惠來縣第六中學(xué)七年級數(shù)學(xué)下冊 第九章 不等式與不等式組知識點 新人教版

不式不式知點納一不式概1．不等式：用不等號表示不等系的式子，叫做不等式。2．等式的解集：對于一個含未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3．不等式的解集：對于一個含未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4．解不等式：求不等式的解集過程，叫做解不等式。5．用數(shù)軸表示不等式的解集。二不式基性1．不等式兩邊都加上（或減去同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2．不等式兩邊都乘以（或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3．不等式兩邊都乘以（或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變。說明：①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。②如果不等式乘以0，那么不等改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。例1．已知不等式3x-a≤0的正整解恰是1，2，3則取值范圍是。02．已知關(guān)于x的等式組無，則a的取值范圍是。3．不等式組

的整數(shù)解為。4．如果關(guān)于x的等式（）x<a+5和的解集相同，則a的為。5．已知關(guān)于x的不等式組320是。x6．當時代數(shù)式的值不大于零

的解集為

，那么a的取值范圍7.若x<１，則

０（用“>””“”號填空8.不式

>１，的正整數(shù)解是9.不式>a的集為x３，則

10.若

a

>

>

，則不等式組

的解集是11.若不等式組

1x3

的解集是－x１，則a

的值為12.有解集２<

<３的不等式組是（寫出一個即可）13.一罐飲料凈重約為３００g，上注有“蛋白質(zhì)含量的含量為_____g

0.6

”其中蛋白質(zhì)14.若不等式組的集為x3

>３，則

a

的取值范圍是三、一元一次不等式（重點）1．一元一次不等式的概念：一地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2．解一元一次不等式的一般步：（1去分母（2去括號（3移項（4）合并同類項（5）x項系數(shù)化為1例：一、判題（每題1分，6分1、a＞b，得a＋m＞b＋m（）2、由a＞3，得a＞

32

（）3、x=2是等式x＋3的（）4、由

1a＞－1，得－＞－a（）225、如a＞b，c＜0，則ac＞bc（）6、如a＜b＜0，則

ab

＜1（）二、填題（每題2分，34）1、若＜b，用“＞”號或“＜號填空－5－5－

a－22

；－1＋2a－1＋2b；6－a6－b2、x與3的不小于－6，用不等式表示為；3、當

時，代數(shù)式2x－3的值是正數(shù)；14、代數(shù)式＋2x的大于8－的值，那么的正數(shù)解是4

；5、如果x＜，x；如果－＞0那么；26、不等式ax＞b的解是x＜

ba

，則的值范圍是；7、一個長方形的長為x米，寬50，如果它的周長不小于280米，么x應(yīng)足的不等式為；

x8、點A（－5，y）、B（－，）都在直線y－2x上，則y與y的關(guān)系是；9、果一次函數(shù)y=（2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，那么m的取范圍是；四一一不式（難）1、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，做解不等式組。4、當任何數(shù)x都能使不等式時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分，即這個不等式組的解集。例：一選題1．下列不等式組中，是一元一不等式組的是（）A．

B．C．xy(xx

D．

0,1x2．下列說法正確的是（）3,A．不等式組的集是5<x<3．

xx

的解集是－3<x<－2C．

xx2

的解集是x=2．的集是≠3x3．不等式組

2,3的小整數(shù)解為（）xA．．0C．1．44．在平面直角坐標系中，點P（2x－6，x－5在第四象限，則x的取值范圍是（）A．3<x<5．．－5<x<3．－5<x<－3

5．不等式組

xx

的解集是（）A．x<3．2<x<3．無解二填題6．若不等式組有解，則m的取范______xm7．已知三角形三邊的長分別為2，3和a，則取值范圍_____．8．將一筐橘子分給若干個兒童如果每人分4橘子，則剩下9個橘；如果每人分6個橘子，則最后一個兒童分得的橘子數(shù)將少于3個，由以上可推出，共有_____個童，分_____個子．2,9．若不等式組三解題

的解集是－1<x<1，則（a+b）．10．不等式組

(2)211．不等式組

xmx

無解，求m的值范圍．12．節(jié)約用電，某學(xué)校于本學(xué)初制定了詳細的用電計劃?如實際每天比計劃多用2度電，那么本學(xué)期用電量將會超過2530；如果實際每天比計劃節(jié)約了2度，那么本學(xué)期用電量將會不超過2200度．若本學(xué)期的在校時間按110天算，那么學(xué)校每天計劃用電量在什么范圍內(nèi)？

易點析易點：認為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個數(shù)之間的部分．例解不等式錯：①，得x＞1，②，得x＜－2，所以不式組的解集為2＜＜1．錯剖：解一一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分．此題錯在對“公共部分”的理解上，誤認為兩個數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）．實際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分．此外，有些同學(xué)可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1＜或－2＜＞1等這些都是錯誤的．正：①，得x＞1．②，得x＜－2，所以此等式組無解．易點：認為“同向解集哪個表示范圍大就取哪個”．＞6－3，①例不等式2(1)－5－．②3333錯：不等式①，得x＞－．不等式②，得＞5由于x＞－的圍較大所443以不等式的解集為＞－．4錯剖：本例解中，由于對不等式組的解集理解得不深刻，在根據(jù)兩個解集的范圍確定不等式組的解集時，形成錯誤的認識．其實在求兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集時，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)＜），①②③④利用數(shù)可確定它們的解集分別為①＞b，②＜，③a＜＜，④空集．也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”．

x23x2x23x23正：不等式①，得＞．解不等式②，得＞54所以不等式組的解集為＞5易點：淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法．例

＋3)≤11，①解不等式組＋2(＋3)≤3②錯：①＋②，得2≤14即x≤7，以不等式組的解集為x．錯剖：本例在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中．產(chǎn)生此類錯誤的根本原因是沒有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點，）二元一次方程組時，兩個方程不是單獨存在的；）由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨立解，集中到”，即獨立地解不等式組中的每一個不等式組中的每一個不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個不等式的解集都要求出來后，再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集．334正：不等式①，得x≥－17，即x≥－．2376由不等式②，得x≤，即≤－27346所以原不等式組的解集為－≤≤．37易點：去分母時，漏乘常數(shù)項．＜1①例解等式組＋2≥－．②2錯：①，得x＜2．x－21＋2≥－的邊乘，得－1≥－2．是11≥－，所原不等式組的解集為2x≥－．33錯剖：解一一次不等式組，需要先求出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分．對不等式進行變形時，一定要使用同解變形，不然就容易出錯．本例的解答過程中沒有掌握不等式的運算性質(zhì)，在去分母時漏乘了中間的一項．此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時應(yīng)按一般順序，把小的那個數(shù)放在前面，大的那

72－b772－b7個數(shù)放在后面，用“＜”連接．x－1正：①，得x＜2．＋2－的邊同乘，得x≥x．于是2≥－1，所以原不等式組的解集≤＜2．易點：視不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)的符號，導(dǎo)致不等式方向出錯．1例解關(guān)于的等式（－）＞1a．2錯：去母，得(1－2))．將等式兩邊同時除以（1a）得x＞2．錯剖：在利不等式的性質(zhì)解不等式時，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)是含字母的式子，應(yīng)注意討論含字母的式子的符號．本例中不等式兩邊同乘(或除以)的1－2a)，在不確定值符號的情況下進行約分，所以出錯．正：不等式變形，(－2)＞2(1－2)．1（1）當1－2＞0，即a＜，x＞2；21（2）當1－2＝0，即a＝，不等式無解；21（3）當1－2＜0，即a＞，x＜2．2例

10如果關(guān)于x的等(a－)＋－5＞0的解是＜，關(guān)于x的不式7＞的集_________．錯：因為不等式（－b）＋a－5b＞0的解集是＜，

105－a10，所以＝，則有3解得從而知ax＞的集是x．5錯剖：本題因有兩個，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；二是對含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，3所以在解題時錯誤得解從而錯誤得到ax的集是x．，5＜010正：不等式（2－b）x＋a－＞0的集是＜，得10解7＝，b7

，33所以＞的集是x．＝．55易點：找待定字母的取值范圍時易漏特殊情況．例若關(guān)于

，的不等式組

無解，則

a的取值范圍是________________．，錯：由得又因為不等式組無解，所以a的取范圍是＞3錯剖：由知等式的解集確定不等式組的解集時，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時則不能完全套用此規(guī)律，還應(yīng)考慮特例，即＝3有≤3及x＞3，而此時不等式組也是無解的．因此，本題錯在沒考慮待定字母的取值范圍的特殊情況．，正：由得又因為不等式組無解，所以a的取范圍是≥3例8已關(guān)于的不等式組_________．

的整數(shù)解共有5個則a的取值范圍是錯：由解得又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個所以a≤＜2，這5個數(shù)解為－3，－2，－1，1從而有a≤－3(或＝－3)錯剖：本題要考查同學(xué)們是否會運用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解．上述解法錯在忽視≤＜2中有5個整數(shù)解時a雖不唯一，但也有一定的限制a的值范圍在－3與4之，其中包括，但不應(yīng)包括－4，以錯解在確定a的取范圍時擴大了解的范圍．正：由解得又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個所以2．又知這5個數(shù)解為3，－2－1，0，1故a的值范圍是－4＜≤－3．

a≤＜總之，對于解一元一次不等式（組）問題，我們要深刻領(lǐng)會一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識，熟悉這個錯點，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠離解一元一次不等式（組）的錯誤深淵．

中考解：（2012山東州3分不等式

x

的解集是【】A．

x

B．

x2

C．

x

D．空集【案A?！军c解一元一次不等式組?！疚鼋庠淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，解+1得x，x+8x得x。同取大，得不等式組的解集是：x．選。（2012山東州3分李明同學(xué)早上騎自行上學(xué)，中途因道路施工步行一段路，到學(xué)校共用時15分鐘他騎自行車的平均速度是250米分，步行的平均速度是80米/分鐘．他家離學(xué)校的距離是2900米如果他騎車和步行的時間分別為分鐘，列出的方程是【】A．

xy2900

yB．yC．y【案D。

D．

xyx2900

【點由實際問題抽象出二元一方程組?！疚隼蠲魍瑢W(xué)騎車和步行的時分別為x,y分，由題意得：李明同學(xué)到學(xué)校共用時15分鐘所以得方程：x+y。李明同學(xué)騎自行車的平均速度是250分鐘，x分騎了250米步行的平均速度是80米/分鐘，y分走了80y米他家離學(xué)校的距離是2900米所以得方程：+80=2900。故選D。（2012山東州3分已知

a+2b=4

，則a+b等【】AB．

C．2D．1【案A?！军c解二元一次方程組?！疚鰞墒较嗉蛹纯傻贸?a+4b=12方程的兩邊都除以4即得出答案：a+b=3。選A。（2012山東營3）程kx+=0有個實數(shù)根，則k的值范圍是【】．A．kB．k≤1C．k>1【案D?！军c一元二次方程的意義和根判別式?！疚霎攌=1時，原方程不成立故k≠1

D．k<1當k≠1時，方程kx+=0一元二次方程?！叽朔匠逃袃蓚€實數(shù)根，∴b4ac）k。綜上k的值范圍是k＜1。故選D。

，解得：ny=8（2012山東澤3分已知是二元一次方程的，則2m的y=1nx=1術(shù)平方根為【】

babaA．±2

B．2C．2D4【案C?！军c二元一次方程組的解和解元一次方程組，求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根?！疚觥?/p>

xy=1

是二元一次方程組

+ny=8+的解，∴，得2n=1

?！鄊=2。2的術(shù)平方根為2故選C。11（2012山東蕪分）于非零的實數(shù)a、b，規(guī)定a⊕b＝－．2⊕(2xba＝1，則x＝【】A．

5531B．C．．－6426【案A?！军c新定義，解分式方程。111【析∵a⊕b＝－，2⊕(2x－1)＝1∴2⊕(2x＝。2x2∴

35=32x=26xx=。2x2檢驗，合適。故選A。山東蕪3分已知m是程x2x＝0的根，則代數(shù)式m＋n＋3mn

的值為【】A．±3C．3．5【案C。【點一元二次方程根與系數(shù)的系，求代數(shù)式的值?！疚觥適是程x＋22x＋1＝0的根，∴m＋n=，mn=1?！?n+3mn=

+mn=

+1=8+1=。選C（2012山東沂3分用配方法解一元二次程

x

時，此方程可變形為【】A．

B．

C．

D．

【案D?！军c配方法解一元二次方程。

22【析

2

xx

2

x

。故選D。（2012山東沂3分不等式組2A．．

的解集在數(shù)軸上表示正確的是【】C．

D．【案A?！军c解一元一次不等式組，在軸上表示不等式的解集?！疚鼋庠淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，x

。不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，在數(shù)軸上表示為：故選A。y（2012山東臨分關(guān)于xy的方程組的是xn

，則

m

的值是【】ABC．2D【案D?！军c二元一次方程組的解和解元一次方程組，求代數(shù)式的值。

【析∵方程組

y的是，。xmy∴

m==1

。選。（2012山日4分）知關(guān)于x的元二次方程(k－2)x不相等的實數(shù)根，則k的值范圍是【】

＋(2k＋1)x有兩(A)k>

443且k≠2(B)k≥且k(C)>且k≠2(D)k≥334

且k≠2【案C?！军c一元二次方程根的判別式一元二次方程的定義?！疚觥叻匠虨橐辉畏匠?，－2≠0即k≠2?！叻匠逃袃蓚€不相等的實數(shù)根，eq\o\ac(△,，)∴（2k＋1）－4－2）＞0，（2k＋1－2k＋4（2k＋1＋2k－4）＞0，∴5（4k）＞0，k＞?！鄈的取值范圍是k＞

且≠2故選C。（2012山日4）校學(xué)生志愿服務(wù)小組在“學(xué)雷鋒”動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老.如果分給每位老4盒牛奶，那么剩28盒牛奶如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不盒，但至1盒.則這個敬老院的老人最少有【】（A）29人）30人（C）31（D）32人【案B?！军c一元一次不等式組的應(yīng)用【析設(shè)這個敬老院的老人有x，則有牛奶4x＋28盒，根據(jù)關(guān)鍵語句“如果分給每位老人5盒奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒可得不等式組：

，解：29＜x?！選為數(shù)，∴x最少為30。選。

（2012山東泰分將不等式組是【】A．C．

xxxD．

的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的B．【案C?！军c解一元一次不等式組，在軸上表示不等式的解集?！疚鼋庠淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，xx

，由①得，x＞3由②得，x≤4∴其解集為3＜

≤4。不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，3＜≤4在軸上表示為：故選C。2x+3>5（2012山東濰分不等式組的解等于【】A．1<x<2．x>1C．x<2．或x>2【案A?！军c解一元一次不等式組。

【析解元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，解2x＞5得，＞1；解3x－2，＜2∴此不等式組的解集為：1＜x＜2。故選A。山東坊3分下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個置相鄰的9個(如6，7，8，l3，14，20，21．若圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為，這個數(shù)和為【】．A．32B．126C．135．144【案D。【點分類歸納（數(shù)字的變化類，一元二次方程的應(yīng)用?！疚鲇扇諝v表可知，圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的差總為，已知最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，所以設(shè)最大為x，則最小數(shù)為－16∴x（x－16，得x=24或x=－8負數(shù)舍去）?！嘧畲髷?shù)為24，最小數(shù)為8?！嗳Τ龅?個為8，9，10，15，16，17，23，24和為144。故選D。

11

有數(shù)加法有數(shù)加第1時理的法1．通過實例，了解有理數(shù)加法意義，會根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行有理數(shù)的加法運算．2．能運用有理數(shù)的加法解決實問題．重點了解有理數(shù)加法的意義，會根據(jù)有理數(shù)加法法則進行有理數(shù)的加法運算．難點有理數(shù)加法中的異號兩數(shù)如何進行加法運算．活動1：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課師：我們已學(xué)過正數(shù)的加法，但是在實際問題中還會遇到超出正數(shù)范圍的加法情況，此時應(yīng)該怎樣進行計算呢？活動2：自主學(xué)習(xí)探究加法法則師：布置自學(xué)任務(wù)．自學(xué)教材16頁的內(nèi)容，歸納并識記有理數(shù)的加法法則．這一段大約用時15分，教師視指導(dǎo)，要關(guān)注學(xué)生能否正確理解加法法則的內(nèi)容．有理數(shù)加法的法則是：1．同號兩數(shù)相加，取相同的符，并把絕對值相加；2．絕對值不同的異號兩數(shù)相加取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得3．一個數(shù)與0相加仍得這個數(shù)．活動3：運用法則試一試身手：口答下列算式的結(jié)果：(1)(＋(＋3)；(2)(－4)＋(－3)＋4)＋(－3)(4)(＋(－4)；(5)(＋4)＋(－4)－3)＋0(7)0＋(；(8)0學(xué)生逐題口答后，師生共同得出．進行有理數(shù)加法，先要判斷兩個加數(shù)是同號還是異號，有一個加數(shù)是否為零；再根據(jù)兩個加數(shù)符號的具體情況，選用某一條加法法則．進行計算時，通常應(yīng)該先確定“和”的符號，再計算“和”的絕對值．教師：出示教材例1，生共同成，教師規(guī)范寫出解答，注意解答過程中講解對法則的應(yīng)用．解：(1)(－3)＋(－9)(兩個加數(shù)同號，用加法法則的第1計算)＝－(3＋9)(和負號，把絕對值相)＝－12.(2)(＋3.9(兩個加數(shù)異號用加法法則的第計算16

＝－3.9)(和取負號，用的絕對值減去小的絕對)＝－0.8.教師點評法則運用過程中的注意點：先定符號，再算絕對值．下面請同學(xué)們計算下列各題以及教材第18頁練習(xí)．(1)(＋(＋1.5)；(2)(＋2.7)＋(－3)；(3)(＋(－2.9)．學(xué)生練習(xí)，四位學(xué)生板演，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生交流，師生評價．本節(jié)課教師可根據(jù)時間的情況，多安排一些練習(xí)，以求通過練習(xí)達到鞏固掌握知識的目的．活動4：小結(jié)與作業(yè)小結(jié)：談一談你對加法法則的認識，在加法計算中都應(yīng)該注意哪些問題？作業(yè)：必做題，習(xí)題第1，11；選做題，習(xí)題第12題．數(shù)學(xué)思想方法的滲透不可能立即見效，也不可能靠一朝一夕讓學(xué)生理解、掌握，所以，本節(jié)課在這一方面主要是讓學(xué)生感知研究數(shù)學(xué)問題的一般方(分、辯析、歸納、化歸等)．在探究加法法則時，意識地把各種情況先分為三類(同、異號、一個數(shù)同0相加)；在運用法則時，當和的號確定以后，有理數(shù)的加法就轉(zhuǎn)化為算術(shù)的加減法．17

淺因分多項式的因式分解是代數(shù)式中一部分重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切．因式分解方法的理論依據(jù)是多項式乘法的逆變形，它是后一章分式的通分、約分的基礎(chǔ)，進而直接影響