繪制根軌跡的基本法則

目的要求：通過本次課程掌握繪制根軌跡的基本法則知識要點(diǎn)：1.根軌跡的連續(xù)性2.根軌跡的對稱性3.根軌跡的分支數(shù)4.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)5.實軸上的根軌跡6.根軌跡的漸近線7.根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)8.根軌跡的出射角和入射角9.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)10.閉環(huán)極點(diǎn)的和與積教學(xué)步驟：首先介紹根軌跡圖及根軌跡方程，然后介紹幅值條件方程和相角條件方程和幅值條件方程和相角條件方程。教具及教學(xué)手段：多媒體教學(xué)課后作業(yè)：4-1

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!第二節(jié)繪制根軌跡的基本法則（或其他參數(shù)）的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)Kg由于閉環(huán)特征方程的根是根軌跡增益Kg在0至無窮大區(qū)間連續(xù)變化時，閉環(huán)特征方程的根必然連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。一、根軌跡的連續(xù)性

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!二、根軌跡的對稱性因為線性特征方程的系數(shù)均為實數(shù)，所以系統(tǒng)的特征方程根必為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此根軌跡必然對稱于實軸。根據(jù)這一法則，繪制根軌跡時只需畫出s平面上半部和實軸上的根軌跡即可，下半部的根軌跡可用鏡象原理求得。這樣即可省一半功夫。三、根軌跡的分支數(shù)由n階微分方程所描述的n階系統(tǒng)，對于任一增益值都有n個特征方程的根。當(dāng)增益由0變化到無窮大時，n個根在復(fù)平面的連續(xù)變化就形成了n支根軌跡。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!四、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件方程可得：根軌跡的起點(diǎn)是指Kg=0時根軌跡的點(diǎn)。Kg=0時，上式的右邊為∞，而左邊只有當(dāng)時才是∞，使式（4-12）得以成立。這里的是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。所以根軌跡的起點(diǎn)位于開環(huán)傳遞函數(shù)的的極點(diǎn)處。

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!漸近線與正實軸的夾角為

七、根軌跡的分離和會合點(diǎn)兩條根軌跡分支在s平面上的某點(diǎn)相遇，然后又立即分開點(diǎn)，叫做根軌跡的分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）。這個點(diǎn)對應(yīng)于特征方程的二重根。由于根軌跡具有共軛對稱性，故分離點(diǎn)與會合點(diǎn)必然是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對。在一般情況下，分離點(diǎn)與會合點(diǎn)多出現(xiàn)于實軸上。

求取分離點(diǎn)的方法較多，常見的有重根法、極值法、試探法等幾種。繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!八、根軌跡的出射角和入射角

根軌跡的出射角是指起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實軸的夾角。而根軌跡的餓入射角，是指終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實軸的夾角。出射角和入射角又分別稱為起始角和終止角。它們分別描述了根軌跡以什么姿態(tài)離開極點(diǎn)和以什么姿態(tài)進(jìn)入零點(diǎn)。設(shè)根軌跡離開某開環(huán)極點(diǎn)-Pa時的出射角為；跟軌跡進(jìn)入某

時的入射角為，則、之值如下：開環(huán)零點(diǎn)繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!十、閉環(huán)極點(diǎn)的和與積設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由求得系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

上述n階方程可表示為

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!五、實軸上的根軌跡按照相角條件，若實軸上某實驗點(diǎn)s1右方的實數(shù)極點(diǎn)和實數(shù)零點(diǎn)的總和為奇數(shù)時，則該實驗點(diǎn)s1就在根軌跡上。

六、根軌跡的漸近線若系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則當(dāng)

時，

有n-m條根軌跡分支沿著與實軸正方向的夾角為θ，截距為-σ的一組漸進(jìn)線趨向無窮遠(yuǎn)處。

漸進(jìn)線與實軸正方向的夾角θ為漸進(jìn)線與實軸交點(diǎn)的坐標(biāo)以表示，則

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!1.重根法

由于根軌跡上的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)就是特征方程的重根點(diǎn)，因此可用求重根的方法確定它們的位置。2.極值法對于某些較復(fù)雜的系統(tǒng)，最終得出的方程可能是三階、四階或更高階的方程，求解比較困難。若出現(xiàn)這種情況，可改用試探法或用牛頓余數(shù)定理去求解分離點(diǎn)。

3.牛頓余數(shù)定理的用法

從繪制根軌跡的角度出發(fā)，只要作一次試探求出s2就已經(jīng)充分滿足要求了。

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)隨著Kg的增大，根軌跡可能由左半S平面跨越虛軸而進(jìn)入右半S平面。這時，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定。為了將虛軸附近的根軌跡畫得比較精確，有必要求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)ω及其相應(yīng)的Kg值。

根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令s=jω，然后令其實部和虛部分別等于零，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及相應(yīng)的Kg值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)正處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)去求出交點(diǎn)坐標(biāo)及其相應(yīng)的Kg值。此處的增益稱為臨界根軌跡增益，常用Kg表示之。

繪制根軌跡的基本法則共11頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!本節(jié)介紹了10條繪制根軌跡的法則。只要牢記這10條法則的結(jié)論，就可以迅速地繪制出系統(tǒng)Kg=→∞時根軌跡的大致形狀（即所謂根軌跡草圖），從而可以直觀地分析系統(tǒng)參數(shù)Kg變