新教材北師大版必修第二冊第二章6.2平面向量在幾何物理中的應(yīng)用舉例作業(yè)

第二章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)過關(guān)練題組一向量在幾何證明中的應(yīng)用1.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),求證:AF⊥DE(利用向量證明).2.用向量法證明三角形的中位線定理.3.如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在BD上,且BN=13BD,求證:M、N、C三點(diǎn)共線4.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中點(diǎn),用向量法證明CD=12題組二向量在物理中的應(yīng)用5.用力F推動一物體水平運(yùn)動sm,F與水平面的夾角為θ,則力F對物體所做的功為()A.|F|·s B.Fcosθ·sC.Fsinθ·s D.|F|cosθ·s6.水平橫梁的一端A插在墻壁內(nèi),另一端裝有一光滑的小滑輪,一輕繩的一端C固定于墻壁上,另一端跨過滑輪后懸掛一質(zhì)量為m=10kg的重物,∠CBA=30°,如圖所示,則滑輪受到繩子的作用力大小為(g=10N/kg)()A.50N B.503NC.200N D.103N7.(2020廣東佛山實驗中學(xué)高一下學(xué)期期末)長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖所示,一艘船從長江南岸的A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度沿AD方向行駛,到達(dá)對岸C點(diǎn),且AC與長江南岸垂直,同時江水的速度為向東3km/h,則船實際航行速度的大小為()A.2km/h B.34km/hC.4km/h D.8km/h8.如圖,用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B處所受力的大小.(忽略繩子重量)能力提升練題組一向量在幾何中的應(yīng)用1.()若四邊形ABCD滿足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,則該四邊形一定是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.直角梯形2.(2020江西贛州高二上學(xué)期期中聯(lián)考,)非零向量AB與AC滿足AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且AB|AB|·3.()如圖,在平行四邊形OACB中,BD=13BC,OD與BA相交于E,用向量法證明BE=144.()已知在?ABCD中,M、N、P分別在DC、CB、AD上,|DP||AD|=|CM||CD|=14,|BN|(1)求向量AM;(2)求證:PM∥AN.5.()已知長方形ABCD,AB=3,BC=2,E為線段BC的中點(diǎn),P為線段AB上一點(diǎn).(1)利用向量知識判斷點(diǎn)P在什么位置時,∠PED=45°;(2)若∠PED=45°,求證:D、P、E、C四點(diǎn)共圓.6.()如圖,已知△ABC的兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為M、N,在BN的延長線上取點(diǎn)P,使NP=BN,在CM的延長線上取點(diǎn)Q,使MQ=CM,用向量方法證明:P、A、Q三點(diǎn)共線.7.()證明:三角形的三條中線交于一點(diǎn).題組二向量在物理中的應(yīng)用8.()當(dāng)兩人同提重|G|的書包時,用力都為|F|,兩力的夾角為θ,且|F|、|G|、θ之間的關(guān)系為|F|=|G|2cosθ2.當(dāng)θ=時,|F|取得最小值;當(dāng)|F|=|G9.()在一個平面內(nèi),一質(zhì)點(diǎn)O受三個力F1、F2、F3的作用保持平衡,其中F3與F2的夾角為α,F3與F1的夾角為β.(1)若α=120°,β=150°,|F3|=10,求力F1、F2的大小;(2)若|F1|∶|F2|∶|F3|=1∶2∶3,求α與β的余弦值.

答案全解全析6.2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)過關(guān)練5.D 6.C 7.C 1.證明證法一:設(shè)(AB)?=a,(AD)?=b,則(AF)?=a+1/2b,(ED)?=b-1/2a,∴(AF)??(ED)?=a+1/2b?b-1/2a=1/2b2-1/2a2+3/4a?b,又(AB)?⊥(AD)?,且|(AB)?|=|(AD)?|,∴a2=b2,a?b=0.∴(AF)??(ED)?=0,∴(AF)?⊥(ED)?,即AF⊥DE.證法二:以A為原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),故(AF)?=(2,1),(DE)?=(1,-2),則(AF)??(DE)?=2-2=0,即(AF)?⊥(DE)?,故AF⊥DE.2.解析已知:如圖,MN是△ABC的中位線,求證:MN=1/2BC,且MN∥BC.證明:因為M、N分別是AB、AC邊上的中點(diǎn),所以(AM)?=1/2(AB)?,(AN)?=1/2(AC)?,所以(MN)?=(AN)?-(AM)?=1/2(AC)?-1/2(AB)?=1/2((AC)?-(AB)?)=1/2(BC)?.又(MN)?與(BC)?不在同一條直線上,因此,MN=1/2BC,且MN∥BC.3.證明設(shè)(AD)?=x,(AB)?=y,則(MN)?=1/2y+1/3(BD)?=1/2y+1/3(x-y)=1/6(2x+y),(MC)?=(MB)?+(BC)?=1/2y+x=1/2(2x+y),∴(MC)?=3(MN)?,又(MC)?與(MN)?有公共點(diǎn)M,∴M、N、C三點(diǎn)共線.4.證明如圖,設(shè)(CA)?=a,(CB)?=b,則a與b的夾角為90°,故a?b=0.∵(AB)?=b-a,(CD)?=1/2(a+b),∴|(CD)?|=1/2|a+b|=1/2√("("a+b")"^2)=1/2√("|"a"|"^2+2a"?"b+"|"b"|"^2)=1/2√("|"a"|"^2+"|"b"|"^2),|(AB)?|=|b-a|=√("("b"-"a")"^2)=√("|"b"|"^2"-"2a"?"b+"|"a"|"^2)=√("|"a"|"^2+"|"b"|"^2).∴|(CD)?|=1/2|(AB)?|,即CD=1/2AB.5.D由題意得,力F與運(yùn)動方向的夾角為θ,故力F對物體所做的功為|F|?cosθ?s.故選D.6.C設(shè)重物所受的重力為G,滑輪受到繩子的作用力為F,由力的分解可以知道|F|sin30°=|G|,∴|F|=("|"G"|")/sin30"°"=mg/(1/2)=200N.故選C.7.C由題意畫出矢量圖如下:(AD)?為船速及航行方向,(DC)?為水速及方向,(AC)?為船實際航行速度及方向,由此可得|(AC)?|=√("|"(AD)?"|"^2"-|"(CD)?"|"^2)=4km/h.8.解析設(shè)A、B處所受力分別為f1、f2,10N的重力用f表示,則f1+f2=f.如圖,以重力作用點(diǎn)C為f1、f2的始點(diǎn),作平行四邊形CFWE,使CW為對角線,則(CF)?=f1,(CE)?=f2,(CW)?=f,則∠FCW=180°-150°=30°,∠ECW=180°-120°=60°,∴∠FCE=90°.∴四邊形CEWF為矩形.∴|f1|=|(CF)?|=|(CW)?|cos30°=10×√3/2=5√3,|f2|=|(CE)?|=|(CW)?|cos60°=10×1/2=5,即A處受力的大小為5√3N,B處受力的大小為5N.能力提升練1.A因為(AB)?+(CD)?=0,所以(AB)?=(DC)?,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又因為((AB)?-(AD)?)?(AC)?=0,所以(DB)??(AC)?=0,所以(DB)?⊥(AC)?,所以平行四邊形ABCD為菱形.2.答案等邊三角形解析如圖,在△ABC中,作∠BAC的平分線AD,交BC于點(diǎn)D,因為(AB)?/("|"(AB)?"|")為(AB)?方向上的單位向量,(AC)?/("|"(AC)?"|")為(AC)?方向上的單位向量,所以(AB)?/("|"(AB)?"|")+(AC)?/("|"(AC)?"|")=λ(AD)?(λ>0),因為((AB)?/("|"(AB)?"|")+(AC)?/("|"(AC)?"|"))?(BC)?=0,所以AD⊥BC,因為AD既是高,又是角平分線,所以AB=AC,因為(AB)?/("|"(AB)?"|")?(AC)?/("|"(AC)?"|")=1/2,所以(AB)?/("|"(AB)?"|")(AC)?/("|"(AC)?"|")cos∠BAC=1/2,所以cos∠BAC=1/2,解得∠BAC=π/3,所以△ABC為等邊三角形.3.證明設(shè)(OA)?=a,(OB)?=b,則(BD)?=1/3a,(OD)?=(OB)?+(BD)?=b+1/3a.∵(OE)?與(OD)?共線,∴存在實數(shù)λ,使(OE)?=λ(OD)?=λb+1/3a,∴(BE)?=(OE)?-(OB)?=λb+1/3a-b=λ/3a+(λ-1)b.∵(BE)?與(BA)?共線,∴存在實數(shù)μ,使(BE)?=μ(BA)?=μ((OA)?-(OB)?)=μ(a-b).于是λ/3a+(λ-1)b=μ(a-b),即λ/3-μa=(1-λ-μ)b.∵a與b不共線,∴{■(λ/3"-"μ=0","@1"-"λ"-"μ=0",")┤解得{■(λ=3/4","@μ=1/4".")┤∴(BE)?=1/4(BA)?,即BE=1/4BA.4.解析根據(jù)題意可作出下圖.(1)∵("|"CM"|")/("|"CD"|")=1/4,∴("|"DM"|")/("|"CD"|")=3/4,∴(DM)?=3/4(DC)?=3/4(AB)?,∴(AM)?=(AD)?+(DM)?=(BC)?+(DM)?=(BC)?+3/4(AB)?=3/4a+b.(2)證明:易知(PM)?=(PD)?+(DM)?=1/4b+3/4a,(AN)?=a+1/3b=4/3(PM)?,∴(PM)?∥(AN)?,即PM∥AN.5.解析(1)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則C(2,0),D(2,3),E(1,0),設(shè)P(0,y),∴(ED)?=(1,3),(EP)?=(-1,y),∴|(ED)?|=√10,|(EP)?|=√(y^2+1),(ED)??(EP)?=3y-1,∴cos45°=((ED)?"?"(EP)?)/("|"(ED)?"||"(EP)?"|")=(3y"-"1)/(√10"?"√(y^2+1))=√2/2,解得y=2,∴點(diǎn)P為線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).(2)證明:連接DP,當(dāng)∠PED=45°時,由(1)知P(0,2),∴(PD)?=(2,1),(EP)?=(-1,2),∴(EP)??(PD)?=0,∴∠DPE=90°,又∠DCE=90°,∴D、P、E、C四點(diǎn)在以DE為直徑的圓上,即D、P、E、C四點(diǎn)共圓.6.證明設(shè)(CA)?=a,(CB)?=b,則(AQ)?=(AC)?+(CQ)?=-a+(a+b)=b,(AP)?=(AB)?+(BP)?=(b-a)+[(a-b)-b]=-b,∴(AQ)?=-(AP)?,即AQ∥AP.又∵AP,AQ有一個公共點(diǎn)A,∴P、A、Q三點(diǎn)共線.7.證明如圖所示,設(shè)AD、BE、CF分別為△ABC的三條中線,令(AB)?=a,(AC)?=b,則有(BC)?=b-a.設(shè)G在AD上,且AG/AD=2/3,則有(AD)?=(AB)?+(BD)?=a+1/2(b-a)=1/2(a+b),(BE)?=(AE)?-(AB)?=1/2b-a,∴(BG)?=(AG)?-(AB)?=2/3(AD)?-(AB)?=1/3(a+b)-a=1/3b-2/3a=2/31/2b-a=2/3(BE)?.∴G在BE上,同理可證(CG)?=2/3(CF)?,即G在CF上,故AD、BE、CF三線交于同一點(diǎn).8.答案0;2π/3解析因為|F|=("|"G"|")/(2cos""θ/2),所以當(dāng)cosθ/2=1,即θ=0時,|F|取得最小值.當(dāng)|F|=|G|時,cosθ/2=1/2,此時θ=2π/3.9.解析(1)因為質(zhì)點(diǎn)在F1、F2、F3的作用下保持平衡,所以F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2),又α=120°,β=150°,所以F1與F2的夾角為90°,所以F1?F2=0,|F3|2=[-(F1+F2)]2=F_1^2+2F1?F2+F_2^2=F_1^