專題4.7平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練(重難點(diǎn)培優(yōu))(解析版)【浙教版】

#/29【分析】(1)由4AOF/△EOB，推出AF=BE，由AF//BE，可得四邊形ABEF是平行四邊形，再證明AB=BE即可解決問題；(2)分NCBF不為直角和/BFC=90°兩種情況求得周長(zhǎng)即可.【解析】(1)四邊形ABEF是菱形；理由：???四邊形ABCD是平行四邊形，??AF/BE,??/FAO=NBEO,VZAOF=NEOB,OA=OE,??△AOF必EOB,??AF=BE,??四邊形ABEF是平行四邊形；AE平分ZBAD,AZFAE=ZBAE,VZFAE=ZAEB,AZBAE=ZAEB,ABA=BE,A四邊形ABEF是菱形.(2)VZBAE=ZB=60°,AZCBF不可能為直角；當(dāng)ZBCF=90°時(shí)，BF=2OB=2，3,CF=V3,BC=3,此時(shí)△BFC的周長(zhǎng)為3+3，3；當(dāng)ZBFC=90°時(shí)，BC=4,CF=2,BF=2，3,此時(shí)△BFC的周長(zhǎng)為6+2百；所以△BFC的周長(zhǎng)為6+2行或3+3V3.(2020?秦淮區(qū)二模)圖，點(diǎn)E、F分別在團(tuán)ABCD的邊AB、CD的延長(zhǎng)線上，且BE=DF,連接AC、EF、AF、CE,AC與EF交于點(diǎn)O.(1)求證：AC、EF互相平分；(2)若EF平分ZAEC,判斷四邊形AECF的形狀并證明.【分析】（1）要證明線段AC與EF互相平分，可以把這兩條線段作為一個(gè)四邊形的對(duì)角線，然后證明這個(gè)四邊形是平行四邊形即可；（2）要證四邊形AECF是菱形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可.【解析】（1）證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，??AB=DC,AB〃DC.又：BE=DF,??AB+BE=DC+DF,即AE=CF.??AE=CF,AE〃CF,??四邊形AECF是平行四邊形.??AC、EF互相平分.（2）四邊形AECF是菱形.證明：,?"〃DC,AZAEO=ZCFO.??EF平分/AEC,AZAEO=ZCEO.AZCEO=ZCFO.ACE=CF.??四邊形AECF是平行四邊形，A四邊形AECF是菱形.（2020春?贛榆區(qū)期中）如圖，在團(tuán)ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，且AB=AE.（1）求證：△ABC/△EAD；（2）若ZB=65°,ZEAC=25°,求ZAED的度數(shù).A DBEC【分析】(1)先證明NB=Z￡/。，然后利用SAS可進(jìn)行全等的證明；(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/BAE=50°,求出/BAC的度數(shù)，即可得/AED的度數(shù).【解析】(1)證明：???在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,BC=AD,??/EAD=NAEB,又：AB=AE,.??/B=NAEB,??/B=NEAD,在^ABC和^EAD中，AB=AE2ABe=^EAD,BC=AD.△ABC必EAD(SAS).(2)解：：AB=AE,.NB=NAEB,.NBAE=50°,.NBAC=NBAE+NEAC=50°+25°=75°,?,△ABC必EAD,.NAED=NBAC=75°.(2018春?鄂城區(qū)期中)如圖，在△ABC中，NBAC=90°,NB=45°,BC=10,過點(diǎn)A作AD//BC,且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2,連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)若PE±BC,求BQ的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問是否存在t的值，使以A,B,E,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.APDSOEC【分析】(1)作AMLBC于/，由已知條件得出AB=AC,由等腰三角形的性質(zhì)得出BM=CM,由直角1三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AM=2BC=5,證出△APN和^CEN是等腰直角二角形，得出PN=AP=t,CE=NE=5-t,由CE=CQ-QE=21-2得出方程，解方程即可；(2)由平行四邊形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可.【解析】(1)作AMLBC于M,設(shè)AC交PE于N.如圖所示：VZBAC=90°,NB=45°,AZC=45°=ZB,???AB=AC,ABM=CM,1..AM==2BC=5,AD〃BC,AZPAN=ZC=45°,PELBC,APE=AM=5,PELAD,??.△APN和^CEN是等腰直角三角形，APN=AP=t,CE=NE=5-t,VCE=CQ-QE=2t-2,A5-t=2t-2,解得：t=3所以BQ=BC-CQ=10-2X7=學(xué)；(2)存在，t=4或12；理由如下：若以A,B,E,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，貝UAP=BE,At=10-21+2或t=21-2-10解得：t=4或12A存在t的值，使以A,B,E,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，t=4或12.

(2020?岱岳區(qū)三模)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=BC=2AB,F是AD的中點(diǎn)，作CE±AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF.(1)若/ADC=80°,求NECF；(2)求證：NECF=NCEF.【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，由線段中點(diǎn)的定義得到AF=FD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NDFC=NDCF=1(180°-80°)=50°,于是得到結(jié)論;(2)如圖，延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線于/,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA=NMDF,根據(jù)全等三角形的性一. . . . 1質(zhì)得到FE=MF,NAEF=NM,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FC=qEM=FE,由等腰二角形的性質(zhì)得到.【解析】(1)：AD/BC,AD=BC,???四邊形ABCD是平行四邊形，:F是AD的中點(diǎn)，???AF=FD,???在團(tuán)ABCD中，AD=2AB,???AF=FD=CD,ANDFC=NDCF=2(180°-80°)=50°,?:CE±AB,ANDCE=90°,

AZECFAZECF=90-50°=40(2)如圖，延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線于M,??四邊形ABCD是平行四邊形，AAB〃CD,AZA=ZMDF,:F為AD中點(diǎn)，AAF=FD,24=4FDM在^AEF和^DFM中，卜尸=D尸 ，ZAFE=4DFM??△AEF/△DMF(ASA),AFE=MF,ZAEF=ZM,:CE±AB,AZAEC=90°,:?/AEC=/ECD=90 °,??FM=EF,AFC=2EM=FE,AZECFAZECF=ZCEF.15.（2017?南充模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,BC=CD,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，且BE=DF=AD,AF與DE交于點(diǎn)G.(1)求證：AB=BF.(2)當(dāng)AB=5V2,AD=2?,求DG的長(zhǎng).【分析】(1)先證△BCF/△DCE，再證四邊形ABED是平行四邊形，從而得AB=DE=BF.(2)延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，設(shè)EC=FC=x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x的值，再證明點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)即可求出DG的長(zhǎng).【解析】(1)證明：??BC=CD,BE=DF,:.CF=CE,在^BCF與^DCE中，'CF=CEZC=LC=90°,EC=DC.△BCF必DCE,.BF=DE,??AD//BC,BE=AD,??四邊形ABED是平行四邊形；.AB=DE,.AB=BF.(2)由(1)可得AB=DE=572,設(shè)EC=FC=x,在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+(x+275)2=(572)2,解得：x=75，延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,??AD/BC,AZ1=ZH,??AD=DF,AZ1=Z2,Z2=Z3,AZ3=ZH,??FC=CH,?,EH=2x=2V5,??AD=EH,??AD//BC,：.DG=EG,???DG=1DE=挈6.(2020春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末)已知：如圖，在RtAACB中，/ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF/AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：△ADE/△FCE；(2)求證：四邊形ACFD是平行四邊形.(3)若NDCF=120°,DE=2,求BC的長(zhǎng).A D B【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可得DE=CE，根據(jù)CF/AB，可得NADE=NFCE，/DAE=NCFE，進(jìn)而利用AAS可以證明^ADE/△FCE；(2)結(jié)合(1)的CF=AD,再由CF/AB,即可證明四邊形ACFD是平行四邊形；(3)結(jié)合(1)先證明四邊形DCFB是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=DB，得平行四邊形DCFB是菱形，由NDCF=120°,可得△CDB是等邊三角形，由DE=2,即可求BC的長(zhǎng).【解析】(1)二?點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，???DE=CE,■:CF/AB,AZADE=ZFCE，/DAE=ZCFE,在^ADE和^FCE中，24DE=乙FCE乙DAE=乙CFE,力E=CE:.△ADE必FCE(AAS)；(2)證明：???△ADE/△FCE,AAD=CF,又CF〃AB,A四邊形ACFD是平行四邊形；(3)\?點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AAD=BD,??AD=CF,ABD=CF,又CF〃AB,A四邊形DCFB是平行四邊形，ZACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ADC=AD=BD,A平行四邊形DCFB是菱形，AZDCF=120°,AZCDB=60°,??△CDB是等邊三角形，ABC=CD=2DE=4,答：BC的長(zhǎng)為4.(2020春?青羊區(qū)期末)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF,DF=BE，且DF//BE.(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若ZCEB=2ZEBA,BE=3,EF=2,求AC的長(zhǎng).【分析】（1）證4ADF/△CBE（SAS）,得到AD=CB,ZDAF=ZBCE,證出AD//CB,即可得到結(jié)論;（2）證NEAB=ZEBA,得出AE=BE=3,則CF=AE=3,即可得出答案.【解析】（1）證明：：AE=CF,??AE+EF=CF+EF,即AF=CE,??DF/BE,AZDFA=ZBEC,ZF=CE在^ADF和^CBE中，\^DFA=ABEC,DF=BE??△ADF/△CBE(SAS),AAD=CB,ZDAF=ZBCE,AAD/CB,A四邊形ABCD是平行四邊形；(2)解：???/CEB=ZEBA+ZEAB=2ZEBA,AZEAB=ZEBA,AAE=BE=3,ACF=AE=3,AAC=AE+EF+CF=3+2+3=8.(2020春?蓮湖區(qū)期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，AG/BD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形.(2)若AE=DE，求ZG的度數(shù).【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD/BC,DC/AB,DC=AB，推出DF=BE,DF/BE，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；

，得到四邊形AGBD為矩形，即可得出(2)先證明四邊形AGBD是平行四邊形，再證出/ADB=，得到四邊形AGBD為矩形，即可得出【解析】(1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，??AB=CD,AB〃CD,:E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，：.BE=1AB,DF=1CD,??BE=DF.??BE〃DF,??四邊形BEDF是平行四邊形.(2)解：二?四邊形ABCD是平行四邊形，??AD〃BG,??AG〃BD,??四邊形AGBD是平行四邊形，??點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，.AE=BE=2AB,??AE=DE,??AE=DE=BE，即DE=|AB,??△ABD是直角三角形，NADB=90°,??平行四邊形AGBD是矩形.??/G=90°.(2020?揚(yáng)州)如圖，團(tuán)ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作EF±AC,分別交AB、DC于點(diǎn)E、F,連接AF、CE.若OE=2，求EF的長(zhǎng)；DF/ DF/ E【分析】判定△AOE/△COF(ASA)，即可得OE=OF=3,進(jìn)而得出EF的長(zhǎng);【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，??AB//CD,AO=CO,：.ZFCO=ZEAO,又,：/AOE=ZCOF,:.△AOE必COF(ASA),??OE=OF=|,??EF=2OE=3；(2020春?龍崗區(qū)校級(jí)期末)如圖，四邊形ABCD中，BE±AC交AD于點(diǎn)G,DF±AC于點(diǎn)￡已知AF=CE,AB=CD.(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)如果/GBC=ZBCD,AG=6,GE=2,求AB的長(zhǎng).A GDB C【分析】(1)證RtAABE^RtACDF(HL)，得/BAE=ZDCF,證出AB/CD,由AB=CD,即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；(2)證四邊形BCDG是等腰梯形，得BG=CD=AB，由勾股定理得AE=471,設(shè)AB=BG=x，則BE=x-2,在RtAABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解析】(1)證明：???BE±AC,DF±AC,AZAEB=ZCFD=90°,???AF=CE,AAF-EF=CE-EF,即AE=CF,在RtAABE和RtACDF中，Hg=￡2,Ah=CrARtAABE0RtACDF(HL),AZBAE=ZDCF,AAB/CD,

??四邊形ABCD是平行四邊形；(2)解：由(1)得：四邊形ABCD是平行四邊形，??AD〃BC,??DG〃BC,VZGBC=ZBCD,??四邊形BCDG是等腰梯形，??BG=CD=AB,.*AE=、AG2—GE2=弋62-22=4V2,設(shè)AB=BG=x，貝UBE=x-2,在RtAABE中，由勾股定理得：(4V2)2+(x-2)2=x2,解得：x=9,??AB=9.1.(2020?兩江新區(qū)模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn),G分別是CD,AB上的點(diǎn)，且AG=CF,連接FG,BD交于點(diǎn)O.(1)求證：OB=OD；(2)若ZA=45°,DB±BC,當(dāng)CD=2應(yīng)時(shí)，求OC的長(zhǎng).A GB【分析】(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出ZODF=ZOBG,BG=DF,判定△DOF/△BOG，即可得至UOB=OD；(2)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出△BCD是等腰直角三角形，進(jìn)而得到BC,BO的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得到OC的長(zhǎng).【解析】(1)V四邊形ABCD是平行四邊形，???AB〃CD,AB=CD,AZODF=ZOBG,VAG=CF,ABG=DF,

在^DOF和^BOG中，2D0F=乙BOG■AODF=乙OBG,、DF=BG:.△DOFSBOG(AAS),???OB=OD；(2)二?四邊形ABCD是平行四邊形，AZBCD=ZA=45°,???BD±BC,AZDBC=90°,AZBDC=ZBCD=45°,ADB=CB,又,：CD=2V2,ACB=DB=2,AOB=1,A.RtABCO中，OC=7BC2+BO2=.22+12=氐(2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考)如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于點(diǎn)O.(1)求證：AD與BE互相平分；(2)若AB±AC,AC=BF,BE=8,FC=2,求AB的長(zhǎng).D【分析】(1)先證△ABC/△DEF(ASA)，得AB=DE，再證四邊形ABDE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；(2)先求出BF=3,則AC=BF=3,BC=BF+FC=5,然后由勾股定理即可得出答案.【解析】(1)證明：如圖，連接BD、AE,??FB=CE,

???BC=EF,又?：AB〃ED,AC//FD,AZABC=ZDEF,/ACB=ZDFE,在^ABC和^DEF中，2BAC=4DEFBC=EF,/ACB=乙DFE???△ABC/△DEF(ASA),???AB=DE,又?：AB/DE,A四邊形ABDE是平行四邊形，??AD與BE互相平分;(2)解：：FB=CE,??BE=2BF+FC,???BF=BE-FC8-2???BF=BE-FC8-2=3,??AC=BF=3,BC=BF+FC=3+2=5,???由勾股定理得：???由勾股定理得：AB=7BC2-AC2=752-32=4.(2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中)如圖，平行四邊形ABCD中，分別過A,C兩點(diǎn)作AE±BD,CF±BD,垂足分別為E,F,連接CE,AF.(1)求證：BE=DF；(2)若AB=4,EF=73,ZAFE=45°,求4ABD的面積.【分析】(1)證4ABE/△CDF(AAS)，即可得出結(jié)論；(2)先證△AEF是等腰直角三角形，得AE=EF=V3,再由勾股定理得BE=舊，則BD=BE+EF+DF=2而+V3,然后由三角形面積公式即可得出答案.【解析】(1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，??AB=CD,AB〃CD,AZABE=ZCDF,又：AE±BD,CF±BD,AZAEB=ZCFD=90°,在^ABE和^CDF中，2ABE=乙CDFZEB=乙CFD,AB=CD??△ABESCDF(AAS),ABE=DF；(2)解：：AE±BD,ZAFE=45°,?.△AEF是等腰直角三角形，AAE=EF=V3,ABE=7AB2-AE2=V42-(73)2=V13,由(1)得：DF=BE=713,ABD=BE+EF+DF=2713+73,?.△ABD的面積=1BDXAE=1X(2713+73)x73=739+|.(2020秋?錦江區(qū)期末)如圖1,在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE±BC交BC于點(diǎn)E，連接ED,且ED平分ZAEC.(1)求證：AE=BC；(2)如圖2,過點(diǎn)C作CF±DE交DE于點(diǎn)F,連接AF,BF,猜想△ABF的形狀并證明.圖1 圖2【分析】(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD=3C,依據(jù)/AED=ZADE，即可得出AE=AD,進(jìn)而得至1」AE=BC；(2)判定△AEF/△BCF(SAS),即可得到AF=BF,ZAFE=ZBFC,進(jìn)而得出/AFB=ZEFC=90°,即可得到^ABF是等腰直角三角形.【解析】(1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，???AD〃BC,AD=BC,又：AE±BC,AZAEC=90°,又：ED平分ZAEC,AZADE=ZCED=45°,AZAED=ZADE,AAE=AD,AAE=BC；(2)^ABF是等腰直角三角形，證明：?;CF±DE,AZCFE=90°,又???/CEF=45°,AZECF=45°,AZFEC=ZFCE=ZAEF,AEF=CF,在^AEF和^BCF中，AE=BC■^AEF=乙BCF,EF=CF???△AEF/△BCF(SAS),AAF=BF,ZAFE=ZBFC,AZAFE-ZBFE=ZBFC-ZBFE,即ZAFB=ZEFC=90°,??.△ABF是等腰直角三角形.圖1 圖225.(2020秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中)如圖，在四邊形ABCD中，/A=ZB=ZBCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延長(zhǎng)BC到E，使CE=3,連接DE，由直角三角形的性質(zhì)可知DE=5.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(t>0)(1)當(dāng)t=3時(shí)，BP=6；(2)當(dāng)t=8時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到NB的角平分線上；(3)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示△ABP的面積S；(4)當(dāng)0Vt<6時(shí)，直接寫出點(diǎn)P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時(shí)t的值.【分析】(1)根據(jù)題意可得BP=21，進(jìn)而可得結(jié)果；(2)根據(jù)/A=NB=NBCD=90°,可得四邊形ABCD是矩形，根據(jù)角平分線定義可得AF=AB=4,得DF=4,進(jìn)而可得t的值；(3)根據(jù)題意分3種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)