不動點(diǎn)方法求數(shù)列通項(xiàng)

不動點(diǎn)方法求數(shù)列通項(xiàng)定義：對函數(shù)y=f(x)，若存在x滿足f(x)=x，那么稱x為函數(shù)的不動點(diǎn)0000下面介紹不同幾類的數(shù)列的通項(xiàng)求法。1．a(chǎn)=pa+q，(pH0,pH1)TOC\o"1-5"\h\zn+1 n設(shè)f(x)=px+q，將a=pa+q看做a=f(a)。計(jì)算f(x)=x可得不動點(diǎn)

n+1 n n+1 n,構(gòu)造b=an-q。將b代入a的表達(dá)式中可得,構(gòu)造b=an1—p nn n+1 n由此可得：b=由此可得：b=pn-lb，n1故a=pn-1a-naa+aa+b2.a=n，kc豐0丿且

n+1ca+dnH0可以通過上下同除一個(gè)常數(shù)使得行列式為1。設(shè)f(行列式為1。設(shè)f(x)=aX+bax+b可得b=Xn—1b，n1a—X■n 1=Xn—1—X2'aT、a—九1，所以，計(jì)算不動點(diǎn)可得方程 =x,對于方程cx2+(d-a)x-b=0。因cx+d cx+d此，對于不動點(diǎn)的結(jié)構(gòu)而言，有三種不同情況。情況一：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記作X,X。那么構(gòu)造b=^n—1，可得b=Xb。12 na—X n+1 nn2a+d+J(a+dA—4 a+d—J(a+d)2—4這里X= 或者X= ，到底取哪個(gè)值與b的構(gòu)造a+d-、：(a+d》—4 a+d(a+d)2—4a=X+(九一九)n 1 1 2情況二：方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根’記作九i巳a情況二：方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根’記作九i巳a—d2c此時(shí)a+d=2。a—1=那

1c==b+(n-l)c。11么構(gòu)造b= 。可得b=b+c。所以bTOC\o"1-5"\h\zna—X n+1 n nn11+(n—1)ca—X11= +(n—1+(n—1)ca—X11a—Xa—X n1 1n1 1 1

情況三：方程有兩個(gè)共軛虛根。當(dāng)共軛虛根時(shí)，數(shù)列往往顯示周期性。一般有如下規(guī)律。TOC\o"1-5"\h\z要么有a二a，要么有a二九a。這個(gè)問題還有待研究。nhTn nhT n3．以下要給出一系列多項(xiàng)式和有理函數(shù)迭代的數(shù)列的公式。a2例1.a=f+,a=a>0，求a的通項(xiàng)。nh1 2a1 nn解：設(shè)f(x)=，那么x=h—可得x=±2。構(gòu)造ba—2—~n a—2—~n ，可得b—b2。因ah2 nh1 nna—2此b=b2n-1。所以 n1 ah2n(a—2\2n-1(a—2?，所以a=2h4ja+2丿n(a+2”-(a—2?”-1o例2.a=a3+3a2+3a，a>0，求a的通項(xiàng)。nh1 nnn1 n解：作函數(shù)f(x)=x3+3x2+3x，求不動點(diǎn)x=f(x)可得x3+3x2+2x=0，x=0,x=—1,x=—2。顯然構(gòu)造b=a一0不改變原來遞推形式。嘗試b=a—(一1),或1 2 3 nn nn者b=a—(—2)發(fā)現(xiàn)b=a—(—1)可以求出b=b3，因此b=(b)3n—1。故nn nn nh1n n1a+1=(a+1)3n—1，即a=(a+1)3n—1—1。nn對于有理函數(shù)和多項(xiàng)式迭代什么時(shí)候可以用不動點(diǎn)方式寫出通向公式?？梢詮囊韵露ɡ碇械贸鼋Y(jié)論。定義：設(shè)R為有理函數(shù)，degR>2 ，zgC，稱序列0fz=R0(z),z1=R(z),???,z=Rn(z),???}為R在點(diǎn)z的軌道，記作O(z)。0 0 0 n 0 0 R0定義zgC的大軌道GO(z)=fz0 R0 R R0一個(gè)點(diǎn)agC稱為例外點(diǎn)，如果它的大軌道是有限點(diǎn)集，記例外集為E(R)。定理1：E(R)至多由兩個(gè)點(diǎn)組成。定理2:：若E(R)非空，當(dāng)E(R)={a,b},則有理函數(shù)可以共軛形如zTcz±d。所以，前面的有理函數(shù)迭代a=an+2，其中不動點(diǎn)x=2,x=—2恰好是例外點(diǎn)。因nh1 2a 1 2

為若函數(shù)fn(%)二2,則有fn-1(x)二2，由此可知，只有2在這個(gè)大軌道中。故可以通過設(shè)a-2b一得到b=b2。下面我們來說明，對于耐克函數(shù)迭代，可以通過移動不動點(diǎn)方na+2 n+1nn法的情況這是唯一種。證明方法主要是通過計(jì)算例外點(diǎn)的方法來實(shí)現(xiàn)。設(shè)f(x)=X蘭+3(x>1)，設(shè)x#上，所以，設(shè)f(x)=XTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x Xx X-1 X-1 X-1只能有丁+—=￡X(1-x)方程的解只能為土 代入方程可得Xx=1 v'X-1Xx￥ JX-1

x=X^X—。由此可知，x2Xx=1 v'X-12 2 X-1 .X-1X ( xX7X-1=x1，故X=2。當(dāng)XoX-1=-，x1，故X=-2。由此可知如果利用耐a2克函數(shù)構(gòu)造數(shù)列迭代，只有a=丁+才能化解成b=b2。故我們得到命題。n+12a n+1nnxX命題：對于f(x)=x+_(X>