng)羊的利潤為0.15(1+0.25x)-(10-x)萬元,

則0.15(a-0.875x)xW0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立,

又0〈x<10,所以aW竽+U+1.5恒成立，

又苧+”25,當且僅當x=4時等號成立，

8X

所以0〈aW6.5,即a的最大值為6.5.

C級應用創(chuàng)新練

17.汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用

雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離(并集合車速轉化為所需時

間)，當此距離等于報警距離時就開始報警提醒,等于危險距離時就自

動剎車.若將報警時間劃分為4段,分別為準備時間to,人的反應時間

tb系統(tǒng)反應時間t2,制動時間t3,相應的距離分別為do,d?d2,d3,如圖

所示.當車速為V(單位:m/s),且VG(0,33.3]時,通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分

析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變

化,k￡[l,2]).

h..........報警距離d..........

上危險距離一

....4.....士

一.

階段0.準備1.人的反應2.系統(tǒng)反應3.制動

時間toti=0.8st2=0.2sts