2003年數(shù)一真題、標準答案及解析(超強版)

-1-/231(1)lim(cosx)ln(1+x2)=.x)0n2為.24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設函數(shù)f(x)在(_w,+w)內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A)一個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.(C)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.y[]Ox (2)設{a},,{c}均為非負數(shù)列，且lima=0,limb=1,limc=w,則必有nnnn)wnn)wnn)wn(A)a<b對任意n成立.nnBb<c對任意n成立.nn-2-/23(C)極限limac不存在.(D)極限limbc不存在.[]n)wnnn)wnnx)0,y)0(x2+y2)2(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)x)0,y)0(x2+y2)2(A)點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C)點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.[]12r12s[]以上命題中正確的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.[]LLL-3-/23力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k>0).汽錘第一次擊打將樁打進地下am.根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一rr問)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？(注：m表示長度單位米.)dydy2設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，G(t)=D(t)jtf(x2)dx，冗「322]「010]已知平面上三條不同直線的方程分別為123-4-/23已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅(2)從乙箱中任取一件產品是次品的概率.2nn-5-/23(1)lim((1)lim(cosx)ln(1+x2)=.x0e【分析】1型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)進行計算求極限均可.x0而lim=lim=limx0cosx=1，故原式=而lim=lim=limx0111所以原式=e2=.exyz000000=0=2x0=0=241可解得x=1,y=2，相應地有z=x2+y2=5.00000故所求的切平面方程為-6-/23n2xnn冗0.【評注】的計算.00本題屬基本題型，主要考查傅里葉級數(shù)的展開公式，本質上轉化為定積分12n12n[b,b,…,b]=[a,a,…,a]P，因此過渡矩陣P為：12n12nP=[a,a,…,a]一1[b,b,…,b].12n12n(5)設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為-7-/234 【分析】已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，00求滿足一定條件的概率jjf(x,y)dxdy進行計算.0x04y1D1O1x2【評注】本題屬基本題型，但在計算二重積分時，應注意找出概率密度不為零與滿足11aa11aann22【詳解】由題設，1-a=0.95，可見a=0.05.于是查標準正態(tài)分布表知u=1.96.a2-8-/23Xn24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設函數(shù)f(x)在(,+)內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(D)一個極小值點和兩個極大值點.(E)兩個極小值點和一個極大值點.(F)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.[C]yyOx共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.詳解】根據(jù)導函數(shù)的圖形可知，一階導數(shù)為零的點有3個，而x=0則是導數(shù)不一個極大值點；在x=0左側一階導數(shù)為正，右側一階導數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).【評注】本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學一、二中曾出現(xiàn)過，當時考查的是 (2)設{a},,{c}均為非負數(shù)列，且lima=0,limb=1,limc=,則必有nnnnnnnnn(A)ab對任意n成立.nn(B)bc對任意n成立.nn(C)極限limac不存在.nn(D)極限limbc不存在.nn[D]【分析】本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關，可立即排除(A),(B)；而極限limac是0.型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極nn-9-/23限limbc屬1型，必為無窮大量，即不存在.nnn【詳解】用舉反例法，取a，b1，cn(n1,2,…)，則可立即排除nnnn2(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】對于不便直接證明的問題，經?？煽紤]用反例，通過排除法找到正確選項.x0,y0(x2y2)2(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續(xù)，且limfx0,y0(x2y2)2(A)點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C)點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.[A]的充分小的鄰域內f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號.x0,y0(x2y2)2【詳解】由limf(x,y)x0,y0(x2y2)2f(x,y)f(0,0)x24x40.故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應選(A).有一定難度.將極限表示式轉化為極限值加無窮小量，是有關極限分析過程中常用的思想.12r12s[D]【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：12r12s12r12s10102111212A線1020101211-10-/23關，排除(C).故正確選項為(D).若記不清楚，也可通過構造適當?shù)姆蠢业秸_選項.以上命題中正確的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.[B]關鍵是抓住③與④，迅速排除不正確的選項.B，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題④不成立，排除(D),故正確選項為(B).(A)r(A)=r(B).(B)A,B為相似矩陣.(C)A,B的行向量組等價.(D)A,B的列向量組等價.[C]有此例題為基礎，相信考生能迅速找到答案.Vn1YF可.Vn-11-/23y【評注】本題不是求繞坐標軸旋轉的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式.也可考慮用微元法分析.y【評注】本題不是求繞坐標軸旋轉的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式.也可考慮用微元法分析.VVY=1=n=n，這里U2~X2(1)，根據(jù)F分布的定義知Y=1~F(n,1).X2U2U2X21故應選(C).用統(tǒng)計量分布的定義.【分析】先求出切點坐標及切線方程，再用定積分求面積A;旋轉體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進行計算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】(1)設切點的橫坐標為x，則曲線y=lnx在點(x,lnx)處的切線方程是0000x00001y=x.e021xexee為V=1e2.20因此所求旋轉體的體積為1230611Dx-12-/23nn【分析】冪級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當?shù)暮愕茸?形、求導或積分等，轉化為可利用已知冪級數(shù)展開的情形.本題可先求導，再利用函數(shù)的冪級數(shù)展開=1+x+x2+…+xn+…即可，然后取x為某特殊值，得所求級數(shù)的和.1+4x222幾又f(0)=,所以404042n+12242n+1221令x=，得2nn=0nn=0再由f()=0，得22n+1424.五、(本題滿分10分)LLL-13-/23【分析】本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉0000LL(2)由于esinx+esinx2，故由(1)得L0L(1)根據(jù)格林公式，得LLD因為D具有輪換對稱性，所以DDLL(2)由(1)知LDD【評注】本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計算出來的，因此期二部分時應首先想到利用第一部分的結果，事實上，第一部分往往是起橋梁作用的.力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k>0).-14-/23n汽錘第一次擊打將樁打進地下am.根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一n)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？(注：m表示長度單位米.)【分析】本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當于求數(shù)列的極限.【詳解】(1)設第n次擊打后，樁被打進地下x，第n次擊打時，汽錘所作的功為n10212W=jx2kxdx=k(x2x2)=k(x2a2).2x221221由W=rW可得21x2a2=ra222kxxkxra3x2322322133(2)由歸納法，設x=1+r+r2+…+rn1a，則nW=jxn+1kxdx=k(x2x2)n+1x2n+1nn=k[x2(1+r+…+rn1)a2].2n+1由于W=rW=r2W=…=rnW，故得n+1nn11x2(1+r+…+rn1)a2=rna2,n+1-15-/23limx=a，nn1r1即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下am..但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡單.dydy2dxdydx11【分析】將轉化為比較簡單，==，關鍵是應注意：dydxdydyyd2x=d(dx)=d(1).dxdy2dydydxydyy1y=y2.y=(y)3.然后再代入原方程化簡即可.dx1【詳解】(1)由反函數(shù)的求導公式知=，于是有dyy代入原微分方程得(*)(*)-16-/23221222122設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，G(t)=D(t)jtf(x2)dx，幾【分析】(1)先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分母的重積分，再根據(jù)導函數(shù)F,(t)的符號確定單調性；(2)將待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃魏?，構造輔助函數(shù)，再用單調性進行證明即可.j2幾d9j幾dQjtf(r2)r2sinQdr2jtf(r2)r2dr000tftjtfrrt一r)drF,(t)=2[j0tf(r2)rdr]2，0(2)因0幾幾-17-/23000gtjtfrrdrjtfr)dr一[jtf(r2)rdr]2，000幾【評注】本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結合起來了，但難點是證明(2)中的不等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明：aaa在上式中取f(x)為f(r2)r，g(x)為f(r2)即可.「322]「010]經計算可得「700]「900]-18-/232202042312|「|||1L1」123「0]「0]又因A*A=AE，故有A*n=An.入是有是有入入A因此，+2為B+2E的特征值，對應的特征向量為P-1n.A入-19-/23-2-2-2-2-2-2231|1||2|221「0]本題計算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主要是考查考生的計算能力.不過利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關系討論，可適當降低計算量.已知平面上三條不同直線的方程分別為123-20-/23【分析】三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉化為系數(shù)矩設三條直線l,l,l交于一點，則線性方程組123||A=bb|的秩均為2，于是2b_的秩均為2，于是2c_3a2a_3b」A=0.c2a_3b24秩(A)=秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線l,l,l交于一點.方法二：必要性「x]A|b|3c]于是A=0A=bA=bc而充分性：考慮線性方程組||(*)將方程組(*)的三個方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價于方程組〈故方程組(