平面向量的應(yīng)用-【三維講練】高一數(shù)學(xué)精講系列【知識點(diǎn)·方法·題型】（2019人教A版必修第二冊）

6.4平面向量的應(yīng)用1.掌握利用向量法解決平面幾何中的垂直、平行、長度、夾角、面積等問題.2.掌握利用向量法解決實(shí)際問題，如：力的大小、速度、位移、做功等問題.3.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.4.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.5.熟練掌握余弦定理及其變形形式.6.能利用余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題.7.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.8.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題．9.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題.10.學(xué)會(huì)根據(jù)條件特點(diǎn)選擇正弦、余弦定理解決一些和三角函數(shù)、向量有關(guān)的綜合問題.11.學(xué)會(huì)利用三角形中的隱含條件.掌握用兩邊夾角表示的三角形面積公式.12.會(huì)用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)距離的測量問題.解讀：1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能向量方法這一工具解決與平面幾何、三角函數(shù)、物理學(xué)中的相關(guān)問題，使得問題的處理簡便.2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求理與掌握余弦定理的內(nèi)容及公式特點(diǎn)，會(huì)用余弦定理解三角形，并能準(zhǔn)確應(yīng)用余弦定理進(jìn)行恒等式的證明與判斷三角形形狀的問題的解決.3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能利用正弦定理解決與三角形邊、角、周長、面積等問題，能結(jié)合余弦定理及三角函數(shù)的相關(guān)知識解決與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問題.4.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求利用好三角形中的邊的關(guān)系，角的關(guān)系，邊角的關(guān)系中的隱含條件，結(jié)合給定三角形的條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馊切沃械倪?、角、周長、面積；解決三角形與三角函數(shù)、向量、及平面幾何相關(guān)聯(lián)的綜合問題；并能解決與實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)的距離、高度、角度、面積等問題.向量在平面幾何中的應(yīng)用★★☆1．利用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作．2．向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知．（1）證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：．（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）．（3）求夾角問題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）．（4）求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．（5）對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題．3．利用向量解決平面幾何問題的步驟（1）建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．這其實(shí)也是用向量法解決其他問題的思路，即從條件出發(fā)，選取基底，把條件翻譯成向量關(guān)系式（用基底表示其他向量），然后通過一系列的向量運(yùn)算，得到新的向量關(guān)系式，則這個(gè)新的向量關(guān)系式的幾何解釋就是問題的結(jié)論．利用向量方法解決物理問題★☆☆向量在物理中的應(yīng)用向量是在物理的背景下建立起來的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都與向量有著密切的聯(lián)系，因此可以利用向量來解決物理中的問題．具體操作時(shí)，要注意將物理問題轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，通過向量的運(yùn)算來解決，最后用來解釋物理現(xiàn)象．1．向量與力向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但是力的三要素是大小、方向和作用點(diǎn)，所以用向量知識解決力的問題，通常要把向量平移到同一作用點(diǎn)上．2．向量與速度、加速度及位移速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算．解決速度、加速度和位移等問題時(shí)，常用的知識主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，有時(shí)也借助于坐標(biāo)運(yùn)算來處理．3．向量與功、動(dòng)量力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，為和的夾角）．動(dòng)量實(shí)際上是數(shù)乘向量．在四邊形中，若，則四邊形為（????）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（????）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點(diǎn)是線段中點(diǎn)，求的值.求證：三角形的三條高線交于一點(diǎn)．已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為______．已知，且的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍_______已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為_______.已知，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍為___________.已知，是的中點(diǎn)(1)若，求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若是線段上的任意一點(diǎn)，且，求的最小值．已知中，，，則的最小值為（????）A． B． C． D．2．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則的最小值為（????）A． B． C． D．在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為___________.在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（????）A． B． C．13 D．26用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．已知梯形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．(1)求和的值；(2)若，，，求與所成角的余弦值．試用向量的方法推導(dǎo)兩角和的余弦公式.已知向量滿足與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為___________．如圖，在中，，，點(diǎn)滿足，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（包括端點(diǎn)），則的最小值是______.已知，，且，則的取值范圍是_________.在中，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若的面積為2，則的最小值是_____________.正弦定理★★★正弦定理內(nèi)容及公式：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.公式：在任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，這就是正弦定理.【微點(diǎn)撥】正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．正弦定理及其推論設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB.3.三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.三角形中三個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系★★★正弦定理的應(yīng)用范圍：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角．3.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對的角，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角．(3)如果已知的角為小邊所對的角，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（????）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形在中，角所對的邊分別為，若，則（????）A． B． C． D．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（????）A．，，，有兩解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，無解的角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足條件“，，”的三角形的解的個(gè)數(shù)是（????）A．2 B．1 C．0 D．不能確定在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則下列結(jié)論正確的是（????）A．B．的最小內(nèi)角是最大內(nèi)角的一半C．是鈍角三角形D．若，則的外接圓直徑為記的內(nèi)角對邊分別為已知．若，則的形狀是（????）A．等腰直角三角形 B．等腰銳角三角形C．等腰鈍角三角形 D．不等腰鈍角三角形在中，若，下列結(jié)論中正確的有（????）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．若，則外接圓的半徑為下列說法中正確的有（????）A．在中，B．在中，若，則C．在中，若，則；若，則D．在中，記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求的值；(2)若的外接圓半徑為，求的面積.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（????）A．若B+C=2A，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若C=2A，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若A=2C，且，為的內(nèi)心，則的面積為在中，，.若，則______；若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則的一個(gè)值可以是______.的內(nèi)角的對邊分別為的面積邊上的中線長為.(1)求；(2)求外接圓面積的最小值.在中，，，，角A是銳角，O為的外心．若，其中，則點(diǎn)P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（????）A． B． C． D．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（????）A． B．C． D．在中，角、、的對邊分別為、、，其中有兩解的是（????）A．，， B．，，C．，， D．，，在中，若，，如果可解，則邊a的取值范圍是______．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（????）A．是的充要條件B．若，則P是的垂心C．若面積為S，，則D．在銳角三角形中，角的對邊分別是，若，則______.在中，，，c邊上的中線長為1，則的外接圓的半徑長為______．是等邊三角形ABC的外接圓，若的半徑為2，則的面積為_________．的外接圓半徑為3，則______．中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，.(1)求外接圓的直徑；(2)若，求的周長.已知中，D為BC邊上一點(diǎn)，且，.(1)求證：；(2)若，求面積的最大值.余弦定理★★★余弦定理的公式表達(dá)及語言敘述余弦定理公式表達(dá)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC語言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【微點(diǎn)撥】1.余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立.(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中的三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量.2.余弦定理適合解決的問題：(1)已知兩邊及其夾角，解三角形；(2)已知三邊，解三角形.3.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角.4.當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對條件進(jìn)行化簡變形.在△ABC中，若，，，則_________．判斷正誤：（1）余弦定理不適用于直角三角形；()（2）在中，若，則此三角形是銳角三角形；()（3）若，則；()（4）在的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素；()（5）在中，已知兩邊及夾角時(shí)，不一定唯一．()滿足條件的的個(gè)數(shù)為（????）A．一個(gè) B．兩個(gè) C．不存在 D．無法判斷在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（????）A． B． C． D．在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（????）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形在中，角，，所對的邊為，，，且，，，則的值等于__________．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，，，則______．在中，角所對邊分別為．若，則______．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值是______．在銳角三角形ABC，若(1)求角B(2)求的取值范圍記的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，．已知．(1)求角的大?。?2)若點(diǎn)在邊上，平分，，且，求．已知的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求A；(2)若，且，求的面積.已知的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c且a：b：c=3：5：7，則___________.在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______．在中，若，則（????）A． B． C． D．在三角形ABC中，如果，那么A等于（????）A． B． C． D．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為．已知．則（????）A． B． C． D．在中，角所對的邊分別是，并且，，，則的值為______．在中，角的對邊分別為，若，則__________.的三個(gè)內(nèi)角所對邊的長分別為，已知，，，則的值為______．在中，角所對邊分別為．若，則______．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求證：；(2)若，求的值.在中，角所對的邊分別為，已知，，．(1)求的值；(2)求的值．在中，分別為內(nèi)角的對邊，且.(1)求證：；(2)求的取值范圍.在中，角的對邊分別是，．(1)求C；(2)若，的面積是，求的周長．在中，角的對邊分別是，，，且(1)求角A；(2)若，且面積為，求的周長．已知的三個(gè)角、、的對邊分別是、、，且滿足．(1)求；(2)若，，求點(diǎn)到邊的距離．三角形的面積公式★★★3.三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.測量中角的有關(guān)術(shù)語及計(jì)算★☆☆實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示.(2)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖1所示).(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指從原點(diǎn)O出發(fā)的經(jīng)過目標(biāo)的射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上.依此可類推正北方向、正東方向和正西方向.②東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線(如圖2所示).5.常見距離問題可分為以下三類(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖①中AB)：可取某點(diǎn)C，使得點(diǎn)A，B和C之間的距離可直接測量，測出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖②中AB)：可選取與點(diǎn)B同側(cè)的點(diǎn)C，測出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如要求圖③中河彼岸兩點(diǎn)AB間的距離)：可先在此岸一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.測距離的應(yīng)用★☆☆求兩點(diǎn)間距離問題：可視不可達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；不可通又不可視的兩點(diǎn)間距離；測量兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離.測高的應(yīng)用★☆☆求高度問題：(1)底部可到達(dá)，此類問題可直接構(gòu)造直角三角形.(2)底部不可到達(dá)，但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi)，此類問題中兩次觀測點(diǎn)和所測垂線段的垂足在同一條直線上，觀測者一直向“目標(biāo)物”前進(jìn).測量仰角(或俯角)求高度問題：如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，如果能測出點(diǎn)C，D間的距離m和由C點(diǎn)，D點(diǎn)觀察A的仰角，怎樣求建筑物高度AB？(已知測角儀器的高是h)【答案】解題思路是：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sin?α－β?.)，所以AC＝eq\f(msinβ,sin?α－β?).7.測量方向角求高度問題：如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在北偏西75°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在北偏西65°的方向上，仰角為8°，怎樣求此山的高度CD?【答案】先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.【微點(diǎn)撥】1.運(yùn)用正弦定理就能測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理.測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別.2.正弦、余弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.在中，角的對邊分別為，若，且，則為（????）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形若，且，那么是（????）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形在中，設(shè)角的對邊分別為，且，則一定是（????）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形若一個(gè)三角形的三邊長分別為，，，則此三角形的最大內(nèi)角為（????）．A． B． C． D．小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場上選取相距20米的C，D兩觀測點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點(diǎn)處測得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學(xué)樓AB的高度是（????）A．20米 B．米 C．米 D．25米臺風(fēng)中心從地以的速度向西北方向移動(dòng)，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正西方向的處，則城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長為（????）A． B． C． D．在中，角的對邊分別為則下列關(guān)系恒成立的是（????）A．若，則 B．C． D．若，則已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，CD平分ACB交AB于點(diǎn)D，且CD=2，2AD=3BD.(1)求C；(2)求的面積.在中，.(1)求的大??；(2)若，證明：.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的直徑為1，且滿足____________________.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并解答問題.①；②（為的面積）；③.(1)求A;(2)求周長的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分條件①，???????????條件②，條件③．請從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足________，(1)求；(2)若是的角平分線，且，求的最小值．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的范圍.如圖所示，為腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃沿直線開通穿山隧道，在山頂處測得三點(diǎn)的俯角分別為，在地面測得千米，千米，千米.求隧道的長度.中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，.(1)求的大??；(2)若的周長等于3，求的面積的最大值.銳角在中，設(shè)邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且.(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的取值范圍.如圖，在中，，，、分別在邊、上，，且.則值是__________；的面積是__________.某人從山的一側(cè)點(diǎn)看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計(jì)），則其從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐開_________，的最大值為__________．在中，，則三角形的形狀為（????）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，那么是（????）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定在中，若，則的形狀可能為（????）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在在中，內(nèi)角A，B?C所對的邊分別為a?b?c，的面積為S，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（????）A．若為銳角三角形，則B．若，則C．若，則一定是等腰三角形D．若為非直角三角形，則在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（????）A．B．若，則該三角形周長的最大值為6C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為D．設(shè)，且，則的最小值為如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長度均超過4千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)，，且千米，若要求觀景臺與兩接送點(diǎn)所成角與互補(bǔ)且觀景臺在的右側(cè)，并在觀景臺與接送點(diǎn)，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長是_________（千米）.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且.記，.(1)求證：；(2)若，，，求的長.在中，的對邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若，求的取值范圍.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.(1)求及；(2)若，求邊上的高.為了測量對岸之間距離，在此岸邊選取了相距1千米的兩點(diǎn)，并測得．求之間的距離．如圖，在與水平方向成角的斜坡上有一塔，從測得塔的張角分別是，，若，求塔高．如圖，保定市某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿該中學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為．(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果保留根號）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角、、的對邊分別為、、．若，，求的面積的最大值．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，且(1)求；(2)求的取值范圍某人從山的一側(cè)點(diǎn)看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計(jì)），則其從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐開_________，的最大值為__________．向量共線背景下的面積探討★☆☆（2018春?福州期末）設(shè)在的內(nèi)部，為的中點(diǎn)，且，則的面積與的面積的比值為A．3 B．4 C．5 D．6已知點(diǎn)在的內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是．向量形式下的三角形“四心”★★☆（2018春?龍巖期中）設(shè)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則為的A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心向量數(shù)量積在平面幾何中解法的探討★★☆如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且，與交于點(diǎn)，若，則的值是A． B． C． D．3處理平面向量問題的常用策略★★★1.利用定義求解已知平面上三點(diǎn)、、滿足，，，則值等于A． B． C．25 D．2.利用基底求解如圖，在平行四邊形中，已知，，，，則的值是A．44 B．22 C．24 D．723.利用坐標(biāo)求解在直角三角形中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則．4.利用代數(shù)化求解給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)．若，其中，，則的最大值是A． B．2 C． D．35.利用平面幾何性質(zhì)求解平面內(nèi)兩個(gè)非零向量、，滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是．平面向量中的幾個(gè)重要模型★★☆1.重要模型一：與若非零向量a，b滿足，則與的夾角是2.重要模型二：向量，為單位向量，對,恒成立，則（）A.B.C.D.3.重要模型三：已知，是單位向量，且，的夾角為，若向量滿足，則的最大值為A． B． C． D．4.重要模型三：如圖，在平行四邊形的邊上取點(diǎn)，使得，點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，求證：．利用正弦、余弦定理、三角形面積公式解三角形★★★1.已知一邊和兩角解三角形：在中，已知，，，則等于A． B． C． D．2.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形：在中，已知，，，求及．3.已知兩邊及其夾角解三角形：在中，已知，，，求及．在中，已知，，，求最大角和．4.已知三邊解三角形：在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的大?。唬?）若的外接圓的半徑為，面積為，求的周長．三角形形狀的判斷★★☆在中，，，分別為角，，的對邊），則的形狀為A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題★★★在中，，，為的內(nèi)角平分線，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求角的大?。切沃凶钪档那蠓ā铩睢畹娜?，，的對邊分別為，，滿足．（1）求的值；（2）若，求面積的最大值；（3）若，求周長的取值范圍．三角形中等式證明★★☆在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若，求證：．設(shè)計(jì)測量方案解三角形★☆☆為了測量兩山頂，間的距離，飛機(jī)沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測量，，，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和，間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算，間的距離的步驟．1．（2022秋?遼寧期中）鈍角的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知，，且，則的周長為A．9 B． C．6 D．或92．（2022秋?河南期中）已知的角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為A． B． C． D．3．（2022秋?河北期中）臺風(fēng)中心從地以的速度向西北方