平面向量與三角形三心

向量與三形內(nèi)心、外、重心、垂心識(shí)的交匯一四的念紹（1重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2；（2垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3心——角平分線的交內(nèi)圓的圓線的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二四與量結(jié)（）

OAOBOCO

是

ABC

的心證法1：設(shè)

OxA(x,y),(,y(x,y)113OAOBOC是的.證法2：如圖OAOC

)x)x)23())y)23A

xx13yy1ODAOOD

O

EA、O、D

三點(diǎn)共線，且

分

AD為2：

B

DC

是

的重心（）

為ABC垂.證明：如圖所示是角形ABC垂心，垂直AC，垂直BCD、E是足OAOB(OAOB

AAC

E同理

OABC

，

OC

O

為ABC的垂心BD（）

b

c

是角的條長(zhǎng)O是

的心aOAcOCO為的心證明：

ABAC分為AB方上的單位向量，cbABAC平,c

(

ACc

)，

bca第頁(yè)共1頁(yè)

bcAC（ac

)化簡(jiǎn)得

(a)OAbAB

cOC（）

OBOC為的外。典例分[題]G是ABCMABC所在平點(diǎn)G[出問(wèn)題

_______((1)存在常,滿MG

ABAB

ACAC

)(

,則點(diǎn)

可能通過(guò)的__________.(2)點(diǎn)D的底邊上的中點(diǎn),滿GDGC,則點(diǎn)G能通過(guò)__________.(3)存在常,足MA

ABABsinB

ACACsinC

)(,則點(diǎn)

可能通過(guò)ABC的__________.(4)存在常,滿MG

ABAB

ACACcosC

)(

,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.[思路析]上四個(gè)問(wèn)題的解決要求不,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時(shí)更要熟悉平面向量的性質(zhì),對(duì)于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.[解答程](1)記

,

ACAC

,

(e).由平向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心(2)單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)是邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心(3)sinBACsinC記sinBsin則AG

(AC)(

).由平面向量的平行四邊形或三角形法則知點(diǎn)是h

邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)析后發(fā)現(xiàn),題學(xué)生難以找到解決問(wèn)題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)量第頁(yè)共2頁(yè)

33積的充分利用.由

ABABcos

ACACcosC

)(

,得

ABAB

ACACC

)(,(關(guān)鍵點(diǎn)AGBC

ABAB

ACAC

)(

于是

AGBC

BCcos

ACBCACcosC

)(

.cos()BCcos）=)從而,點(diǎn)

是高線上的點(diǎn),故應(yīng)填垂心.[評(píng)]以上四個(gè)問(wèn)題處理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問(wèn)題時(shí)的作用.特別注意第四問(wèn)兩邊同乘以某個(gè)表達(dá)式的技巧.總：（）

OAOBOCO

是

ABC

的心（）

為

的心（）,,是三形三邊，是

的心aOAcOCO為的心（）或

OBOCO為的外。若ABC

P點(diǎn)滿足:1．

ABACAPABACBABCBP)，BABC

為的;2.D、E兩點(diǎn)分別是ABC的邊、CA上的中點(diǎn),且

DPPCEPPC

為的外心3.

1(AB),為ABC的心(BC，3第頁(yè)共3頁(yè)

4.

APBP

為的垂心結(jié)運(yùn)：例：

O

是平面上一定點(diǎn)，

B、

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足

()

，

0,

，則點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

ABC

的（）A外心B內(nèi)心．重心

D．心分析：如圖所示中點(diǎn)

，

E

分別為邊

BC、

的

ABACOA

OPAP2//點(diǎn)P的跡一定通過(guò)的心即選C.

DC例：

O

是平面上一定點(diǎn)，

B、

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足OA

(

ACAC

)

，

0,，點(diǎn)P的跡一定通過(guò)的）A外心

B內(nèi)心

．重心

D．心AC分析：分別為ABAC

方向上的單位向量，

AC

平分BAC,

ACP的跡一定通過(guò)的心，即選例：

是平面上一定點(diǎn)，

B、

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足OA

(

AC

)

，

0,，點(diǎn)P的跡一定通過(guò)ABC的B

ACC（）A外心

B內(nèi)心

．重心

D．心第頁(yè)共4頁(yè)

22222222足

分析：如圖所示AD直BE垂ACDE是

(

AC

)

cos

ACcos=

cosB

ACACC

C=

ABBCcosABB

BCcoscosC=+BC=0點(diǎn)的跡定通過(guò)ABC的心，即選D.練：．已知ABC三頂點(diǎn)C

及平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足PAPBPC

，若實(shí)數(shù)足

則值（）A2B．

32

．3

D．若

的外接圓的圓心為O徑為，OB

則

()A

12

B．0．1

D．

．

在

內(nèi)部且滿足

OBOC

，則

ABC

面積與凹四邊形

面積之比是（）A0B

34C．D．24．ABC的外接圓的圓心為，

OBOC，H的）A外心

B內(nèi)心

．重心

D．心．

是平面上一定點(diǎn)，

B、

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若

CAOCAB

，則

是

ABC

的（）A外心

B內(nèi)心

．重心

D．心ABC則實(shí)數(shù)=

的外接圓的圓心為邊上的高的交點(diǎn)為HOHOAOBOC)

，第頁(yè)共5頁(yè)

→→→→→→ABAC→ABAC1．已知非零向量AB與A滿足(+)且·=則ABC為→→→