勾股定理的應用

勾股定理3.勾股定理的應用

一、學生知識狀況分析本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動．學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經(jīng)有了一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經(jīng)驗基礎．

二、教學任務分析本節(jié)是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第３節(jié)．具體內(nèi)容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題．當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發(fā)展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學生合作交流的能力．本節(jié)課的教學目標是：1.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發(fā)展學生的空間觀念．2.在將實際問題抽象成數(shù)學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學建模的思想．3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的實用性．利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節(jié)課的重點也是難點．四、教法學法1．教學方法引導—探究—歸納本節(jié)課的教學對象是初二學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：（1）從創(chuàng)設問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學過程；（2）從學生活動出發(fā)，順勢教學過程；（3）利用探索研究手段，通過思維深入，領悟教學過程．2．課前準備教具：教材、電腦、多媒體課件．學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具．

五、教學過程分析本節(jié)課設計了七個環(huán)節(jié)．第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：小試牛刀；第五環(huán)節(jié)：舉一反三；第六環(huán)節(jié)：交流小結；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)．

第一環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容：情景1：多媒體展示：提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？情景2：如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？意圖：通過情景1復習公理：兩點之間線段最短；情景２的創(chuàng)設引入新課，激發(fā)學生探究熱情．效果：從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎．

第二環(huán)節(jié)：合作探究內(nèi)容：學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線．讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的方法．意圖：通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗數(shù)學建摸，培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．效果：學生匯總了四種方案：

A’A’

A’A’A’

A’

學生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：，情形（2）中A→B的路線長為：所以情形（1）的路線比情形（2）要短．學生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，情形（3）A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計算比較（1）和（4）即可．如圖：（1）中A→B的路線長為：．（2）中A→B的路線長為：>AB．（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB．（4）中A→B的路線長為：AB．得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．在這個環(huán)節(jié)中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則．注意事項：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學生感知最短路徑的不同存在可能．但這一拓展使學生無法去論證最短路徑究竟是哪條．因此教學時因該在學生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱側面最短路徑的探究上．方法提煉：解決實際問題的關鍵是根據(jù)實際問題建立相應的數(shù)學模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：1．審題——分析實際問題；2．建模——建立相應的數(shù)學模型；3．求解——運用勾股定理計算；4．檢驗——是否符合實際問題的真實性．

第三環(huán)節(jié)：做一做內(nèi)容：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務嗎？（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？解答：（2）

∴AD和AB垂直．意圖：運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．效果：先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性．當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結論．

第四環(huán)節(jié)：小試牛刀內(nèi)容：1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1時后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點，10:00甲到達B點，乙到達C點．則:AB=2×6=12（km）AC=1×5=5（km）在Rt△ABC中:

∴BC=13（km）．即甲乙兩人相距13km．2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．解答：.

3．有一個高為，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為，問這根鐵棒有多長？解答：設伸入油桶中的長度為xm．則最長時:∴最長是+=3（m）．最短時:．∴最短是+=2（m）．答:這根鐵棒的長應在2～3m之間．意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習，訓練學生根據(jù)實際情形畫出示意圖并計算．效果：學生能獨立地畫出示意圖，將現(xiàn)實情形轉化為數(shù)學模型，并求解．

第五環(huán)節(jié)：舉一反三內(nèi)容：1．如圖，在棱長為10cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B？

BABCBA

解：如圖，在Rt△ABC中:BABCBA∵500＞202.∴不能在20s內(nèi)從A爬到B.2．在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？解答：設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長為AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺.由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.即52+x2=（x+1）2.25+x2=x2+2x+1.2x=24.∴x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺．意圖：第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側面到棱柱側面，都是將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程．效果：學生能畫出棱柱的側面展開圖，確定出AB位置，并正確計算．如有可能，還可把正方體換成長方體進行討論．學生能畫出示意圖，找等量關系，設適當?shù)奈粗獢?shù)建立方程．注意事項：對于普通班級而言，學生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學任務．因此本環(huán)節(jié)可以作為教學中的一個備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學生狀況選用．

第六環(huán)節(jié)：交流小結內(nèi)容：師生相互交流總結：1．解決實際問題的方法是建立數(shù)學模型求解．2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題．意圖：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史．效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解．并贊嘆我國古代數(shù)學的成就．

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1．課本習題1．4第1，2，3題．2．如圖是學校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設計方案?注意事項：作業(yè)2作為學有余力的學生的思考題．

六、教學設計反思本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學建摸思想．在設計中，我注重以下兩點：1．要充分利用好教材提供的素材“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學生充滿了探究的欲望，這個問題體現(xiàn)了二、三維圖形的轉化，對發(fā)展學生的空間觀念很有好處．2．合理使用教材提供的練習本節(jié)課通過“小試牛刀”和“舉一反三”把教材中的練習重組，使練習有梯度，既鞏固了基本知識點，又訓練了學生的應用能力．第一個作業(yè)讓學生深入理解和應用勾股定理及逆定理．3．突破重點、突破難點的策略在教學過程中教師應通過情景創(chuàng)設，激發(fā)興趣，鼓勵引導學生經(jīng)歷探索過程，得出結論，從而發(fā)展學生的數(shù)學應用能力，提高學生解決實際問題的能力．4．分層教學根據(jù)本班學生實際情況可在教學過程中選擇：基礎訓練——“小試牛刀”；提高訓練——“舉一反三”；拓展訓練——作業(yè)第2題．5．評價方式根據(jù)新課標的評價理念，在教學過程中應關注學生的參與程度，關注活動中所反映出的思維水平，關注對實際問題的理解水平，