專題05 破譯空間中有關(guān)外接球的問(wèn)題（解析版）

專題05破譯空間中有關(guān)外接球的問(wèn)題一、單選題1．（2020·重慶市育才中學(xué)高三月考）過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作與該半徑所在直線成30°的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題畫出圖形,設(shè)球心為,則為一條半徑,為中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的平面與所成角為30°,截面的圓心為,截面與球一交點(diǎn)為,則,截面,則,,設(shè),則,,所以在中,,則,所以所得截面的面積與球的表面積的比為,故選:C2．（2020·湖北省高三）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)是的外心，過(guò)點(diǎn)作平面使，是外接球球心，半徑設(shè)為，則.在直角梯形中，，，，得，過(guò)點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面時(shí)，截面面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為，截面面積的最小值是.故選：B.3．（2020·福建省高三月考）在三棱錐中，底面，，是線段上一點(diǎn)，且.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球表面上，過(guò)點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的中心為，設(shè)球的半徑為，，則球心到平面的距離為，即，連接，則，∴.在中，取的中點(diǎn)為，連接，則，，所以.在中，，由題意得到當(dāng)截面與直線垂直時(shí)，截面面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大為，所以，，球的表面積為.故選:C.4．（2020·福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)滿足，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P為三棱錐的外接球的球心，故P到三點(diǎn)的距離相等，由正方體的性質(zhì)，P點(diǎn)在直線上不妨設(shè)由于外接球半徑：故表面積,故選：C5．（2020·云南省云南師大附中高三月考）四邊形是菱形，，，沿對(duì)角線翻折后，二面角的余弦值為，則三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)為，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則二面角的平面角為，，所以，，，設(shè)，則，，則，，，，球的半徑，所求外接球的體積為，故選：B.6．（2020·河北省高三月考）圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為，側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,則圓錐的體積為,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展開整理得R=所以外接球的體積為,故所求體積比為，故選：A7．（2020·湖南省高三期末）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知底面外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，則外接圓的半徑，而，，所以，所以，過(guò)的中點(diǎn)做垂直于底面的直線交中截面與點(diǎn)，則為外接球的球心，由題意得：，所以外接球的表面積，故選：．8．（2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檎襟w的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以正方體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為，故選A.二、填空題9．（2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面都是球的截面，若圓臺(tái)的高為，上、下底面的半徑分別為，，則球的表面積為__________．【答案】【解析】設(shè)球半徑為R，球心O到上表面距離為x，則球心到下表面距離為6-x,結(jié)合勾股定理，建立等式，解得，所以半徑因而表面積10．（2020·山東省高三）若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的外接球的表面積為_______.【答案】.【解析】作出圓柱與其外接球的軸截面如下：設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以軸截面的面積為，解得，因此，該圓柱的外接球的半徑，所以球的表面積為.故答案為11．（2020·廣西壯族自治區(qū)廣西師大附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三）在平面四邊形ABCD中，ΔBCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ΔBAD為等腰三角形，且∠BAD=，以BD為折痕，將四邊形折成一個(gè)的二面角，并且這個(gè)二面角的頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的球面面積為________________【答案】【解析】折成的立體圖形如圖所示，O為球心，E為BD的中點(diǎn)，∠CEH=，CE=，所以由得：，所以，球面積為故答案為：12．（2020·湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考）已知三棱錐，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐的外接球表面積是______.【答案】【解析】當(dāng)取最大值時(shí)，，兩兩垂直，此時(shí)以，，為長(zhǎng)方體的三條棱，長(zhǎng)方體的外接球也即是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)球的半徑為R，則，球的表面積為.故答案為：13．（2020·廣東省高三期末）已知三棱錐中，，當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí)，三棱錐的外接球的體積為______.【答案】【解析】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，則可知平面時(shí)，到平面的距離最大為，底面為等腰三角形，，所以，當(dāng)時(shí)，的面積最大，即，所以，當(dāng)兩兩垂直時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)三棱錐的外接球可以看作是以為棱長(zhǎng)的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以所求球的體積為.故答案為：.14．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖所示，六氟化硫的分子是一個(gè)正八面體結(jié)構(gòu)，其中6個(gè)氟原子恰好在正八面體的頂點(diǎn)上，而硫原子恰好是正八面體的中心.若把該分子放入一個(gè)球內(nèi)，則這個(gè)球的體積與六氟化硫分子體積之比的最小值為________.【答案】.【解析】由正八面體的性質(zhì)可得：當(dāng)這個(gè)球的體積與六氟化硫分子體積之比取最小值時(shí)，此時(shí)這個(gè)球?yàn)檎嗣骟w的外接球，且球心為點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為，則正八面體的體積為，又正八面體的外接球的體積為，則這個(gè)球的體積與六氟化硫分子體積之比的最小值為,故答案為：.15．（2020·河南省高三）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正