新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用1平面向量的概念學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

/10/10/平面向量的概念在一次軍事演習(xí)中，某導(dǎo)彈部隊(duì)接到射擊某目標(biāo)的命令．【問(wèn)題1】如果只知道目標(biāo)距離導(dǎo)彈發(fā)射地點(diǎn)的距離，導(dǎo)彈能擊中目標(biāo)嗎？【問(wèn)題2】要使導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，還需要知道什么條件？1．向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量．向量與數(shù)量的區(qū)別(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個(gè)代數(shù)量，沒(méi)有方向；(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無(wú)法比較大小，即使|a|>|b|，也不能說(shuō)a>b.2．有向線段(1)定義：具有方向的線段叫做有向線段．(2)表示方法：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)長(zhǎng)度：線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(4)三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．3．向量的表示方法(1)用有向線段表示：用有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))表示的向量記作eq\o(AB,\s\up6(→))．有向線段的長(zhǎng)度|eq\o(AB,\s\up6(→))|表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．(2)字母表示法：在印刷時(shí)，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量，手寫時(shí)，可寫成帶箭頭的小寫字母eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))_，eq\o(c,\s\up6(→))….4．向量的模及兩個(gè)特殊向量(1)向量的模：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量．0與0相同嗎？0是不是沒(méi)有方向？提示：0與0不同，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．5．相等向量(1)定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)表示方法：向量a與b相等，記作a＝b．6．平行向量(或共線向量)定義方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行．任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量．表示方法向量a與b平行，記作a∥b，對(duì)于任意向量a，都有0∥a.剖析共線向量與相等向量(1)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同；(2)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的方向關(guān)系兩個(gè)方面考慮有哪些情況？提示：分四種情況，(1)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(2)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))反向；(3)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(4)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))反向．1.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)嗎？2．任意兩個(gè)單位向量都相等嗎？3．向量eq\o(BC,\s\up6(→))與向量eq\o(CB,\s\up6(→))是相等向量嗎？提示：1.不一定；2.不一定；3.不是．1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有()A.1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】選C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，沒(méi)有方向，不是向量．2．(教材例題改編)如圖所示，四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形．(1)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量：________；(2)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量：________．答案：(1)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))(2)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))基礎(chǔ)類型一向量、零向量與單位向量的概念(數(shù)學(xué)抽象)1．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①身高是一個(gè)向量；②∠AOB的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的摩擦力、重力都是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】選B.只有④物理學(xué)中的摩擦力、重力既有大小又有方向，是向量，①②③錯(cuò)誤．④正確．2．判斷下列說(shuō)法是否正確．(1)有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))表示同一向量；(2)若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))是單位向量，則eq\o(BA,\s\up6(→))也是單位向量；(4)以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)A為起點(diǎn)，所有單位向量的終點(diǎn)P的集合是以A為圓心的單位圓．【解析】(1)錯(cuò)誤．有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的方向相反，不表示同一向量，因此說(shuō)法(1)錯(cuò)誤；(2)錯(cuò)誤．由單位向量的定義知，凡長(zhǎng)度為1的向量均稱為單位向量，但是對(duì)方向沒(méi)有任何要求，因此說(shuō)法(2)錯(cuò)誤；(3)正確．因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))是單位向量時(shí)，eq\o(BA,\s\up6(→))也是單位向量．因此說(shuō)法(3)正確．(4)正確．由于向量|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，所以點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心的單位圓上的一點(diǎn)．1．判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件(1)有大小．(2)有方向．兩個(gè)條件缺一不可．2．理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．微提醒：兩個(gè)單位向量的模相等，但這兩個(gè)單位向量不一定相等．基礎(chǔ)類型二向量的表示(直觀想象)【典例】已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行1000eq\r(2)(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)問(wèn)：D地在A地的什么方向？D地距A地多遠(yuǎn)？【解析】(1)由題意，作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，如圖所示．(2)依題意知，△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又因?yàn)椤螦CD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△ACD為等腰直角三角形，所以AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的東南方向，距A地1000eq\r(2)km.準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法和注意事項(xiàng)(1)方法①確定向量的起點(diǎn)．②根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向確定向量的方向，并根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)．(2)注意事項(xiàng)用有向線段來(lái)表示向量是向量的幾何表示，必須確定起點(diǎn)、長(zhǎng)度和終點(diǎn)，三者缺一不可．某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10eq\r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．【解析】(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，如圖所示：(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝5eq\r(5)米．【加固訓(xùn)練】一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.【解析】(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示：(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.綜合類型相等向量與平行向量(數(shù)學(xué)抽象)概念辨析【典例】有下列說(shuō)法：①若a≠b，則a一定不與b共線；②在?ABCD中，一定有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說(shuō)法是________．(填序號(hào))【解析】對(duì)于①，兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，但方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；對(duì)于②，在?ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故②正確；對(duì)于③，a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故③正確；對(duì)于④，共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故④不正確．答案：②③1．本例②改為若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？【解析】若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共線或AD∥BC，故此說(shuō)法不正確．2．將本例③改為若a∥b，b∥c，則a∥c.判斷此說(shuō)法是否正確．【解析】因?yàn)楫?dāng)b＝0時(shí)，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a∥b，b∥c，則a∥c，故此說(shuō)法不正確．1．相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向的．2．共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找出同向或反向的向量．3．共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．若兩向量相等，則兩向量方向相同，模相等；若兩向量共線，則兩向量方向相同或相反．微提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度．【加固訓(xùn)練】下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是________．①零向量都相等；②任一向量與它的平行向量不相等；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④共線的向量，若始點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同．【解析】因?yàn)榱阆蛄康拈L(zhǎng)度都為零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正確；因?yàn)槠叫邢蛄康姆较蚩梢韵嗤掖笮∫部梢韵嗟?，所以任一向量與它的平行向量可能相等，所以②錯(cuò)誤；由eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相同，模相等，可推出eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，模相等，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以③正確；由共線向量的定義可知：共線的向量，始點(diǎn)不同，終點(diǎn)可能相同，所以④不正確．答案：①③根據(jù)圖形寫出相等向量或共線向量【典例】如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，圖中畫(huà)出了長(zhǎng)度均為eq\f(a,3)的若干個(gè)向量．(1)寫出圖中與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出圖中與向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量；(3)寫出圖中與向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量．【解析】(1)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量是eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(2)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EC′,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(3)與向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→)).相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些同向共線．(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找出同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．微提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量．【加固訓(xùn)練】如圖，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)寫出與eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．【解析】(1)與eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，與eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量為eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).創(chuàng)新題型向量的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】某人在天安門廣場(chǎng)的正中向北前進(jìn)100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進(jìn)100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進(jìn)100米，再左轉(zhuǎn)90°后前進(jìn)100米，請(qǐng)用向量畫(huà)出它從出發(fā)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的示意圖．如果他每次不是左轉(zhuǎn)90°，而是每次左轉(zhuǎn)60°后前進(jìn)100米，他能回到出發(fā)點(diǎn)嗎？如果能，則要經(jīng)過(guò)多少次才能回到出發(fā)點(diǎn)？每次左轉(zhuǎn)45°后前進(jìn)100米呢？【解析】用長(zhǎng)度為1cm的向量表示該人前進(jìn)100米，他四次左轉(zhuǎn)90°后前進(jìn)100米的示意圖如圖1.他每次左轉(zhuǎn)60°后前進(jìn)100米，能回到出發(fā)點(diǎn)，需經(jīng)過(guò)六次才能回到出發(fā)點(diǎn)．如圖2.他每次左轉(zhuǎn)45°后前進(jìn)100米，也能回到出發(fā)點(diǎn)，需經(jīng)過(guò)八次才能回到出發(fā)點(diǎn)，如圖3.揭秘向量的實(shí)際應(yīng)用向量是為了表示、刻畫(huà)既有大小，又有方向的量而產(chǎn)生的，物理中有許多相關(guān)背景材料，數(shù)學(xué)中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理論和方法，是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用．【加固訓(xùn)練】如圖是中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法．此圖中，馬可以從A處跳到A1處，用向量表示馬走了“一步”，也可以跳到A2處，用向量表示．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出馬在B，C處走了“一步”的所有情況．【解析】如圖，馬在B處只有3步可走，馬在C處有8步可走，人們常說(shuō)的馬有“八面威風(fēng)”就是指馬在中心處威力最大．1．下列說(shuō)法中正確的是()A．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|B．模為0的向量的方向是不確定的C．向量就是有向線段D．任意兩個(gè)單位向量的方向相同B.a】選B.a與b方向不同但模相等時(shí)，a≠b，故A錯(cuò)誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，故B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個(gè)圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，故C錯(cuò)誤；任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，故D錯(cuò)誤．2．正n邊形有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，…，an，則這n個(gè)向量()A．都相等 B．都共線C．都不共線 D．模都相