高中數學第一章三角函數第2節(jié)任意角三角函數三角函數其應用數學教案

第2課時三角函數及其應用[核心必知]1．預習教材，問題導入依據以下綱要，預習教材P15～P17的內容，回答以下問題．察看教材P16的圖1.2－7，有向線段MP，OM，AT的方向是怎樣規(guī)定的？提示：當方向與

軸或

軸的方向一致時，則有向線段

，，的方向為正；當方向與

x軸或

y軸的方向相反時，則有向線段

MP，OM，AT的方向為負．(2)察看教材

P16的圖

1.2－7，你以為

sin

α，cos

α，tan

α與有向線段

MP，OM，AT有什么關系？提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|.2．概括總結，核心必記有向線段帶有方向的線段，叫做有向線段．三角函數線圖示正弦線α的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過A(1,0)作x軸的垂線，交α的終邊或其終邊的反向延伸線于T，有向線段AT即為正切線[問題思慮]三角函數線的長度等于三角函數的值嗎？提示：不等于，三角函數線的長度等于三角函數值的絕對值．三角函數線的方向能表示三角函數的正負嗎？提示：能，當三角函數線與x軸(或y軸)正向同向時，所表示三角函數值為正的，與x軸(或y軸)正向反向時，所表示三角函數值為負的．[課前反省](1)有向線段的觀點：；(2)三角函數線的觀點及作法：.作已知角的三角函數線知識點1講一講1．作出以下各角的正弦線、余弦線、正切線．π17π10π(1)－4；(2)6；(3)3.[試試解答]如圖．此中MP為正弦線，OM為余弦線，AT為正切線．類題·通法三角函數線的作法步驟作直角坐標系和角的終邊．(2)作單位圓，圓與角的終邊的交點為P，與x軸正半軸的交點為A.(3)過點P作x軸的垂線，垂足為M.(4)過點A作x軸的垂線，與角的終邊或其反向延伸線交于點T.有向線段MP，OM，AT即分別為角的正弦線，余弦線和正切線．練一練1．作出－9π的正弦線、余弦線和正切線．4解：如下圖，9π－的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.4利用三角函數線解簡單不等式知識點2講一講2．在單位圓中畫出合適以下條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的會合．(1)sinα≥31；(2)cosα≤－.22[試試解答](1)如圖①所示，作直線y＝3交單位圓于，B兩點，連結，，則2AOAOBOA與

OB圍成的地區(qū)

(暗影部分

)即為角

α

的終邊的范圍．故知足條件的角

α

的會合為α|2kπ＋

π3≤α≤2kπ＋

2π3

，k∈Z.1(2)如圖②所示，作直線

x＝－2交單位圓于

C，D兩點，連結

OC與

OD，則OC與

OD圍成的地區(qū)(暗影部分)即為角α的終邊的范圍．故知足條件的角α的會合為α|2kπ＋2π≤α≤2kπ＋4π，k∈Z.33類題·通法利用三角函數線解簡單不等式的方法利用三角函數線求解不等式，往常采納數形聯(lián)合的方法，求解要點是合適地追求點，一般來說，對于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只要作直線y＝b，x＝a與單位圓訂交，連結原點和交點即得角的終邊所在的地點，此時再依據方向即可確立相應的x的范圍；對于tanx≥c(或tanx≤c)，則取點(1，c)，連結該點和原點即得角的終邊所在的地點，并反向延伸，聯(lián)合圖象可得．練一練2．利用三角函數線，求知足以下條件的α的范圍．(1)sin13α＜－；(2)cosα＞.221P，P′兩點，則sin∠xOP解：(1)如圖①，過點0，－2作x軸的平行線交單位圓于111π7π7π＋2π＜＜＝sin∠xOP′＝－2，∠xOP＝6，∠xOP′＝6，故α的范圍是α|kα611π＋2kπ，k∈Z.6(2)如圖②，過點3作x軸的垂線與單位圓交于P，P′兩點，則cos∠xOP＝cos2，03ππ∠xOP′＝2，∠xOP＝6，∠xOP′＝－6，ππ故α的范圍是α|－6＋2kπ＜α＜6＋2kπ，k∈Z.利用三角函數線比較大小知識點3講一講3．(1)以下關系式中正確的選項是()A．sin10°＜cos10°＜sin160°B．sin160°＜sin10°＜cos10°C．sin10°＜sin160°＜cos10°D．sin160°＜cos10°＜sin10°(2)設＝sin5π，＝cos2π，＝tan2π，則a，，c的大小次序擺列為________．a7b7c7b[試試解答](1)由三角函數線知，sin160°＝sin20°＞sin10°，而cos10°＞sin20°，所以選C.由如圖的三角函數線知：M1P1＝MP＜AT，由于2π＞2π＝π，所以＞，784MPOM所以cos2π＜sin2π＜tan2π，所以＜＜.777bac答案：(1)C(2)b＜a＜c類題·通法利用三角函數線比較大小的步驟①角的地點要“對號入坐”；②比較三角函數線的長度；③確立有向線段的正負．利用三角函數線比較函數值大小的要點及注意點：①要點：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數線．②注意點：比較大小，既要注意三角函數線的長短，又要注意方向．練一練3．比較sin1155°與sin(－1654°)的大?。猓合然癁?°～360°范圍內的角的三角函數：sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.在單位圓中，分別作出表示sin75°和sin146°的正弦線M2P2，M1P1(如圖)．由于M1P1<M2P2，所以sin1155°>sin(－1654°)．[講堂概括·感悟提高]1．本節(jié)課的要點是三角函數線的畫法，以及利用三角函數線解簡單的不等式及比較大小問題，難點是對三角函數線觀點的理解．2．本節(jié)課應要點掌握三角函數線的以下三個問題三角函數線的畫法，見講1；利用三角函數線解簡單不等式，見講2；利用三角函數線比較大小，見講3.3．理解三角函數線應注意以下四點地點：三條有向線段中有兩條在單位圓內，一條在單位圓外；(2)方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向切線與α的終邊(或其延伸線)的交點；(3)正負：三條有向線段中與x軸或y軸同向的為正當，與x軸或y軸反向的為負值；書寫：有向線段的始點字母在前，終點字母在后．課下能力提高(四)[學業(yè)水平達標練]題組1作已知角的三角函數線π6π1．角5和角5有同樣的()A．正弦線B．余弦線C．正切線D．不可以確立分析：選Cπ6π在同一坐標系內作出角5和角5的三角函數線可知，正弦線及余弦線都相反，而正切線相等．3π2．假如MP，OM分別是角16的正弦線和余弦線，那么以下結論正確的選項是( )A．<<0B．<0<MPOMMPOMC．MP>OM>0D．OM>MP>03π分析：選D在單位圓中作出16的正弦線和余弦線，如下圖．由圖可知，OM>MP>0.3．角θ(0<θ<2π)的正弦線與余弦線的長度相等且符號同樣，則θ的值為________．π5π分析：由題意知，角θ的終邊應在第一、三象限的角均分線上，則θ＝4或4.π5π答案：4，4題組2利用三角函數線解簡單不等式4．在(0,2π)范圍內，使sinα>cosα建立的α的取值范圍是()ππ5ππA.4，2∪π，4B.4，ππ5ππ5π3πC.4，4D.4，π∪4，2分析：選C如下圖，OP是角α的終邊，則sinα＝MP，cosαπ5ππ5π＝OM.當α∈4，4時，恒有MP>OM；而當α∈0，∪，2π44時，則有MP<OM.5．若cosθ>sin7π，利用三角函數線得角θ的取值范圍是3____________．7πππ3分析：由于cosθ>3，所以cosθ>sin＋2π＝sin3＝2，3ππ利用三角函數線易知角θ的取值范圍是2kπ－6，2kπ＋6(k∈Z)．答案：2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)666．求函數f(x)＝1－2cosx＋ln－2的定義域．sinx21－2cos≥0，1xcosx≤2，解：由題意，得自變量x應知足不等式組即x－22sin＞0，sin2x＞.2則不等式組的解的會合如圖暗影部分所示，π3π所以所求定義域為x|2kπ＋3≤x＜2kπ＋4，k∈Z.題組3利用三角函數線比較大小7．若α是第一象限角，則sinα＋cosα的值與1的大小關系是()A．sinα＋cosα＞1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα＜1D．不可以確立分析：選A如圖，角α的終邊與單位圓交于P點，過P作PM⊥x軸于M點，由三角形兩邊之和大于第三邊可知sinα＋cosα＞1.8．若－3ππ＜α＜－，則sinα，cosα，tanα的大小關系是( )42A．sinα＜tanα＜cosαB．tanα＜sinα＜cosαC．cosα＜sinα＜tanαD．sinα＜cosα＜tanα分析：選D如圖，在單位圓中，作出－3ππ＜α＜－內的一個角42及其正弦線、余弦線、正切線．由圖知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考慮方向可得sinα＜cosα＜tanα.9．sin1，sin1.2，sin1.5的大小關系是( )A．sin1＞sin1.2＞sin1.5B．sin1＞sin1.5＞sin1.2C．sin1.5＞sin1.2＞sin1D．sin1.2＞sin1＞sin1.5分析：選C如圖，易知0＜1＜1.2＜1.5π，|MA|＜|NB|＜|QC|，＜2且MA―→，NB―→，QC―→同向，∴sin1＜sin1.2＜sin1.5.π10．試利用單位圓中的三角函數線證明當0＜α＜2時，sinα＜α＜tanα.證明：如圖，單位圓與α的終邊OP訂交于P點，過P作PM⊥x軸，垂足為，連結，過單位圓與x軸正半軸的交點A作⊥x軸交于，則sinα＝，MAPATOPTMPα＝APl，tanα＝AT，由S1122扇形OAP△OAT＜PA＜APl，所以MP＜APl＜AT.即sinα＜α＜tanα.[能力提高綜合練]7π1．假如MP和OM分別是角α＝8的正弦線和余弦線，那么以下結論中正確的選項是()A．MP＜OM＜0B．OM＞0＞MPC．OM＜MP＜0D．MP＞0＞OM分析：選D如下圖，正弦線為MP，余弦線為OM，聯(lián)合圖象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.2．已知角α的正切線是單位長度的有向線段，那么角α的終邊( )A．在x軸上B．在y軸上C．在直線y＝x上D．在直線y＝x，或y＝－x上分析：選D由題意可知，如圖，|AT|＝1，∴AT＝±1.則tanα＝±1，角α的終邊在直線y＝±x上，應選D.3．設a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，則有( )A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b分析：選C如圖作出角α＝－1rad的正弦線、余弦線及正切線，明顯b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.4．假如cosα＝cosβ，則角α與β的終邊除可能重合外，還有可能( )A．對于x軸對稱B．對于y軸對稱C．對于直線

y＝x對稱

D．對于原點對稱分析：選

A

利用單位圓中的余弦線解題易知

A正確．5．若

0＜α＜2π，且

sin

α＜

32

，cos

1α＞2.利用三角函數線，獲得

α

的取值范圍是________．分析：利用三角函數線得α的終邊落在如下圖∠AOB的地區(qū)內，π5π所以α的取值范圍是0，3∪3，2π.π5π答案：0，3∪3，2π6．函數y＝2cosx－1的定義域為____________．11分析：∵2cosx－1≥0，∴cosx≥2.作直線x＝2交單位圓于P，P′，連結

OP，OP′，如圖，所以知足條件的會合為

ππx2kπ－3≤x≤2kπ＋3，k∈Z.∴該函數的定義域為

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)．答案：

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)7．利用三角函數線寫出知足以下條件的角

x的會合．1

1(1)sin

x＞－2，且

cos

x＞2；(2)tan

x≥－1.1

1解：

(1)

由圖①知，當

sin

x＞－

2，且

cos

x＞

2時，角

x

的會合為ππx|－6＋2kπ＜x＜3＋2kπ，k∈Z.由圖②知，當