新教材北師大版必修第二冊(cè)第2章66.1第3課時(shí)用余弦定理正弦定理解三角形學(xué)案

第3課時(shí)用余弦定理、正弦定理解三角形學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．熟練掌握正弦、余弦定理及其變形．(重點(diǎn))2．能利用余弦、正弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡(jiǎn)、證明及形狀判斷等問(wèn)題．(難點(diǎn))通過(guò)余弦、正弦定理及其變形的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng)．在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m，88m，127m，則這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精確到0.1m知識(shí)點(diǎn)三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別為邊a，b，c上的高).(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半．在△ABC中，邊BC，CA，AB上的高h(yuǎn)a，hb，hc怎樣用對(duì)應(yīng)的邊和角表示？[提示]在△ABC中，邊BC，CA，AB上的高分別記為ha，hb，hc，那么ha＝bsinC＝csinB，hb＝csinA＝asinC，hc＝asinB＝bsinA．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為()A．18eq\r(3)B．9eq\r(3)C．18D．9B[由已知，得C＝180°－A－B＝30°，∴A＝C，∴BC＝AB＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×6×6×sin120°＝9eq\r(3).]類型1三角形中的幾何計(jì)算【例1】在△ABC中，已知AB＝eq\f(4\r(6),3)，cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，AC邊上的中線BD＝eq\r(5)，求sinA的值．[解]如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(2\r(6),3).∵cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，∴cos∠BED＝－eq\f(\r(6),6).設(shè)BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，即5＝x2＋eq\f(8,3)＋2×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),6)x.解得x＝1或x＝－eq\f(7,3)(舍去)，故BC＝2.在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝eq\f(28,3)，即AC＝eq\f(2\r(21),3).又sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(30),6)，∴eq\f(2,sinA)＝eq\f(\f(2\r(21),3),\f(\r(30),6))，∴sinA＝eq\f(\r(70),14).解決此類問(wèn)題的著眼點(diǎn)：(1)找出已知邊長(zhǎng)或角的三角形，從中篩選出可解三角形；(2)找要求線段或角所在的三角形，確定所需條件．提醒：構(gòu)造三角形時(shí)，要注意使構(gòu)造的三角形含有盡量多個(gè)已知量，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，求其中線AD的長(zhǎng)．[解]在△ACD中，由余弦定理，得eq\f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cos∠ADC＝b2，在△ABD中，由余弦定理，得eq\f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cos∠ADB＝c2，兩式相加得，eq\f(1,2)a2＋2AD2－a×AD(cos∠ADC＋cos∠ADB)＝b2＋c2，因?yàn)閏os∠ADC＋cos∠ADB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠ADB))＋cos∠ADB＝－cos∠ADB＋cos∠ADB＝0，所以eq\f(1,2)a2＋2AD2＝b2＋c2，所以AD＝eq\f(1,2)eq\r(2b2＋2c2－a2).類型2三角形的面積問(wèn)題【例2】(教材北師版P115例9改編)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，求證：S△ABC＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1y2－x2y1)).[證明]S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|sinA＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|eq\r(1－cos2A)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|))\s\up8(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|cosA))\s\up8(2))＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|))\s\up8(2)－（\o(AB,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→))）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))）（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))）－（x1x2＋y1y2）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（x1y2－x2y1）2)＝eq\f(1,2)|x1y2－x2y1|.三角形面積計(jì)算公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha為a邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝2R2sinAsinBsinC(R為外接圓的半徑)；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r為內(nèi)切圓的半徑)；(4)S＝eq\r(s(s－a)(s－b)(s－c))(s為三角形周長(zhǎng)的一半).eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝5，則∠BAC＝()A．30° B．120°C．150° D．30°或150°C[由S△ABC＝eq\f(15,4)，得eq\f(1,2)×3×5sin∠BAC＝eq\f(15,4)，∴sin∠BAC＝eq\f(1,2)，又由eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]類型3正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋eq\f(2,3)ab，若△ABC的外接圓半徑為eq\f(3\r(2),2)，求△ABC面積的最大值．1．在△ABC中，如何利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化？[提示](1)邊轉(zhuǎn)化為角：a＝2RsinA；(2)角轉(zhuǎn)化為邊：sinA＝eq\f(a,2R).2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形時(shí)，有什么變形技巧？[提示]常用的變形技巧是整體代換，例如(1)a2＋b2－c2＝2abcosC；(2)a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b±c))eq\s\up8(2)－2bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1＋cosA))，此公式在已知b±c和bc的情況下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的關(guān)系．[解]由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,3)，得sinC＝eq\f(2\r(2),3)，由外接圓半徑R＝eq\f(3\r(2),2)及sinC可得：c＝2RsinC＝4，所以a2＋b2＝16＋eq\f(2,3)ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋eq\f(2,3)ab≥2ab?ab≤12，所以S△ABC≤eq\f(1,2)·12·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(2).則△ABC的面積的最大值為4eq\r(2).本題的入手點(diǎn)來(lái)自于條件中對(duì)余弦定理的暗示，從而解出C，在計(jì)算面積時(shí)有三組邊角可供選擇：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，通常是“依角而選”，從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求ab的最值．要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項(xiàng)，再利用均值不等式，可以建立“平方”與“乘積”的不等關(guān)系，從而可求出ab的最值．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，求角A的范圍．[解]由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，得beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))，整理得b2＋c2－a2≥bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).1．若三條線段的長(zhǎng)分別為5，6，7，則用這三條線段()A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形B[設(shè)最大角為θ，則最大邊對(duì)應(yīng)的角的余弦值為cosθ＝eq\f(52＋62－72,2×5×6)＝eq\f(1,5)>0，所以能組成銳角三角形．]2．在△ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關(guān)系為()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小關(guān)系不確定A[設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∵sinA>sinB，∴2RsinA>2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)，即a>b，故A>B.]3．△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積等于()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)D[eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，∴BC＝2，此時(shí)，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，此時(shí)，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).]4．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，則△ABC外接圓的半徑R等于________．1[由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝3∴b＝eq\r(3)，由正弦定理得，2R＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴R＝1.]5．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則∠C＝________．eq\f(π,4)[由S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，即sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴sinC＝cosC，即tanC＝1，又∠C∈(0，π)，∴∠C＝eq\f(π,4).]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問(wèn)題：1.根據(jù)已知條件，如何正確選擇解題策略解三角形？[提示](1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知