新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應(yīng)用1平面向量的概念學案新人教A版必修第二冊

/10/10/平面向量的概念在一次軍事演習中，某導彈部隊接到射擊某目標的命令．【問題1】如果只知道目標距離導彈發(fā)射地點的距離，導彈能擊中目標嗎？【問題2】要使導彈擊中目標，還需要知道什么條件？1．向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量．向量與數(shù)量的區(qū)別(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個代數(shù)量，沒有方向；(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使|a|>|b|，也不能說a>b.2．有向線段(1)定義：具有方向的線段叫做有向線段．(2)表示方法：以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)長度：線段AB的長度也叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(4)三個要素：起點、方向、長度．3．向量的表示方法(1)用有向線段表示：用有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))表示的向量記作eq\o(AB,\s\up6(→))．有向線段的長度|eq\o(AB,\s\up6(→))|表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．(2)字母表示法：在印刷時，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量，手寫時，可寫成帶箭頭的小寫字母eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))_，eq\o(c,\s\up6(→))….4．向量的模及兩個特殊向量(1)向量的模：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0．(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．0與0相同嗎？0是不是沒有方向？提示：0與0不同，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．5．相等向量(1)定義：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)表示方法：向量a與b相等，記作a＝b．6．平行向量(或共線向量)定義方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行．任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量．表示方法向量a與b平行，記作a∥b，對于任意向量a，都有0∥a.剖析共線向量與相等向量(1)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同；(2)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的方向關(guān)系兩個方面考慮有哪些情況？提示：分四種情況，(1)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(2)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))反向；(3)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(4)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))反向．1.向量的模是一個正實數(shù)嗎？2．任意兩個單位向量都相等嗎？3．向量eq\o(BC,\s\up6(→))與向量eq\o(CB,\s\up6(→))是相等向量嗎？提示：1.不一定；2.不一定；3.不是．1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有()A.1個B．2個C．3個D．4個【解析】選C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，沒有方向，不是向量．2．(教材例題改編)如圖所示，四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形．(1)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量：________；(2)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量：________．答案：(1)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))(2)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))基礎(chǔ)類型一向量、零向量與單位向量的概念(數(shù)學抽象)1．下列說法中正確的個數(shù)是()①身高是一個向量；②∠AOB的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學中的摩擦力、重力都是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】選B.只有④物理學中的摩擦力、重力既有大小又有方向，是向量，①②③錯誤．④正確．2．判斷下列說法是否正確．(1)有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))表示同一向量；(2)若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))是單位向量，則eq\o(BA,\s\up6(→))也是單位向量；(4)以坐標平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓．【解析】(1)錯誤．有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的方向相反，不表示同一向量，因此說法(1)錯誤；(2)錯誤．由單位向量的定義知，凡長度為1的向量均稱為單位向量，但是對方向沒有任何要求，因此說法(2)錯誤；(3)正確．因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以當eq\o(AB,\s\up6(→))是單位向量時，eq\o(BA,\s\up6(→))也是單位向量．因此說法(3)正確．(4)正確．由于向量|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點．1．判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件(1)有大?。?2)有方向．兩個條件缺一不可．2．理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．微提醒：兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量不一定相等．基礎(chǔ)類型二向量的表示(直觀想象)【典例】已知飛機從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°的方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)問：D地在A地的什么方向？D地距A地多遠？【解析】(1)由題意，作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，如圖所示．(2)依題意知，△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又因為∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△ACD為等腰直角三角形，所以AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的東南方向，距A地1000eq\r(2)km.準確畫出向量的方法和注意事項(1)方法①確定向量的起點．②根據(jù)運動方向確定向量的方向，并根據(jù)向量的大小確定向量的終點．(2)注意事項用有向線段來表示向量是向量的幾何表示，必須確定起點、長度和終點，三者缺一不可．某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了10eq\r(2)米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．【解析】(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，如圖所示：(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝5eq\r(5)米．【加固訓練】一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后改變方向向北偏西40°行駛了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.【解析】(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示：(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.綜合類型相等向量與平行向量(數(shù)學抽象)概念辨析【典例】有下列說法：①若a≠b，則a一定不與b共線；②在?ABCD中，一定有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說法是________．(填序號)【解析】對于①，兩個向量不相等，可能是長度不相等，但方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；對于②，在?ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故②正確；對于③，a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故③正確；對于④，共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故④不正確．答案：②③1．本例②改為若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？【解析】若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點共線或AD∥BC，故此說法不正確．2．將本例③改為若a∥b，b∥c，則a∥c.判斷此說法是否正確．【解析】因為當b＝0時，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有當b≠0時，才有a∥b，b∥c，則a∥c，故此說法不正確．1．相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向的．2．共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找出同向或反向的向量．3．共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．若兩向量相等，則兩向量方向相同，模相等；若兩向量共線，則兩向量方向相同或相反．微提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度．【加固訓練】下列說法中，正確的序號是________．①零向量都相等；②任一向量與它的平行向量不相等；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④共線的向量，若始點不同，則終點一定不同．【解析】因為零向量的長度都為零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正確；因為平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量與它的平行向量可能相等，所以②錯誤；由eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相同，模相等，可推出eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，模相等，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以③正確；由共線向量的定義可知：共線的向量，始點不同，終點可能相同，所以④不正確．答案：①③根據(jù)圖形寫出相等向量或共線向量【典例】如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中畫出了長度均為eq\f(a,3)的若干個向量．(1)寫出圖中與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出圖中與向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量；(3)寫出圖中與向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量．【解析】(1)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量是eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(2)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EC′,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(3)與向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→)).相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線．(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找出同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．微提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量．【加固訓練】如圖，以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中：(1)寫出與eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．【解析】(1)與eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，與eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量為eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).創(chuàng)新題型向量的實際應(yīng)用(數(shù)學建模)【典例】某人在天安門廣場的正中向北前進100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進100米，請用向量畫出它從出發(fā)點到達終點的示意圖．如果他每次不是左轉(zhuǎn)90°，而是每次左轉(zhuǎn)60°后前進100米，他能回到出發(fā)點嗎？如果能，則要經(jīng)過多少次才能回到出發(fā)點？每次左轉(zhuǎn)45°后前進100米呢？【解析】用長度為1cm的向量表示該人前進100米，他四次左轉(zhuǎn)90°后前進100米的示意圖如圖1.他每次左轉(zhuǎn)60°后前進100米，能回到出發(fā)點，需經(jīng)過六次才能回到出發(fā)點．如圖2.他每次左轉(zhuǎn)45°后前進100米，也能回到出發(fā)點，需經(jīng)過八次才能回到出發(fā)點，如圖3.揭秘向量的實際應(yīng)用向量是為了表示、刻畫既有大小，又有方向的量而產(chǎn)生的，物理中有許多相關(guān)背景材料，數(shù)學中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理論和方法，是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，有著廣泛的實際應(yīng)用．【加固訓練】如圖是中國象棋的半個棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法．此圖中，馬可以從A處跳到A1處，用向量表示馬走了“一步”，也可以跳到A2處，用向量表示．請在圖中畫出馬在B，C處走了“一步”的所有情況．【解析】如圖，馬在B處只有3步可走，馬在C處有8步可走，人們常說的馬有“八面威風”就是指馬在中心處威力最大．1．下列說法中正確的是()A．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|B．模為0的向量的方向是不確定的C．向量就是有向線段D．任意兩個單位向量的方向相同B.a】選B.a與b方向不同但模相等時，a≠b，故A錯誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，故B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，故C錯誤；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故D錯誤．2．正n邊形有n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，…，an，則這n個向量()A．都相等 B．都共線C．都不共線 D．模都相