初中數(shù)學不等式總結

【解】設，則，，【解】令，，則柯西或者旁切圓過(1.2)的直線與坐標軸圍城的直角三角周長的最值數(shù)海拾貝每日一題106旁切圓是最簡單的方法了法2【解】令，則【解】令，則當且僅當，即時取等號，即或時，取得最大值?！窘狻苛?，則當且僅當，即時取等號，即或時，取得最大值。（廣東陽江曾廣榮）x=ab<=1/4,t=4+(x+1)^2(x-2)<=4【題】若，求的最大值?！窘狻坑?，【解】設，則【解法1】，設，，代入得，【解法2】，，由得，【解法3】，，三條線平行【解】【思路】（1）猜想時取等號，此時；（2）注意到的分母，于是配湊，此時，滿足均值不等式的取等條件。（此法若用待定系數(shù)法來配湊系數(shù)，不好算。）【解】當且僅時，取得最小值?！尽俊尽俊窘狻吭O，則故選D.【解】設，則在內(nèi)有兩個不同的零點，，則故至少有一個小于1，即至少有一個小于1，故選D.【解法1】，設，，，，，，，，，，【解法2】，，由，得，，，【解法3】，，【解法4】，，[√(a2-1)+√(b2-4)]2=a2+b2-5+2√(a2b2-4a2-b2+4)≤a2+b2-5+2√(a2b2-4ab+4)=(a+b)2-9(a+b)2/[√(a2-1)+√(b2-4)]≥(a+b)2/√[(a+b)2-9]=(t2+9)/t≥6【等號當且僅當a=√2，b=2√2時取得】【解法1】設，由【解法2】令，設，則，令x=u+v2y=u-v換元【題】設為非零實數(shù)，且，證明：【解析】(磨光變換即可，辦法蠻多，不妨設x>=y>=z,記u=(x+y)/2>=z,知usqr>=1/3,u>=1時知LHS>=5/2,u<1時z=(1-xy)/x+y>=(1-usqr)/2u>0,顯然f(x,y,z)>f(x*,y+z,o)=5/2)為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為0；據(jù)對稱性，不妨設

，則

；

、當

時，條件式成為

，

，

，而

，

只要證，

，即

，也即

，此為顯然；取等號當且僅當

．

、再證，對所有滿足

的非負實數(shù)

，皆有

．顯然，三數(shù)

中至多有一個為0，據(jù)對稱性，

仍設

，則

，令

，

為銳角，以

為內(nèi)角，構造

，則

，于是

，且由

知，

；于是

，即

是一個非鈍角三角形．

下面采用調(diào)整法，對于任一個以

為最大角的非鈍角三角形

，固定最大角

，將

調(diào)整為以

為頂角的等腰

，其中

，且設

，記

，據(jù)

知，

．今證明，．即

……①．

即要證

……②

先證

……③，即證

，

即

，此即

，也即

，即

，此為顯然．

由于在

中，

，則

；而在

中，

，因此②式成為

……④，

只要證，

……⑤，即證

，注意③式以及

，只要證

，即

，也即

…⑥

由于最大角

滿足：

，而

，則

，所以

，故⑥成立，因此⑤得證，由③及⑤得④成立，從而①成立，即

，因此本題得證．

【點評】主要是考查了不等式的證明，方法比較多，一般是分析法和作差法構造函數(shù)法，屬于難題?！咀C明】，【證法1】當且僅當時等號成立?！咀C法2】同理，當且僅當時等號成立。設非負實數(shù)，，滿足，求證：證明：先證左邊的不等式.∵，∴再證右邊的不等式.不妨設，注意到條件，得，所以，綜上，.（1+d）^2方法1：權方和不等式：方法2：大柯西不等式：，則方法3：利用導數(shù)：，，，例2：已知，且，則的最大值為（）例3：已知，且，則的最小值為（）【解】(x+8y)(x+8y)(1/x2+1/y2)≥(1+4)3=125赫爾德不等式（廣義柯西）【題】已知是非負實數(shù)，求證：【證明】【題】已知，求證：【證明】赫爾德不等式1+z=(x2+y2)/(1-z)

∴S=(x2+y2)/[xy(1-z)]+1/z

≥2/(1-z)+1/z

≥(√2+1)2/[(1-z)+z]

【柯西不等式變形】

=3+2√2

等號當且僅當z=√2-1，x=y=√(2√2-2)時成立【題】已知正數(shù)滿足，則的最小值。【法1】（權方和不等式）【法2】（柯西不等式）【解】當且僅當時，`【解】由柯西不等式得由【解】由柯西不等式得（切線放縮）【解】設，則，，【解】令，，則柯西或者旁切圓過(1.2)的直線與坐標軸圍城的直角三角周長的最值數(shù)海拾貝每日一題106旁切圓是最簡單的方法了法2【解】令，則【解】令，則當且僅當，即時取等號，即或時，取得最大值。【解】令，則當且僅當，即時取等號，即或時，取得最大值。（廣東陽江曾廣榮）x=ab<=1/4,t=4+(x+1)^2(x-2)<=4【題】若，求的最大值?！窘狻坑?，【解】設，則【解法1】，設，，代入得，【解法2】，，由得，【解法3】，，三條線平行【解】【思路】（1）猜想時取等號，此時；（2）注意到的分母，于是配湊，此時，滿足均值不等式的取等條件。（此法若用待定系數(shù)法來配湊系數(shù)，不好算。）【解】當且僅時，取得最小值?！尽俊尽俊窘狻吭O，則故選D.【解】設，則在內(nèi)有兩個不同的零點，，則故至少有一個小于1，即至少有一個小于1，故選D.【解法1】，設，，，，，，，，，，【解法2】，，由，得，，，【解法3】，，【解法4】，，[√(a2-1)+√(b2-4)]2=a2+b2-5+2√(a2b2-4a2-b2+4)≤a2+b2-5+2√(a2b2-4ab+4)=