反函數(shù)-高中數(shù)學(xué)知識點講解(含答案)

第第#頁(共11頁)反函數(shù)(北京習(xí)題集)(教師版)一.選擇題(共4小題)(2010秋?海淀區(qū)校級期中)若y=log3x的反函數(shù)是y=g(x)，則g(-1)值為()3

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A.3-B.TOC\o"1-5"\h\z(2010春?宣武區(qū)期末)若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=2x的反函數(shù)，則f[f(2)]的值為()A.16B.0C.1D.2(2010春?平谷區(qū)校級月考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=2-x-1的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f(3)的值為()A.1B.-1C.2D.-2(2009?海淀區(qū)一模)函數(shù)f(x)=2x+1的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象是()二.填空題(共8小題)[2x_1了<0(2009?東城區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)Jc、的反函數(shù)為f-1(x)，則f-1(1)的值為.[x2一1x20(2009?豐臺區(qū)二模)已知函數(shù)y=log?x+a的圖象與函數(shù)y=2x-3的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則a=.(2009秋?海淀區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，令h(x)=f(1-1xI),則關(guān)于函數(shù)h(x)有以下命題：h(x)的圖象關(guān)于原點(0,0)對稱；(2)h(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)h(x)的最小值為0；(4)h(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增.正確的是.TOC\o"1-5"\h\z(2008秋?昌平區(qū)期末)函數(shù)f(x)=a-二1的圖象過點(2,3)，則a=,f-1(1)=.(2009秋?海淀區(qū)校級期中)記f(x)=2x的反函數(shù)為y=f-1(x)，則f-1(4)=.2(2007秋?東城區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=log。x，它的反函數(shù)為f-1(x)，則f-i(-)=.83(2008?豐臺區(qū)一模)若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=x2(xW0)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，則f(x)=.(2007秋?東城區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù)f(x)J-嗨3(：*1)(x>6)的反函數(shù)為f-1(x)，則f-1(i)=.[3x+6(xW6)9三．解答題(共3小題)(2003?崇文區(qū)一模)已知f(x)=log(x+7x2—1)，且0<a<1.a求f(x)的定義域和值域；求f(x)的反函數(shù)f-1(x).(2014秋?西城區(qū)校級期末)設(shè)a為常數(shù)，記函數(shù)f(x)=￡(匸1)2，x>1的反函數(shù)為f-1(x).已知y=f-1(x)的圖x+1象經(jīng)過點(丄,3)?4求實數(shù)k的值和反函數(shù)f-1(x)的解析式；(II)定義函數(shù)F(x)=log[f-1(x)]—logC_仝，其中常數(shù)c>0且c豐1，求函數(shù)F(x)的值域.cc1-7x(2008秋?海淀區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)=ax+k(a>0且a豐1)的圖象過點(-1,1)，其反函數(shù)f-1(x)的圖象過點(8,2).(1)求a，k的值若將y=f-1(x)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，就得到函數(shù)y=g(x)的圖象，寫出y=g(x)的解析式若函數(shù)F(x)=g(x2)-f-1(x)，求F(x)的最小值及取得最小值時x的值.反函數(shù)(北京習(xí)題集)(教師版)參考答案與試題解析一．選擇題(共4小題)(2010秋?海淀區(qū)校級期中)若y=logx的反函數(shù)是y=g(x)，則g(-1)值為()3A.3B.—3C.-D.-133【分析】根據(jù)函數(shù)與它的反函數(shù)的關(guān)系，令logx=—1，可得x=-即為所求.33【解答】解：令logx=—1，可得x=-,33根據(jù)函數(shù)與它的反函數(shù)的關(guān)系可得g(—1)=1，故選：C.【點評】本題考查函數(shù)與它的反函數(shù)的關(guān)系，由logx=—1，解得x的值，是將誒提的關(guān)鍵.3(2010春?宣武區(qū)期末)若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=2x的反函數(shù)，則f[f(2)]的值為()A.16B.0C.1D.2【分析】先求出函數(shù)y=2x的反函數(shù)，再利用求函數(shù)值的方法先求f(2)，最后求出f[f(2)]的值即可.【解答】解：函數(shù)y=2x的反函數(shù)是：y=log2x，即f(x)=logx，2???f[f(2)]=f[log2]=f(1)=log21=0.22故選：B．【點評】本題主要考查了反函數(shù)，一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(xeA)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=f(y).互換x，y，得到的函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)(xeA)的反函數(shù)，記作y=f-1(x).(2010春?平谷區(qū)校級月考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=2-x—1的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f(3)的值為()A．1B．—1C．2D．—2【分析】由兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱得，這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，故只要利用求反函數(shù)的方法求出原函數(shù)的反函數(shù)即可．

【解答】解：丁函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=2-x-1的圖象關(guān)于直線y=x對稱,???函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=2-x-1互為反函數(shù)，又丁函數(shù)y=2-x-1的反函數(shù)為：y=-iog2(x+1)，即f(x)=-log(x+1)，2?f(3)=-log(3+1)=-2，2故選：D.【點評】本小題主要考查反函數(shù)、對數(shù)式的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.反函數(shù)求解三步驟：1、換：X、Y換位2、解：解出Y3、標(biāo)：標(biāo)出定義域.(2009?海淀區(qū)一模)函數(shù)f(x)=2x+1的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象是()【分析】先求出函數(shù)f(x)=2x+1的反函數(shù)y=f-1(x),再根據(jù)反函數(shù)的圖象結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可選出答案.【解答】解：：函數(shù)f(x)=2x+1的反函數(shù)為f-1(x)=logx-1,2它可由對數(shù)函數(shù)y=logx的圖象向下平移1個單位得到，2故選：D.【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反函數(shù)，以及函數(shù)的圖象與圖象變化，屬于基礎(chǔ)題.二.填空題(共8小題)(2009?東城區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)J2：-1的反函數(shù)為f-1(x)，則f-1(1)的值為_込Ix2一1x20【分析】根據(jù)題意，可以直接求出反函數(shù)的解析式，然后代入x=1即可求得為f-1(1)，本題作為填空題也可以根據(jù)求f-1(1)的值，也就是求使f(x)=1的x值，這樣求解更方便，也是合理的.【解答】解：法一：由函數(shù)f(x)=]2X-1：0得[x2-1x>0當(dāng)x<0時，x=2當(dāng)x20時，x=?■■y+1x+1由此可得：f-1(x)=<2x<—1Jx+1x2—1所以f-1(1)=込為所求.法二：根據(jù)題意求f-1(1)的值，也就是求使f(x)=1的x值?/x<0時，f(x)<—1，x>0時f(x)2—1令x2—1=1，得x=、込即f-1(1)=J2.答案為:、込【點評】本題解答給出了2種方法，方法一是直接接法，常規(guī)思路，走彎路，有些繁瑣，但適合于各種題型；方法二是抓住要害，直擊目標(biāo)，過程簡捷，對解選擇題、填空題值得使用．(2009?豐臺區(qū)二模)已知函數(shù)y=logx+a的圖象與函數(shù)y=2x-3的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則a=3.2【分析】由題意知，函數(shù)y=logx+a與函數(shù)y=2x-3互為反函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)y=logx+a求出其反函數(shù)，22則求出的反函數(shù)與y=2x-3一樣，比較系數(shù)可得a值.【解答】解：丁函數(shù)y=logx+a的圖象與函數(shù)y=2x-3的圖象關(guān)于直線y=x對稱，2函數(shù)y=logx+a與函數(shù)y=2x-3互為反函數(shù)，由y=logx+a得，x=2y-a，22.函數(shù)y=logx+a的反函數(shù)為y=2x-a，2.a=3，故答案為3．【點評】本題考查反函數(shù)的求法，互為反函數(shù)的2個函數(shù)圖象間的關(guān)系．(2009秋?海淀區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，令h(x)=f(1—IxI),則關(guān)于函數(shù)h(x)有以下命題：(1)h(x)的圖象關(guān)于原點(0,0)對稱；(2)h(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)h(x)的最小值為0；(4)h(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增.正確的是-(2)(4).【分析】先根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱求出函數(shù)f(x)的解析式，然后根據(jù)奇偶性的定義進行判定，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行判定可求出函數(shù)的最值，從而得到正確選項.【解答】解：：函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱f(x)=log?xh(x)=f(1-1xI)=log2(1-1xI)xg(-1,1)而h(—x)=log2(1-1—xI)=h(x)則h(x)不是奇函數(shù)是偶函數(shù)，故(1)不正確，(2)正確該函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減?h(x)有最大值為0,無最小值故選項(3)不正確，(4)正確故答案為：(2)(4)【點評】本題主要考查了反函數(shù)，以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值，同時考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.(2008秋?昌平區(qū)期末)函數(shù)f(x)=a-辰二1的圖象過點(2,3)，則a=4，f-1(1)=.【分析】本題考查求函數(shù)解析式，求反函數(shù)及其反函數(shù)等多個知識點，將點的坐標(biāo)(2,3)代入函數(shù)式f(x)=a-y7T就可以求出a的值，然后利用反函數(shù)的函數(shù)值即為原函數(shù)的x的值這一特點，不用求出反函數(shù)的解析式就可以求出f-1(1)=的值．【解答】解：法一：依題意，將x=2，y=3代入f(x)=a-*x—1，解得：a=4，所以函數(shù)的解析式為：f(x)=4x-1設(shè)y=4-、：x-1，解得x=(4-y)2+1，即反函數(shù)的解析式為fT(x)==(4-x)2+1所以f-1(1)=10法二：依題意，將x=2，y=3代入f(x)=a-\x—1，解得：a=4，所以函數(shù)的解析式為：f(x)=4-^Q1根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)特征，令4-jxir=1解得：x=10，即f-1(1)=10答案：4，10【點評】本題提供的兩種解法都有2個層次，第一個層次是相同的，利用點在函數(shù)的圖象上，代入坐標(biāo)獲得參數(shù)a的值，第二個層次的區(qū)別在于：法一是先求出反函數(shù)的解析式，再代入求值，法二依據(jù)了“反函數(shù)的函數(shù)值即為原函數(shù)的x的值”巧妙的獲得了結(jié)果，相比之下法二更可取.(2009秋?海淀區(qū)校級期中)記f(x)=2x的反函數(shù)為y=f-1(x)，則f-1(4)=2.【分析】欲求f-1(4)，設(shè)f-1(4)=a，則可得f(a)=4，解方程可求a.【解答】解：設(shè)f-1(4)=a，/.f(a)=2a=4，a=2，即f-1(4)=2.故答案為：2.【點評】本題主要考查了函數(shù)的反函數(shù)值的求解，其中主要利用了互為反函數(shù)直接的關(guān)系：原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域．2(2007秋?東城區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=log。x，它的反函數(shù)為f-1(x)，則f-1(—)=4.83【分析】互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，若f(x)的圖象上有(a,b)點，則(b,a)點一定在其反函數(shù)的圖象上．【解答】解：令f-1(2)=a2則f(a)=loga=—.83—即83=a.a=4故答案為4【點評】互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于線y=x對稱，具體體現(xiàn)在：若f(x)的圖象上有(a,b)點，則(b,a)點一定在其反函數(shù)的圖象上，這種方法的優(yōu)勢在于，不用求出反函數(shù)的解析式，即可求出反函數(shù)的函數(shù)值，其實是轉(zhuǎn)化思想在反函數(shù)這一知識點上的應(yīng)用．(2008?豐臺區(qū)一模)若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=x2(xW0)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，則f(x)=一、1x(x20)_.【分析】由題意判斷兩個函數(shù)互為反函數(shù)，然后求出函數(shù)y=x2(xW0)的反函數(shù)即可.【解答】解：函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=x2(xW0)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，說明兩個函數(shù)互為反函數(shù)，函數(shù)y=x2(xW0)的反函數(shù)是f-1(x)一匚(x20)所以f(x)=_'；x(x>0)故答案為：—x(x>0)【點評】本題考查反函數(shù)的知識，是基礎(chǔ)題．(2007秋?東城區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù)f(x)=|-嗨3(：+1)(x>6)的反函數(shù)為f-i(x)，則f-i(-)=_-8_.[3x+6(xW6)9【分析】欲求f-1(9)的值，只須從條件中函數(shù)式f(x)=1中反解出x，即得f-1(9)的值.【解答】解：令f(x)=1，當(dāng)x>6時，即：一log(x+1)=1,無解,39當(dāng)xW6時，即：3x+6=，解得：x=-6，9???則f-1(9)=-6，故答案為：-8.【點評】本小題主要考查反函數(shù)、反函數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題三.解答題(共3小題)(2003?崇文區(qū)一模)已知f(x)=log(x+*x2-1)，且0<a<1.a求f(x)的定義域和值域；求f(x)的反函數(shù)f-1(x).【分析(I)直接由對數(shù)式的真數(shù)大有0列不等式組求解；(II)由f(x)=log(x+\：x2-1)，解出x，然后把x和y互換即可得到答案.a【解答】(I)解：由卜+小-1>°①，[x2-120②解②得x<-1或x>1，代入①驗證得x>1，?f(x)的定義域為[1，+乂)..f(x)的值域為(-3，0].(II)解：設(shè)y=f(x)=log(x+7x2一1)=log(1),aax-Vx2一1ay=x+■<x2—1ay+a—y，兩式相加，得x=a-y=x-7x2一12因此，f(x)=log(x+Px2—1)(xG[1，+3))的反函數(shù)是af-1(x)=竺尹(xG(-3,0])?點評】本題考查了函數(shù)定義域的求法，考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，關(guān)鍵是注明反函數(shù)的定義域，是中檔題(2014秋?西城區(qū)校級期末)設(shè)a為常數(shù)，記函數(shù)f(x)二￡(口)2，x〉1的反函數(shù)為f-1(x)?已知y=f-1(x)的圖x+1象經(jīng)過點(-,3).4求實數(shù)k的值和反函數(shù)f-i(x)的解析式;(II)定義函數(shù)F(x)二log[f-1(x)]—log，其中常數(shù)c〉0且c豐1，求函數(shù)F(x)的值域.cc1—寸x【分析(I)由y=f-1(x)的圖象經(jīng)過點(￡3)，得到關(guān)于k的等式，求出實數(shù)k的值，進一步求得反函數(shù)f-1(x)的解析式；一(II)把f-1(x)的解析式代入F(x)二log[f-1(x)]—log，化簡整理后求出真數(shù)的范圍，可得函數(shù)的值域.1—\：x【解答】解：(I)：f(x)二k(g)2，且y=f-1(x)的圖象經(jīng)過點(丄,3),x+143-11.k(帚)2蔦，解得k二1?.y二f(x)二Gx_^)2(x〉1)，貝U=sy，x=x+1x+11一寸y...f-1(x)二(0<x<1)；1-Jx(II)F(x)二log[f-1(x)]—logC已二log-=—logC?已cc1—Nxc1—Uxc1—7x=log(0<x<1).cc—YX要使該函數(shù)有意義，則c-\匚〉0恒成立,

由t=g<xx+由t=g<xx+1vx-cc+1*.*0<x<1,0〈、:x<1,—c<rx—c<1—c,111c+11+^x2.<<，<<1-cx-c-cccxc-1函數(shù)F(x)的值域為[log仝二1,log—].cccc-1【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)反函數(shù)的求法，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．(2008秋?海淀區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)=ax+k(a>0且a豐1)的圖象過點(-1,1),其反函數(shù)f-1(x)的圖象過點(8,2).(1)求a，k的值若將y=f-1(x)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，就得到函數(shù)y=g(x)的圖象，寫出y=g(x)的解析式若函數(shù)F(x)=g(x2