新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第三部分專題二.4.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值或范圍課件

2.4.2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值或范圍第三局部內(nèi)容索引0102必備知識精要梳理關(guān)鍵能力學(xué)案突破必備知識精要梳理1.函數(shù)不等式的類型與解法(1)?x∈D,f(x)≤k?f(x)max≤k;?x∈D,f(x)≤k?f(x)min≤k;(2)?x∈D,f(x)<k?f(x)上確界≤k;?x∈D,f(x)<k?f(x)下確界≤k;(3)?x∈D,f(x)≤g(x)?f(x)max≤g(x)min;?x∈D,f(x)≤g(x)?f(x)min≤g(x)max.2.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略(1)?x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值.(2)?x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值.(3)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值.(4)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值.(5)?x1∈[a,b],當(dāng)x2∈[c,d]時,f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域與g(x)在[c,d]上的值域交集非空.(6)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域?g(x)在[c,d]上的值域.(7)?x2∈[c,d],?x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域?g(x)在[c,d]上的值域.關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點一求參數(shù)的值【例1】函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)略;(2)假設(shè)f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.解

(1)略.(2)f(x)=ex(1-ax2e-x),設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個零點.(i)當(dāng)a≤0時,h(x)>0,h(x)沒有零點;(ii)當(dāng)a>0時,h'(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng)x∈(0,2)時,h'(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時,h'(x)>0.解題心得求參數(shù)的值,方法因題而異,需要根據(jù)具體題目具體分析,將題目條件進行合理的等價轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化過程中,構(gòu)造新的函數(shù),在研究函數(shù)中往往需要利用對導(dǎo)數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性.【對點訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)=ax-,a∈R.(1)假設(shè)f(x)≥0,求a的取值范圍;(2)假設(shè)y=f(x)的圖象與y=a相切,求a的值.顯然h'(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且h'(1)=0,所以當(dāng)0<t<1時,h'(t)>0,h(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t>1時,h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減,所以當(dāng)且僅當(dāng)t=1時h(t)=0.故a=1.熱點二已知函數(shù)極值、最值情況求參數(shù)范圍【例2】函數(shù)f(x)=-a(x-lnx).(1)當(dāng)a≤0時,試求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有極值,試求a的取值范圍.當(dāng)a≤0時,對于?x∈(0,+∞),ex-ax>0恒成立,∴f'(x)>0?x>1,f'(x)<0?0<x<1.∴f(x)單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1).(2)假設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有極值,那么f'(x)=0在x∈(0,1)內(nèi)有解.設(shè)H(x)=ex-ax,那么H'(x)=ex-a<0,x∈(0,1),∴H(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞減.∵H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,∴H(x)=ex-ax在x∈(0,1)有唯一解x0.∴有:x(0,x0)x0(x0,1)H(x)+0-f'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增故當(dāng)a>e時,f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.當(dāng)a≤e時,當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0恒成立,f(x)單調(diào)遞減,f(x)在(0,1)內(nèi)無極值.綜上,a的取值范圍為(e,+∞).解題心得f'(x)=0是f(x)有極值的必要不充分條件,例如函數(shù)f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函數(shù)f(x)=x3的極值點.所以本例f(x)在(0,1)內(nèi)有極值,那么f'(x)=0有解,由此得出a的范圍,還必須由a的范圍驗證f(x)在(0,1)內(nèi)有極值.【對點訓(xùn)練2】(2021江西名校大聯(lián)考,理21)函數(shù)f(x)=+x(a∈R).(1)當(dāng)a=0時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有極值,求實數(shù)a的取值范圍.當(dāng)x∈(1,+∞)時,F'(x)>0,所以函數(shù)F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又F(1)=2-a,故①當(dāng)a≤2時,F(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)x>2時,G'(x)>0,函數(shù)G(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,G(2)=3-ln2>0,所以在(2,+∞)上,G(x)>0恒成立,所以F(a)=a2-lna-a+1>0,所以函數(shù)F(x)在(1,a)上存在唯一零點x=x0,所以f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)存在極小值.綜上,假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有極值,那么a>2.故實數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).熱點三在不等式恒成立中求參數(shù)范圍【例3】函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)略;(2)假設(shè)當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.解(1)略.(2)方法一(別離參數(shù)法)②當(dāng)a>1時,令g(x)=f'(x),那么g'(x)=>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,于是f'(x)>f'(1)=2-a.(ⅰ)假設(shè)2-a≥0,即1<a≤2時,f'(x)>0,于是f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,于是f(x)>f(1)=0.(ⅱ)假設(shè)2-a<0,即a>2時,存在x0∈(1,+∞),使得當(dāng)1<x<x0時,f'(x)<0,于是f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,所以f(x)<f(1)=0,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是(-∞,2].解題心得對于恒成立求參數(shù)范圍問題,最值法與別離參數(shù)法是兩種最常用的方法.如果別離后的函數(shù)容易求最值,那么選用別離參數(shù)法,否那么選用最值法.最值法主要考查學(xué)生分類討論的思想,一般遵循“構(gòu)造函數(shù)——分類討論〞兩步來展開.一些稍難的恒成立問題,如果用別離參數(shù)法來處理,往往需要屢次求導(dǎo)和使用洛比達法那么.【對點訓(xùn)練3】(2021山東,21)函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)假設(shè)f(x)≥1,求a的取值范圍.(1)當(dāng)a=e時,f(x)=ex-ln

x+1,f'(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.(2)由題意a>0,當(dāng)0<a<1時,f(1)=a+ln

a<1.當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0.所以當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1,從而f(x)≥1.當(dāng)a>1時,f(x)=aex-1-ln

x+ln

a≥ex-1-ln

x≥1.綜上,a的取值范圍是[1,+∞).熱點四在兩變量不等式恒成立中求參數(shù)范圍

解

(1)略;令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4)>0,當(dāng)m<0或m>4時,g(x)=0有兩個不相等的實根x1,x2,且x1+x2=m,x1x2=m.當(dāng)m<0時,兩根一正一負,不符合題意.當(dāng)m>4時,兩個根為正,f(x)有兩個極值點x1,x2,所以h(m)在(4,+∞)上為減函數(shù).所以h(m)<h(4)=ln

2.所以a≥ln

2,即a的取值范圍是[ln

2,+∞).解題心得對于含有兩個變量的不等式恒成立求參數(shù)問題,一般要找到兩個變量的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一個變量,從而得到一個函數(shù);也可以從含有兩個變量的不等式中抽象出一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù).對于求參數(shù)的范圍,可以別離出變量,得到一個不等式,通過函數(shù)的最值得參數(shù)的范圍;如果變量不易別離,可以對參數(shù)進行討論,看參數(shù)在什么范圍不等式成立,從而求出參數(shù)范圍.解

(1)略;(2)當(dāng)a=-1時,f(x)=-ln

x-x2+1,不妨設(shè)0<x1<x2,熱點四已知函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍【例5】函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設(shè)f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.解

(1)f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(2ex+1)(aex-1),顯然2ex+1>0.①當(dāng)a≤0時,aex-1<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.(2)(方法一)①當(dāng)a≤0時,由(1)可知,f(x)在R上單調(diào)遞減,不可能有兩個零點.令h(x)=ex+x-1,那么h'(x)=ex+1>0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增,而h(0)=0,所以當(dāng)x<0時,h(x)<0,當(dāng)x>0時,h(x)>0,于是當(dāng)x<0時,g'(x)>0,當(dāng)x>0時,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.g(0)=1,當(dāng)x→-∞時,g(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時,g(x)→0+.函數(shù)g(x)的簡圖如下圖.假設(shè)f(x)有兩個零點,那么y=a與g(x)有兩個交點,所以a的取值范圍是(0,1).解題心得對函數(shù)的零點問題,解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點,三種方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直接考慮函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點情況,方法二是別離參數(shù)法,兩種方法的本質(zhì)都是一平一曲.另