第九章溫度與氣體動理論

第九章、熱學(xué)熱學(xué)——研究與熱現(xiàn)象有關(guān)的規(guī)律研究方法：宏觀法：實驗系統(tǒng)與外界的相互作用規(guī)律.微觀法：統(tǒng)計分析宏觀量與微觀量的聯(lián)系.熱現(xiàn)象：大量分子無規(guī)則運動(熱運動)的集體表現(xiàn)熱力學(xué)系統(tǒng)：由大量分子組成的系統(tǒng)

我們主要討論質(zhì)量不發(fā)生變化的系統(tǒng)，只涉及做功和傳熱。

從微觀上看——

做功（包括電流做功）：傳遞的是分子的方向有序運動的能量。

熱量：大量分子的無序運動（熱運動）的能量。

宏觀量：描述系統(tǒng)宏觀性質(zhì)。例如壓強(qiáng)p、體積V、溫度T。

熱力學(xué)：實驗總結(jié)系統(tǒng)宏觀量之間的關(guān)系。具有可靠性和普遍性。一般可以直接觀測。

但不能反映熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)。熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)：組成物質(zhì)的大量微觀粒子（統(tǒng)稱分子）無序運動（熱運動）的結(jié)果。

微觀量：描述分子運動狀態(tài)。

統(tǒng)計物理學(xué)：把宏觀量看成相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計平均值，從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過求統(tǒng)計平均推導(dǎo)宏觀量及其之間的關(guān)系。

例如：氣體對容器器壁的壓強(qiáng)，就是單位面積器壁所受分子撞擊力的統(tǒng)計平均值。

例如：分子的位置r、速度v、能量。微觀量瞬息萬變，一般不能直接觀測。

統(tǒng)計物理學(xué)：不追求分子運動細(xì)節(jié)，研究大量分子集體行為規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律。揭示熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)，但結(jié)果往往與實際不完全能一致。一個小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布卻是穩(wěn)定的。

分子之間的相互作用力十分微弱，分子的運動幾乎是彼此獨立。

氣體動理論：統(tǒng)計物理學(xué)的初級理論，把單個分子作為統(tǒng)計個體，直接對微觀量求統(tǒng)計平均得到宏觀量。

理想氣體：密度非常稀薄、分子之間的相互作用力可以忽略、除相互碰撞瞬間外分子的運動彼此獨立的氣體。──

一種近獨立粒子系統(tǒng)。只適用于近獨立粒子系統(tǒng)：熱力學(xué)

統(tǒng)計物理學(xué)本章以理想氣體為例，介紹氣體動理論。主要內(nèi)容：理想氣體狀態(tài)方程壓強(qiáng)的微觀公式溫度的微觀公式理想氣體的內(nèi)能麥克斯韋速率分布律§9.1平衡態(tài)——在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)。狀態(tài)參量(描述平衡態(tài)的宏觀量)e.g.P、V、T、E(內(nèi)能)、S(熵)⑴P(壓強(qiáng))SI單位：Pa(1Pa=1N/m2)其它單位：1mmHg=1.333102Pa1atm=1.013105Pa⑵V(體積)SI單位：m31

l=10-3m3

1cm3=10-6m3⑶T(溫度)②攝氏溫標(biāo)單位：℃①開氏溫標(biāo)單位：KTk=Tc+273.15目前，Tmin=2.41011K(激光冷卻法)絕對零度(T=0K)不可能達(dá)到——熱力學(xué)第三定律溫度實例(K)宇宙大爆炸后10-43s1032氫彈爆炸中心108實驗室內(nèi)已獲得的最高溫度6107太陽中心1.5107地球中心4×103金的凝固點1337.33

地球上出現(xiàn)的最高溫度(利比亞)331(580)

水的三相點273.16地球上出現(xiàn)的最低溫度(南極)185(-880)氦的沸點(1atm)4.2星際空間2.7③兩個系統(tǒng)的熱平衡由導(dǎo)熱板隔開的兩個系統(tǒng)共同達(dá)到平衡態(tài)時

——熱平衡此時TA=TBAB導(dǎo)熱板與第三個系統(tǒng)達(dá)到熱平衡的兩個系統(tǒng)，互相之間也達(dá)到熱平衡。此時TA=TC=TB——熱力學(xué)第零定律ABC絕熱板§9.2理想氣體狀態(tài)方程（IdealGasEquationofState）——理想氣體狀態(tài)方程理想氣體的p、V、T不完全獨立M—氣體質(zhì)量(kg)R=8.31J/molKMmol—摩爾質(zhì)量(kg/mol)——普適氣體常量or摩爾氣體常量—氣體的摩爾數(shù),狀態(tài)方程的另一形式：P=nkTn——分子數(shù)密度(m-3),n=N/Vk=R/NA=1.3810-23J/K[來歷]

——玻爾茲曼(Boltzmann)常量

混合氣體：達(dá)到熱平衡，各組分溫度相同①適用條件:理想氣體處于平衡態(tài)說明②在M,Mmol不變的條件下,③圖示12PV0一房間的容積為。白天氣溫為21℃

，大氣壓強(qiáng)為0.98105Pa，到晚上氣溫降為12℃

，而大氣壓強(qiáng)升為1.01105Pa

。窗是開著的，從白天到晚上通過窗戶漏出了多少空氣（以kg表示）？視空氣為理想氣體并已知空氣的摩爾質(zhì)量為29.0g/mol。例9.1解：由理想氣體狀態(tài)方程得到：

由于V等于房間容積始終不變，所以漏出的空氣為：

結(jié)果負(fù)號表明，從白天到晚上有空氣流進(jìn)了房間。恒溫氣壓。求大氣壓強(qiáng)P

隨氣體的高度

h

變化的規(guī)律。設(shè)空氣溫度不隨高度改變.例9.2解：設(shè)高度h處有一薄層空氣，厚dh，底面積為S，其上下面的氣體壓強(qiáng)分別是P+dP和P.該薄層空氣的重力為由力的平衡條件：由理想氣體狀態(tài)方程得到代入dp公式可得分離變量積分得出或

——恒溫氣壓公式——一種高度計的原理（適用高度2km）對珠穆朗瑪峰頂，h=8844.43m(2005年)，算出珠穆朗瑪峰頂溫度很低，p值實際更低。取§9.3理想氣體的壓強(qiáng)

壓強(qiáng)產(chǎn)生于大量分子在無規(guī)則運動中對器壁的碰撞。推導(dǎo)：理想氣體分子模型＋統(tǒng)計方法⒈理想氣體分子模型⑴分子的行為猶如粒子；⑵除碰撞外，分子之間以及分子與器壁之間無相互作用；⑶碰撞是彈性的；⑷分子的運動服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。⒉統(tǒng)計方法——揭示大量偶然事件整體規(guī)律的方法⑴概率(probability)——一種統(tǒng)計描述定義：Pi——第i種事件發(fā)生的概率∑Ni

——各種事件發(fā)生的總次數(shù)Ni——第i種事件發(fā)生的次數(shù)平均值：⑵對理想氣體的統(tǒng)計假設(shè)：①平衡態(tài)下，分子的空間分布均勻；②平衡態(tài)下，分子的速度按方向的分布是各向均勻的.e.g.分子數(shù)密度各處相同即其中由于對每個分子

兩側(cè)取平均

如果系統(tǒng)處于平衡態(tài)，分子向各個方向運動的概率相等,則分子的平均平動動能：

平衡態(tài)氣體分子沿x、y、z三個方向的平均平動動能相等，等于分子平均平動動能的1/3。3.壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)XYZl1l3l2Aoi第i分子的速度：m－分子質(zhì)量N—分子總數(shù)V—體積—分子數(shù)密度—速度為的分子數(shù)密度A—器壁側(cè)面積1）速度為的一個分子與器壁A1面碰撞一次給予器壁的沖量動量的增量2）在dt時間內(nèi)該分子給予A1面的沖量該分子沿X方向與A1面連續(xù)碰撞相隔的時間為單位時間內(nèi)該分子與A1面碰撞的次數(shù)為對A1面的沖量碰前碰后4)求壓強(qiáng)在dt時間內(nèi),一個分子給A1面的沖量3）在dt時間內(nèi),容器內(nèi)的所有分子施予A1面的總沖量其中n為單位體積內(nèi)的分子數(shù)——分子數(shù)密度根據(jù)統(tǒng)計假設(shè)，平衡態(tài)下：引入分子平均平動動能：壓強(qiáng)公式把宏觀量p與微觀量統(tǒng)計平均值聯(lián)系起來

對大量氣體分子才有確切的意義！分子的平均平動動能壓強(qiáng)公式：壓強(qiáng)是統(tǒng)計量.[例9-3]容積V=10l，氣體質(zhì)量M=100g若分子方均根速率則壓強(qiáng)p=

mmHg解：§9.4溫度的微觀意義1.溫度公式由微觀量宏觀量表明：溫度是分子平均平動動能的量度?！獪囟鹊奈⒂^解釋注意①T是宏觀狀態(tài)參量，只適于平衡態(tài)；②溫度T是統(tǒng)計概念；③溫度與熱力學(xué)系統(tǒng)的整體運動無關(guān)。③當(dāng)T0K時，不再成立。原因：根據(jù)近代物理，當(dāng)T0時，

e.g.“量子零度”

按溫度公式，當(dāng)T0K時，氣體分子的0，即分子運動停止。這是經(jīng)典理論的結(jié)果。金屬中的自由電子也在不停運動，組成“電子氣”，在低溫下不遵守經(jīng)典統(tǒng)計規(guī)律。量子理論給出，即使在0K時，電子氣中的電子的平均平動動能并不為零。例如，銅塊中的自由電子在0K時的平均平動動能為4.23ev。如按經(jīng)典理論的計算，這樣的能量相當(dāng)于多高的溫度？解：差異大！2.方均根速率由得到——方均根速率H2:O2:e.g.

氮氣(N2)

T=0℃,T=100℃,e.g.T=0℃,三個容器A、B、C中裝有同種理想氣體，其分子數(shù)密度n相同，方均根速率之比為1:2:4，則其壓強(qiáng)之比pA:pB:pC=

.解：[思考]TA:TB:TC=？[例9-4]試計算下列氣體在大氣中的逃逸速率與方均根速率之比：H2(2),He(4),H2O(18),N2(28),O2(32),Ar(40),CO2(44).設(shè)大氣溫度為290K.[例9-5]解：逃逸速率可由分子動能等于相對于無窮遠(yuǎn)的引力勢能求得：二者之比：代入數(shù)據(jù)，得各種氣體的a值：氣體H2HeH2ON2O2ArCO2a5.888.3217.6522.023.5326.3127.59a~6-8,不夠，不足以阻止氣體逃逸a~22-24,夠了，可以阻止氣體逃逸[例9-6]容積V=10l，氣體質(zhì)量M=100g若分子方均根速率則壓強(qiáng)P=?mmHg解法一：解法三：解法二：

除平動外，多原子分子還有轉(zhuǎn)動，分子中的原子還有振動。

溫度反映了系統(tǒng)內(nèi)部分子熱運動的激烈程度溫度的熱力學(xué)定義：把兩個系統(tǒng)用導(dǎo)熱壁（如薄金屬板）隔開，足夠長時間后，狀態(tài)不再發(fā)生變化，達(dá)到熱平衡。達(dá)到熱平衡的兩個系統(tǒng)具有相同的溫度溫度測量的一個依據(jù)

后面會看到，分子的平均轉(zhuǎn)動動能、平均振動能也都與kT成正比。溫度的微觀意義：重點一、熱學(xué)的基本概念(平衡態(tài)的概念)二、理想氣體的狀態(tài)方程三、理想氣體的壓強(qiáng)公式推導(dǎo)思路及物理意義四、溫度公式和溫度公式的物理意義2.分子的自由度HeO2①單原子分子Ne自由度i=3——平動自由度t=3②雙原子分子H2自由度i=5——平動自由度t=3+轉(zhuǎn)動自由度r=2§9.5能量的均分⒈自由度—確定一個物體的空間位置所必需的獨立坐標(biāo)數(shù)平動自由度t轉(zhuǎn)動自由度r總自由度i＝t＋r單原子分子303剛性雙原子分子325剛性多原子分子336H2OCO2NH3CH3OH③多原子分子自由度i=6——平動自由度（t=3）+轉(zhuǎn)動自由度（r=3）氣體分子的自由度Notes:①剛性分子只有平動和轉(zhuǎn)動自由度，非剛性分子還有振動自由度。②在低溫下，分子的某些自由度可能被“凍結(jié)”。(用量子理論解釋)由統(tǒng)計假設(shè)：平衡狀態(tài)下，大量氣體分子沿各方向的運動機(jī)會完全相等。平衡狀態(tài)下，分子的每一個平動自由度的平均動能都相等。3.能量均分定理①平動自由度上的平均動能②能量均分定理平均平動動能+平均轉(zhuǎn)動動能=平均總動能單原子分子——剛性雙原子分子——剛性多原子分子——氣體分子的平均總動能——在平衡態(tài)下，分子熱運動的每個自由度的平均動能都相等，且等于.e.g.剛性雙原子分子，i=5，每個分子的平均動能為，其中.

能量均分定理基于分子的能量連續(xù)變化這一經(jīng)典概念。

在微觀系統(tǒng)中，粒子的能量可以取一系列特定的分立值（量子化），能量均分定理不適用。Notes:e.g.

單原子分子,i=3分子的平均動能分子平均平動動能分子平均轉(zhuǎn)動動能e.g.

剛性雙原子分子,i=5分子的平均動能分子平均平動動能分子平均轉(zhuǎn)動動能4.理想氣體的內(nèi)能氣體的內(nèi)能——所有分子的無規(guī)則運動動能與分子間相互作用勢能的總和。理想氣體的內(nèi)能

=所有分子動能的總和。內(nèi)能一般與系統(tǒng)的溫度和體積有關(guān)。

內(nèi)能是一個狀態(tài)函數(shù)，它只與系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)，而與如何到達(dá)該狀態(tài)的過程無關(guān)。實際氣體內(nèi)能除與溫度有關(guān)，還與體積有關(guān)。理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)，與體積無關(guān)。每個分子的平均動能為分子總數(shù)為Ｎ

的理想氣體的內(nèi)能為由上式變?yōu)?----溫度為T的平衡態(tài)下摩爾理想氣體的內(nèi)能質(zhì)量為M的理想氣體的內(nèi)能一定量理想氣體內(nèi)能是溫度的函數(shù)ET,ET則單位體積內(nèi)能：則單位質(zhì)量內(nèi)能：由內(nèi)能[計算]一個分子的平均動能:一摩爾氣體的內(nèi)能:一定量氣體的內(nèi)能:理想氣體內(nèi)能＝分子熱運動動能之和[例9-7]一瓶H2氣和一瓶He氣，P、V、T均相同，則H2氣的內(nèi)能是He氣的

倍。解：[思考](1)單位體積內(nèi)能之比(2)單位質(zhì)量內(nèi)能之比因為單位體積內(nèi)能：因為單位質(zhì)量內(nèi)能：①結(jié)果的物理解釋？②若僅知P、V相同，結(jié)果？物理內(nèi)涵有何不同？[思考]在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各為單位質(zhì)量的氫氣與氦氣的內(nèi)能之比?[例9-8]單原子氣體，密度，壓強(qiáng)Ｐ，則分子方均根速率為

，單位體積氣體內(nèi)能為

。解：一定量理想氣體的內(nèi)能是溫度的函數(shù)Notes:一定量氫氣溫度每升高1K，內(nèi)能增加41.6J，則該氫氣質(zhì)量為

。解：[思考]溫度每升高1K，氫氣分子平均動能增加多少？[例9-9]容器以速度運動，內(nèi)有分子質(zhì)量為m的單原子理想氣體。若使容器突然停止，則氣體狀態(tài)達(dá)到平衡后，其T=

.解：[思考]若為雙原子分子氣體，結(jié)果？[例9-10]§9.6麥克斯韋速率分布律

(DistributionofMaxwellSpeeds)xxΔ小球落入其中一格是一個偶然事件.......................................................................................................................................大量小球在空間的分布服從統(tǒng)計規(guī)律

小球數(shù)按空間位置x分布曲線伽耳頓板演示解決粒子集體行為的統(tǒng)計方法1.麥克斯韋速率分布律

設(shè)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài),氣體分子間相互作用力可略,且無外力場作用。氣體分子分布在速率區(qū)間v--v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比(比率)(1)(1)式稱為麥克斯韋速率分布律2.麥克斯韋速率分布函數(shù)∵dN/N與dv的大小有關(guān)∴定義速率分布函數(shù)(2)由(1)式得麥克斯韋速率分布函數(shù)(3)a.f(v)的物理意義--表明平衡態(tài)下，分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比（幾率）?；颍寒?dāng)f(v)v0vv0v+dvv2v1在v1~v2任意速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)△Nb.f(v)曲線①分子速率可以取0~的一切值；曲線具有一定形狀——統(tǒng)計規(guī)律。f(v)f(vp)vvpvv+dv面積=dNN②f(v)為最大值時所對應(yīng)的速率vP—最概然速率。而當(dāng)v=vp時，最概然速率vp的物理意義：在任意溫度T時，分子處在vp附近某單位區(qū)間的概率最大。③對整個速率區(qū)間，歸一化條件質(zhì)量m相同，溫度T不同時,④不同溫度，不同質(zhì)量分子速率分布曲線的比較f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1=73KT3=1273KT2=273Kf(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)m1m3m2溫度T相同，質(zhì)量m不同時,m1

m2

m3已知速率分布函數(shù)，可以求出分子速率的另兩種統(tǒng)計平均值.

的用途：計算分子的平均自由程。(1)分子的平均速率：（2）方均根速率定義

的用途：計算分子的平均平動動能。三種特征速率:分子的最概然速率：分子的平均速率：分子的方均根速率：都與成正比，與成反比。

用于碰撞和輸運過程的統(tǒng)計規(guī)律，用于溫度和壓強(qiáng)的統(tǒng)計規(guī)律。f(v)vvp都[例9-11]計算溫度為300K時，氧氣分子的最概然速率、平均速率和方均根速率。解氧氣的摩爾質(zhì)量μ=32×103kg·mol1

每秒幾百米，相當(dāng)于子彈從槍口射出的速度！[例9-12