人教版導與練總復習數(shù)學一輪課時作業(yè)：第七章第4節(jié)　空間直線、平面的垂直

第4節(jié)空間直線、平面的垂直

■I,靈活胃、唬密致提混

《二選題明細表

應用創(chuàng)

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練

新練

直線與平面垂直的判定

1,4,912

與性質(zhì)

平面與平面垂直的判定

5

與性質(zhì)

求空間角的大小3,7,8

10,11,13,14,1

綜合問題2,617,18

5,16

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.（2021?河北滄州聯(lián)考）如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是

正六邊形,PA，平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是（D）

A.CD〃平面PAF

B.DF，平面PAF

C.CF〃平面PAB

D.CF，平面PAD

解析:A中，因為CD〃AF,AFu平面PAF,CDQ平面PAF,所以CD〃平面PAF

成立；

B中，因為六邊形ABCDEF為正六邊形,所以DF±AF.又因為PA_L平面

ABCDEF,DFu平面ABCDEF,所以PA_LDF,又PAAAF=A,PAu平面PAF,

AFu平面PAF,所以DF,平面PAF成立；

C中，CF〃AB,ABu平面PAB,CFC平面PAB,

所以CF〃平面PAB;

而D中，CF與AD不垂直.故選D.

2.（2021?江西南昌模擬）如圖，在四面體ABCD中,已知AB±AC,BD±

AC,那么點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在（A）

A.直線AB上B.直線BC上

C.直線AC上D.AABC內(nèi)部

解析：由AB_LAC,BD±AC,又ABGBD=B,ABu平面ABD,BDu平面ABD,

則AC_L平面ABD,而ACu平面ABC,

則平面ABC_L平面ABD,

因此點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB

上.故選A.

3.已知三棱柱ABC-A,B,C,的側(cè)棱與底面垂直,體積為底面是邊長為

遍的正三角形,若P為底面ABG的中心,則PA與平面ABC所成角的

大小為（B）

解析:如圖,取正三角形ABC的中心0,連接0P,

則NPA0是PA與平面ABC所成的角.因為底面邊長為6，

所以AD=VIX?=|,

A0=1AD=1x^=l.三棱柱的體積為孚X（V3）2?AA,4解得AA尸逐

33244

即0P=AA1=V3,所以tanZPA0=^=V3,

AO

因為直線與平面所成角的取值范圍是［0,即，

所以NPA0?故選B.

4.（2021?山東煙臺月考）如圖，在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD

的中點,G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空

間圖形，使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,則在這個空間圖形中

必有（B）

A.AG,平面EFHB.AHJ_平面EFH

C.HFJ_平面AEFD.HGJ_平面AEF

解析：根據(jù)折疊前、后AH±HE,AH1HF不變，且HEGHF-H,HE,HFu平面

EFH,得AH_L平面EFH,所以B正確；

因為過點A只有一條直線與平面EFH垂直,所以A不正確；

由題知AG±EF,又EF±AH,AGAAH=A,AG,AHu平面HAG,

所以EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,

所以平面HAG_L平面AEF,若過點H作直線垂直于平面AEF,則直線一

定在平面HAG內(nèi)，所以C不正確；

因為HG不垂直于AG,所以HG_L平面AEF不正確,所以D不正確.

故選B.

5.（多選題）（2021?山東濟寧模擬）已知l,m表示兩條不同的直線，a,

B表示兩個不同的平面，1_LQ,muB,則下面四個命題中正確的是

（AC）

A.若?！˙,貝ljl，mB.若a貝！Jl〃m

C.若l〃m,貝Ija_LBD.若l_Lm,貝lja〃B

解析:因為1，Q,Q〃B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)知1_LB,又muB,則

l_Lm，故A正確；

若a，B,1_La,則1可能在B內(nèi)或與B平行，則1可能與m相交、平

行或異面，故B錯誤；

由l〃m,1J_a可推出m_La，又muB,根據(jù)面面垂直的判定定理可知

a故C正確；

若a,B的交線為m,則推不出a〃B，故D錯誤.故選AC.

6.（多選題）如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C是圓周

上異于A,B的任一點，則下列結(jié)論中正確的是（AD）

p

A.PC±BC

B.AC，平面PBC

C.平面PAB_L平面PBC

D.平面PAC_L平面PBC

解析：由題意,BC±AC,若AC_L平面PBC,

可得AC±PC,與AC±PA矛盾,故B錯誤；

BC±AC,又PA_L底面ABC,所以PA±BC,ACAPA=A,AC,PAu平面PAC,則

BC,平面PAC,又PCu平面PAC,則BC±PC,又BCu平面PBC,所以平面

PAC_L平面PBC,故A,D正確;

因為BC_L平面PAC,所以NPCA為平面PAB與平面PBC所成角的平面

角，又NPCA為銳角，所以平面PAB與平面PBC不垂直,故C錯誤.

故選AD.

7.若P是4ABC所在平面外一點，而4PBC和AABC都是邊長為2的正

三角形,PA=V6,那么二面角P.BC.A的大小為.

解析:取BC的中點0,連接0A,0P（圖略）,

則NP0A為二面角P-BC-A的平面角,0P=0A=V3,PA=V6,所以aPOA為

直角三角形，ZP0A=90°.

答案:90。

8.如圖，在長方體ABCD-ABCD中，AB=AD=26,CC尸也則二面角

C.-BD-C的大小為

解析:如圖，取BD的中點0,連接0C,0G,

因為AB=AD=2V3,

所以COLBD,C0=V6.

因為CD=BC,

所以CiD=3B,

所以CQ_LBD,

所以NCQC為二面角C,-BD_C的平面角.

t,anZ“C10C=-C1i-C=-V2F=-V3,

COV63

所以NCQC=30°,

即二面角C-BD-C的大小為30°.

答案:30°

9.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,PA_L底面ABCD,AB±AD,AC±CD,

NABC=60。，PA=AB=BC,E是PC的中點，求證:

R

(1)CD±AE;

(2)PD_L平面ABE.

證明:(1)因為PA_L底面ABCD,CDu底面ABCD,所以CD±PA.

又CD±AC,PAGAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

故CD_L平面PAC,又AEu平面PAC,

故CD±AE.

(2)因為PA=AB=BC,NABC=60°,

所以PA=AC.

因為E是PC的中點，

所以AELPC.

由(1)知CD±AE,由于PCGCD=C,PCu平面PCD,CDu平面PCD,

從而AEL平面PCD,又PDu平面PCD,

故AE_LPD.

易知BA±PD,AEABA=A,AEu平面ABE,BAu平面ABE,

故PD_L平面ABE.

B級綜合運用練

10.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=V2,BD1CD.將四邊

形ABCD沿對角線BD折成四面體A'-BCD,使平面A'BD,平面BCD,

則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是(B)

B△4--D/A\\

B，D

CC

①A'C_LBD;②NBA'C=90°;③CA'與平面A'BD所成的角為30°

④四面體A「BCD的體積為g.

A.0B.1C.2D.3

解析：因為AB=AD=CD=1,BD=V2,

所以ABLAD,

因為平面A'

平面A'BDC平面BCD=BD,

所以CD_L平面ABD,

取BD的中點0,連接0A',0C（圖略），

因為AB=A'D,

所以AO±BD.

又平面A'BD_L平面BCD,平面A'BDA平面BCD=BD,

A'Ou平面A'BD,

所以A'0,平面BCD.

又因為BD±CD,所以O(shè)C不垂直于BD.

假設(shè)A，CLBD,因為0C為VC在平面BCD內(nèi)的射影，

所以O(shè)CLBD,矛盾，故①錯誤；

因為CDLBD,平面A'BD,平面BCD,且平面A'BDA平面BCD=BD,

所以CD_L平面ABD,

又A'Bu平面A'BD,

所以CD_LA'B.

因為A'B=A'D=1,BD=V2,

所以A，B±AZD,

又CDGA'D=D,CD,A'Du平面A'CD,

所以A，BL平面A，CD,

又A，Cu平面A'CD,

所以A'B，A'C,故②正確；

NCA'D為直線CA'與平面A'BD所成的角，NCA'D=45°,

故③錯誤；

A'-BCD~^C-A'BD=^^BD*'。=不故④錯誤.故選B.

11.如圖，正方形ABCD和正方形ADEF成60°的二面角，將aDEF繞DE

旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，

(1)對任意位置，總有直線AC與平面DEF相交；

⑵對任意位置,平面DEF與平面ABCD所成角大于或等于60°

(3)存在某個位置，使DFJ_平面ABCD;

(4)存在某個位置，使DF±BC.

其中正確的是(C)

A.(1)(3)B.(2)(3)

C.(2)(4)D.(3)(4)

解析:過D作AC的平行線1,如圖，

E

當平面DEF過1時，直線AC與平面DEF平行，故⑴錯誤；

△DEF繞DE旋轉(zhuǎn)形成一個以DE為高,EF為底面半徑的圓錐，

設(shè)平面ABCD的法向量為n,平面DEF的法向量為r,

則向量n所在直線與圓錐底面所成角為60°,

向量r所在直線為圓錐底面與EF垂直的半徑所在直線，

根據(jù)最小角原理,n與r的夾角大于或等于60°,故⑵正確；

若有DF_L平面ABCD,則AD1DF,

所以ADJ_平面DEF,則F在平面DEC內(nèi)，

此時DF與平面ABCD所成角為15°或75°,矛盾，故⑶錯誤；

當AD1DF,所以ADJ_平面DEF時,AD〃BC,

所以DFJ_BC,故⑷正確.

故選C.

12.（多選題）（2021?福建泉州質(zhì)檢）如圖，在下列四個正方體

ABCD一ABCD中,E,F,G均為所在棱的中點,過E,F,G作正方體的截面,

則在各個正方體中，直線BD與平面EFG垂直的是（ABC）

解析:如圖,在正方體中,E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點,且六點共面,

直線BDf與平面EFMNQG垂直,并且A項,B項,C項中的平面與這個平面

重合.對于D項中的圖形，由于E,F分別為AB,AB的中點,所以EF〃BB、

故NB1BD1為異面直線EF與BDi所成的角，且tan/BBD尸魚,即NB0L

不是直角，故BDi與平面EFG不垂直.故選ABC.

13.（2021?湖北黃岡質(zhì)檢）如圖,PAJ_/O所在的平面,AB是圓0的直

徑,C是圓。上一點,E,F分別是點A在PB,PC上的射影，給出下列結(jié)論:

①AF_LPB;②EF_LPB;③AF_LBC;④AEJ_平面PBC.

其中正確結(jié)論的序號是.

解析:①由于PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

因此PA±BC,

又AC±BC,PAGAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

因此BC_L平面PAC,AFu平面PAC,

所以BC±AF,由于PC±AF,BCnPC=C,BCu平面PBC,PCu平面PBC,

因此AF_L平面PBC,又PBu平面PBC,

所以AFLPB,故①正確；

②因為AE±PB,AF±PB,AEAAF=A,AEu平面AEF,AFu平面AEF,

所以PB_L平面AEF,又EFu平面AEF,

因此EF±PB,故②正確；

③在①中已證明AF_L平面PBC,BCu平面PBC,所以AFLBC,故③正確；

④若AE_L平面PBC,

由①知AF,平面PBC,

由此可得出AF/7AE,

這與AF,AE有公共點A矛盾，

故AE_L平面PBC不成立，故④錯誤.

故正確的結(jié)論為①②③.

答案:①②③

14.三棱錐P-ABC中，PA=1,AB=AC=V2,PA,AB,AC兩兩相互垂直,M為PC

中點,則異面直線PB與AM所成角的余弦值是;取BC中點

N,則二面角M-AN-C的大小是_______.

解析：由題設(shè),連接中位線MN,

則MN〃PB,即異面直線PB與AM所成角的平面角為NAMN,

因為PA=1,AB=AC=&,

PA,AB,AC兩兩相互垂直，

所以PC=PB=V3,則AM=MN=f,

且AN=1,

過M作MD_LAC于D,易知D是AC的中點，若E為AN的中點，連接DE,ME,

所以DE±AN,ME±AN,而DEAME=E,

所以AN,平面MED,故NMED是二面角M-AN-C的平面角，

因為PA,AB,AC兩兩相互垂直，易知平面PAC,平面PAB,平面ABC兩兩

相互垂直，

又平面PACA平面ABC=AC,MDu平面PAC,

所以MD,平面ABC,EDu平面ABC,

即MD±DE,

所以在RtAMED中

貝（JtanNMED=—=1

所以NMED』.

4

答案q;

15.如圖,在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=1,ZACB=90°,D是AB的

中點,F在BBi上.

⑴求證:GD_L平面AABB;

⑵在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB」平面GDF?并

證明你的結(jié)論.

&為BBi的中點;②ABI=6;③AA、=①

(1)證明：因為ABC-A,B,C,是直三棱柱，

所以AiCi=BiCi=l,

且NA￡BL90°,

又D是AB的中點，

所以GD_LAB.

因為AA」平面ABC,GDu平面ABC,

所以AA」C。

又A(B|AAAi=Ai,ABU平面AABB,AA〕u平面AA,B|B,

所以CJ)_L平面AAEB.

(2)解:選①③能證明AB」平面GDF.

證明如下:如圖，連接AB,

AC

所以DF〃AB,

在AABC中，AC=BC=1,ZACB=90°,

貝I」AB=V2,

又AAFVX則ABJ_ABi,

所以DF_LABi.

因為GD_L平面AABB,ABc平面AABB,

所以CD_LABi.

因為DFG3D=D,DFu平面GDF,GDu平面GDF,

所以AB」平面GDF.

16.（2021?陜西西安八模）如圖所示,AB是圓柱的母線,BD是圓柱底

面圓的直徑,C是底面圓周上一點，且AB=BC=2,ZCBD=45°,求直線BD

與平面ACD所成角的大小.

解:取AC的中點E,連接BE,DE.

由題意知AB_L平面BCD,CDu平面BCD,

故AB，CD.

又BD是底面圓的直徑，

所以NBCD=90°,即CD_LBC.

因為ABnBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以CD,平面ABC,

又因為BEu平面ABC,

所以CDLBE.

因為AB=BC=2,AB_LBC,

所以BE_LAC,且BE=魚,

又ACGCD=C,AC,CDu平面ACD,

所以BE,平面ACD,

所以NBDE即為直線BD與平面ACD所成的角，

又BD=V2BC=2V2,

所以sinNBDE=^=^=i

BD2V22

所以NBDE=30°,

即直線BD與平面ACD所成的角為30°.

C級應用創(chuàng)新練

17.已知在梯形ABCD中,AD/7BC,ZABC=ZBAD=pAB=BC=2AD=4,E,F分

別是AB,CD上的點,EF/7BC,AE=x(0<x<4),沿EF將梯形ABCD翻折，使

平面AEFD_L平面EBCF(如圖).

ADAD

(1)當x=2時,①證明：EF_L平面ABE;

②求二面角D-BF-E的余弦值；

(2)三棱錐D-BFC的體積是否可能等于幾何體ABE-DCF體積的熱并說

明理由.

⑴①證明：在直角梯形ABCD中，因為NABC=NBADg,

故DA±AB,BC±AB,

因為EF〃BC,故EFJ_AB,

所以在折疊后的幾何體中，有EF±AE,EF±BE,而AEABE=E,AEu平面

ABE,BEu平面ABE,故EF_L平面ABE.

②解:如圖，在平面AEFD中，過D作DG±EF交EF于點G.

在平面DBF中，過D作DH_LBF交BF于點H,連接GH.

因為平面AEFD,平面EBCF,平面AEFDA平面EBCF=EF,DGu平面AEFD,

故DG_L平面EBCF,

因為BFu平面EBCF,

故DG_LBF,而DGnDH=D,DGu平面DGH,DHu平面DGH,

故BF_L平面DGH,

又GHu平面DGH,故GH±BF,

所以NDHG為二面角D-BF-E的平面角，

在平面AEFD中，因為AE±EF,DG±EF,

故AE〃DG,

又在直角梯形ABCD中，

EF〃BC,且EF=*BC+AD)=3,

故EF〃AD,故四邊形AEGD為平行四邊形，

故DG=AE=2,GF=1,

在RtABEF中，tanZBFE=^,

因為NBFE為三角形的內(nèi)角，

故sinNBFE」，

V13

故GH=1?sin/BFE=總，

故tanZDHG=J-=V13,

因為NDHG為三角形的內(nèi)角，

故cosNDHG^^,

14

所以二面角D-BF.E的余弦值為手.

14

(2)解:若三棱錐D-BFC的體積等于幾何體ABE.DCF體積的：，

.9

則VB-ADFE+^D-BFC=\D-BFC，

^^B-ADFE=^D-BFC-

由⑴的證明可知,DGJ_平面EBCF,同理可證BE_L平面AEFD,AE=DG.

故VBTDf?BE?Si,其中S,為直角梯形ADFE的面積?

而*DG?SABCP=—?AE?SABCP,

在直角梯形ABCD中，過D作BC的垂線,與EF,BC分別交于M,N,

AD

ft

HNC

則光,故FM喙

242

所以FE=”2,