高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題五三角函數(shù)與解三角形4解三角形及其綜合應(yīng)用綜合集訓(xùn)含解析新人教A版

PAGEPAGE15解三角形及其綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=3sinB,c=5,且cosC=56,則a= (A.22B.3C.32D.4答案B2.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,則ab等于 (A.32B.43C.2答案D3.在△ABC中,a=23,c=22,A=60°,則C= ()A.30°B.45°C.45°或135°D.60°答案B4.(多選題)已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,下列四個(gè)命題中正確的是 ()A.若tanA+tanB+tanC>0,則△ABC是銳角三角形B.若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形D.若acosA=bcosB=c答案ACD5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a∶b∶c=4∶3∶2,則2sinA-sinBA.37B.57C.97答案D6.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若b+acosC=0,sinA=2sin(A+C),則bca2= (A.7B.72C.74答案C7.設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=1,A=2C,則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為 ()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3]答案C考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用8.在△ABC中,三邊長(zhǎng)分別為a,a+2,a+4,最小角的余弦值為1314,則這個(gè)三角形的面積為 (A.1534B.154C.21答案A9.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

答案1006[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理1.(2020吉林長(zhǎng)春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-23,AC=15-2,則AC邊上的高為 (A.52B.2C.5D.答案C依題意得sinA=1-cos2A=53,則sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=53×32-23×12=15-26.由正弦定理得BCsinA=ACsinB,得BC=AC·2.(2019安徽安慶二模,10)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則ab等于 (A.32B.43C.2答案D由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinA·cosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,則cosA=12.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.3.(2020陜西安康二模,15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,B=π4,tanC=7,則b=答案5解析由tanC=7且C∈(0,π)可求得sinC=7210,cosC=210.故sinA=sin(B+C)=sinπ4+sinC)=22×210+7210=45.由asinA=b4.(2020河南開封二模,17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosB=-12,.△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求對(duì)應(yīng)三角形的三邊;若不存在,說明理由從①a+c=2,②b=3a這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并作答.如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析若選①,由題意得sinB=32,S=12acsinB=34ac≤34a+c22=34,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)等號(hào)成立,則面積的最大值為34,由余弦定理得b2=a2+c若選②,由題意得B=2π3,則sinB=32,因?yàn)閟inBsinA=ba=3,所以sinA=12,A=π6,C=π6,所以a=c,S=12acsinB=35.(2020九師聯(lián)盟3月聯(lián)考,17)已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a-b+(1)求角A的大小;(2)若△ABC的外接圓半徑為2,求△ABC的面積S的最大值.解析(1)由正弦定理及題意得a-b+cc=ba+b-c,化簡(jiǎn)得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推論得cosA=b2+c2(2)由正弦定理得asinA=2R,則a=2RsinA=4sinπ3由余弦定理得a2=12=b2+c2-2bccosA≥2bc-bc=bc,即bc≤12(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)),故S=12bcsinA≤12×12×32=33(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)).即△ABC的面積S的最大值為6.(2019北京豐臺(tái)一模文,16)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cos2C=-34(1)求sinC;(2)當(dāng)c=2a,且b=32時(shí),求a.解析(1)因?yàn)閏os2C=-34,所以1-2sin2C=-3因?yàn)?<C<π2,所以sinC=14(2)由(1)可知sinC=144因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以cosC=1-sin因?yàn)閏=2a,asinA=所以sinA=12sinC=148,所以cosA=528.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin因?yàn)閍sinA=bsinB,b=32,考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2018廣西柳鐵一中2月月考,6)在△ABC中,“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B若B∈π2,π,A∈0,π2,則sinA>0,cosB<0,則sinA>cos∴“sinA>cosB”不是“△ABC為銳角三角形”的充分條件.若△ABC為銳角三角形,則A,B∈0,π2且π2<A+B<π,∴π2>A>π2-B>0,∴sinA>sinπ2-B=cosB,∴綜上,“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.2.(2018云南昭通一模,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=223,bcosA+acosB=2,則△ABC的外接圓的面積為 (A.4πB.8πC.9πD.36π答案C已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R為△ABC的外接圓半徑).利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,則2RsinC=2,因?yàn)閏osC=223,所以sinC=13,所以R=3.故△ABC的外接圓面積為9π3.(2019北京朝陽(yáng)一模文,4,5分)已知△ABC中,∠A=120°,a=21,△ABC的面積為3.若b<c,則c-b= ()A.17B.3C.-3D.-17答案B∵S△ABC=12bcsinA=34bc=3,∴bc∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=b2+c2+4=21,∴b2+c2=17,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=25,∴b+c=5,結(jié)合b<c,bc=4,解得c=4,b=1,∴c-b=3,故選B.4.(2019北京海淀一模,10)在△ABC中,a=4,b=5,cosC=18,則c=,S△ABC=答案6;15解析由已知及余弦定理得c2=42+52-2×4×5×18∴c=6,∵cosC=18,∴C∈0∴sinC=1-cos∴S△ABC=12absinC=12×4×5×375.(2019北京西城二模,11)在△ABC中,若a=2b,b=2c,則三個(gè)內(nèi)角中最大角的余弦值為.

答案-2解析因?yàn)閍=2b,b=2c,所以a=2c,從而a>b>c,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-22·c2cosA,得cosA=-24誤區(qū)警示根據(jù)三角形中“大邊對(duì)大角”判斷出哪個(gè)角最大,然后用余弦定理求解.6.(2019貴州凱里中學(xué)4月月考,17)已知銳角△ABC面積為S,∠A,∠B,∠C所對(duì)邊分別是a,b,c,∠A,∠C的平分線相交于點(diǎn)O,b=23且S=34(a2+c2-b2),求(1)∠B的大小;(2)△AOC周長(zhǎng)的最大值.解析(1)∵S=34(a2+c2-b2∴12acsinB=34(a2+c2-b故12acsinB=34·2accosB?tanB=∵B∈0,π2,∴B(2)設(shè)△AOC周長(zhǎng)為l,∠OAC=α,∵△ABC為銳角三角形,B=π3∴A+C∈0,2π3,C∈0,π則α∈π12∵OA,OC分別是∠A,∠C的平分線,B=π3∴∠AOC=2π3由正弦定理,OAsinπ3-α=∴△AOC周長(zhǎng)l=4sinα+4sinπ3-α+23=4sinα∵α∈π12,π4,∴α+∴當(dāng)α=π6時(shí),△AOC周長(zhǎng)取得最大值,最大值為4+23綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校調(diào)研聯(lián)考,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinAsinB+sinC+ba+A.π6B.π3C.2π3答案B(2020浙江名校聯(lián)盟考,13)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,c=2,A=π3則asinC=,a+b的取值范圍是.

答案3;(1+3,4+23)3.(2021屆廣東湛江二十一中月考,17)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a2+bc=(b+c)2.(1)求角A;(2)若b=1,c=3,D為BC的中點(diǎn),求中線AD的長(zhǎng).4.(2020山東泰安5月模擬,19)在①asinC-3ccosBcosC=3bcos2C;②5ccosB+4b=5a;③(2b-a)cosC=ccosA這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求sinC;(2)已知a+b=5,△ABC的外接圓半徑為433,求△ABC的邊AB考法二三角形形狀的判斷5.(2020山東濟(jì)寧二中10月月考,8)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,a2=b2+c2-bc,則△ABC的形狀是 ()A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A6.(2020山東青島三模,7)在△ABC中,如果cos(2B+C)+cosC>0,那么△ABC的形狀為 ()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形答案A7.(多選題)(2020山東煙臺(tái)5月模擬,11)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,則 (A.sin∠CDB=310B.△ABC的面積為C.△ABC的周長(zhǎng)為8+45D.△ABC為鈍角三角形答案BC考法三與三角形的面積、范圍有關(guān)的問題8.(2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考(六),10)設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=2,B=2A,則b的取值范圍為 ()A.(22,23)B.(22,4)C.(2,23)D.(0,4)答案A9.(2020河北正定中學(xué)第三次質(zhì)量檢測(cè),16)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,BD=5,AB⊥AC,AC=2AB,則CD的最小值為.

答案510.(2020浙江紹興嵊州期末,15)在銳角△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),且AB=22,BC=3,AC=AD,若cos∠CAD=35,則sinC=;△ABC的面積是答案2511.(2021屆江蘇蘇州八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測(cè),18)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=2.有以下3個(gè)條件:①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c.請(qǐng)?jiān)谝陨?個(gè)條件中選擇一個(gè),求△ABC面積的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.12.(2020湖北襄陽(yáng)四中3月月考,17)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinB=bsinA-(1)求A;(2)D是線段BC上的點(diǎn),若AD=BD=2,CD=3,求△ADC的面積.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2018湖南衡陽(yáng)2月調(diào)研,6)在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,若2sinC=sinA+sinB,cosC=35且S△ABC=4,則c= (A.463B.4C.2答案A因?yàn)?sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b①,由cosC=35可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-165ab②,又由cosC=35,得sinC所以S△ABC=12absinC=2ab5=4,∴由①②③解得c=463,故選(2019寧夏石嘴山一模,8)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若ccosB+bcosC=asinA,S=34(b2+a2-c2),則B= (A.90°B.60°C.45°D.30°答案D由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,所以sin(C+B)=sin2A?sinA=1,因?yàn)?°<A<180°,所以A=90°.由余弦定理、三角形面積公式及S=34(b2+a2-c2得12absinC=34·2abcos整理得tanC=3,又0°<C<90°,所以C=60°,故B=30°.故選D.3.(2019廣西桂林、梧州、貴港、玉林、崇左、北海聯(lián)考,15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=4,c=9,sinAsinC=sin2B,則cosB=.

答案61解析∵sinAsinC=sin2B,∴b2=ac=36,∴cosB=a2+c4.(2019河南鄭州第二次質(zhì)檢,15)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sinC+2sinCcosB=sinA,C∈0,π2,a=6,cosB=13,則答案12解析由正弦定理及題意可得c+2c×13=a即a=53c,又a=6,所以c=3由余弦定理得b2=6+5425-125=所以b=125考法二三角形形狀的判斷1.(2019云南師大附中1月月考,9)在△ABC中,若tanAtanB=a2b2,A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能確定答案B由已知并結(jié)合正弦定理得,sinAcosA·cosBsinB=sin2Asin2B,即cosBcossin2B,又A、B為△ABC的內(nèi)角,∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選B2.(2017陜西渭南二模)已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,滿足直線ax+by+2c=0與圓x2+y2=4相離,則△ABC是 ()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上情況都有可能答案C易知圓心到直線的距離d=|2c|a2+b2>2,故c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=a2+b3.(2019四川蓉城名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考,6)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=π3,a2=bc,則△ABC的形狀是 (A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案C由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc.∵a2=bc,∴bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,∴b=c.又A=π3,∴△ABC是等邊三角形4.(2019湘東六校3月聯(lián)考,5)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足6sinA=4sinB=3sinC,則△ABC是 ()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上都有可能答案C由已知利用正弦定理可得6a=4b=3c,則可設(shè)a=2k,b=3k,c=4k,k>0,則cosC=4k2+9k2-16k22×2k×35.(2019河南洛陽(yáng)一模,11)在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2C2+12,則△ABC為 (A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.銳角非等邊三角形D.鈍角三角形答案B由2acosB=c及正弦定理得2sinAcosB=sinC,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,∵A與B都為△ABC的內(nèi)角,∴A-B=0°,即A=B.∵sinAsinB(2-cosC)=sin2C2+1∴sinAsinB(2-cosC)=12(1-cosC)+12=1-12∴-12[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-12cos∴-12(-cosC-1)(2-cosC)=1-12cosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cos整理得cos2C-2cosC=0,即cosC(cosC-2)=0,∴cosC=0或cosC=2(舍去),∴C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.故選B.(2019廣東佛山順德第二次質(zhì)檢,17)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2bsinCcosA+asinA=2csinB.(1)證明:△ABC為等腰三角形;(2)若D為BC邊上的點(diǎn),BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.解析(1)證明:∵2bsinCcosA+asinA=2csinB,∴由正弦定理得2bccosA+a2=2cb,由余弦定理得2bc·b2+c2-a化簡(jiǎn)得b2+c2=2bc,∴(b-c)2=0,即b=c.故△ABC為等腰三角形.(2)解法一:由已知得BD=2,DC=1,∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AD2+即12+22-c22×1×2=-12+12-b22×1×1,得2b2解法二:由已知可得CD=13a=1,由(1)知,AB=AC∴∠B=∠C,又∵∠DAC=∠ADB-∠C=2∠C-∠C=∠C=∠B,∴△CAB∽△CDA,∴CBCA=CACD,即3b=b1,∴考法三與三角形面積、范圍有關(guān)的問題(2018吉林長(zhǎng)春二中期中,9)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sinA2-π6則△ABC的面積的最大值為 ()A.3B.33C.32答案B∵A∈(0,π),∴A2-π6∈∵2sinA2∴A2-π6=π6,∴A又a=2,∴4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,∴bc≤43△ABC的面積S=12bcsinA≤12×43×3∴△ABC的面積的最大值為33.故選B2.(2018海南二模)在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知a=3,(b2+c2-3)tanA=3bc,2cos2A+B2=(2-1)cosC,則△ABC的面積為A.3+34C.32-6答案A∵a=3,(b2+c2-3)tanA=3bc,∴b2+c2-即cosAtanA=32亦即sinA=32又A∈0,π2,∴A∵2cos2A+B2=(2∴1+cos(A+B)=(2-1)cosC,∴1-cosC=(2-1)cosC,∴cosC=22,C∈0∴C=π4由正弦定理可得asinπ3=csinπ4∴S△ABC=12acsinB=12×3×2×6+故選A.3.(2018四川瀘州一模,16)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為1,且滿足tanAtanB=2c-b答案3解析設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則r=1,∴c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB,∵tanA=sinAcosA,tanB∴tanAtanB=sinAcos∴sinAcosB=cosA(2sinC-sinB)=2sinCcosA-sinB