專題14.9整式的乘法與因式分解章末八大題型總結（拔尖篇）（人教版）

專題14.9整式的乘法與因式分解章末八大題型總結（拔尖篇）【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1巧用冪的運算逆向運算】 1【題型2整式乘法中不含某項問題】 4【題型3多項式乘法中的規(guī)律性問題】 6【題型4巧用乘法公式求值】 9【題型5乘法公式的幾何背景】 12【題型6利用因式分解探究三角形形狀】 20【題型7利用拆項或添項進行因式分解】 24【題型8因式分解的應用】 29【題型1巧用冪的運算逆向運算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，（1）2c?b=（2）a，b，c之間滿足的等式關系為．【答案】2a+c=2b【分析】（1）逆用同底數冪除法法則計算即可；（2）利用冪的乘方的法則及同底數冪的乘法的法則對式子進行整理即可．【詳解】解：（1）∵2b=6，∴2c?b故答案為：2；（2）∵2a×2c=∴2a+c∴a+c=2b,故答案為：a+c=2b．【點睛】本題主要考查了積的乘方與冪的乘方，熟練掌握積的乘方與冪的乘方運算法則進行求解是解決本題的關鍵．【變式11】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）已知常數a，b滿足2a×22b=8【答案】2【分析】直接利用同底數冪的乘除運算法則將原式變形進而得出答案．【詳解】解：∵2a∴2a+2b∴a+2b=3，∵(5a∴52a+4b?3ab∴2a+4b?3ab=0，∴2a+2b∴2×3?3ab=0，解得：ab=2．【點睛】本題考查同底數冪的乘除運算，正確將原式變形是解題關鍵．【變式12】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值為（2）若x3n+1?y3n+1=64【答案】368【分析】1利用冪的乘方與積的乘方的法則進行計算，即可得出結果；2利用冪的乘方與積的乘方的法則進行計算，即可得出結果．【詳解】解：(1)∵xn=2∴(xy)=x=(x=2=4×9=36，故答案為：36；(2)∵x∴x∴(x∵xn=2∴2∴xy=8故答案為：827【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關鍵．【變式13】（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）愛動腦筋的小明在學習《冪的運算》時發(fā)現(xiàn)：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整數），則m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數冪的乘法的法則對式子進行整理，從而可求解；（2）利用同底數冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對式子進行整理，即可求解．【詳解】（1）因為2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因為3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．【點睛】本題主要考查冪的乘方，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．【題型2整式乘法中不含某項問題】【例2】（2023春·四川巴中·八年級四川省巴中中學校考期中）若(x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【答案】9．【分析】根據展開式中不含x2和x3項，即x2【詳解】解：(x=x4=x4根據展開式中不含x2和xn?3=0m?3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案為：9．【點睛】本題考查整式乘法和二元一次方程組，解題關鍵是根據多項式中不含某一項時，這一項的系數為0列方程組．【變式21】（2023秋·甘肅武威·八年級校考期末）老師在黑板上布置了一道題：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展開了下面的討論：小亮：只知道x的值，沒有告訴y的值，這道題不能做；小新：這道題與y的值無關，可以求解；根據上述說法，你認為誰說的正確？為什么？【答案】小新的說法正確，原因見解析【分析】根據平方差公式，多項式乘以多項式，單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡即可得到答案．【詳解】解：2x?y=4x=?4x∴這道題與y的值無關，可以求解，∴小新的說法正確．【點睛】本題主要考查了平方差公式，多項式乘以多項式，多項式乘以單項式，熟知整式的相關計算法則是解題的關鍵，注意去括號的時候的符號問題．【變式22】（2023秋·河南周口·八年級校考期末）已知x2+mx?32x+n的展開式中不含x的一次項，常數項是－6，則mn【答案】6【分析】根據多項式乘多項式運算法則進行化簡，然后令含x的一次項的系數為零以及常數項為?6即可求出答案．【詳解】解：x=2=2x∵x2+mx?32x+n∴mn?6=0?3n=?6∴mn=6．故答案為：6．【點睛】本題考查多項式乘多項式，解題的關鍵是熟練運用多項式乘多項式的運算法則，本題屬于基礎題型．【變式23】（2023秋·福建泉州·八年級福建省泉州市培元中學?？计谥校┮阎P于x、y的代數式2x+5y32x?5y3?mx?3【答案】m=2，n=?12或m=?2，n=12．【分析】先對原式進行化簡，然后根據代數式的值與x的取值無關令含x的項的系數為0，分情況求出m、n的值即可．【詳解】解：原式=4=4=4?∵代數式2x+5y32x?5∴4?m2=0∴m=±2，當m=2時，由6m+n=0可得12+n=0，解得：n=?12，當m=?2時，由6m+n=0可得?12+n=0，解得：n=12，∴m=2，n=?12或m=?2，n=12．【點睛】本題考查了整式的混合運算，求一個數的平方根，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．【題型3多項式乘法中的規(guī)律性問題】【例3】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┫铝袌D像都是由相同大小的星星按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有4顆星星，第②個圖形中一共有11顆星星，第③個圖形中一共有21顆星星，……按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中星星的顆數為．

【答案】144【分析】根據題意將每個圖形都看作兩部分，一部分是上面的構成規(guī)則的矩形，另一部分是構成下面的近似金字塔的形狀，然后根據遞增關系即可得到答案．【詳解】第①個圖形中星星的顆數4=2+1×2；第②個圖形中星星的顆數11=2+3+2×3；第③個圖形中星星的顆數21=2+3+4+3×4；第④個圖形中星星的顆數34=2+3+4+5+4×5；……∴第n個圖形中星星的顆數=2+3+4+5+?+n+=2+n+1=3∴當n=9時，32∴第⑨個圖形中的星星顆數為144顆，故答案為：144【點睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，正確地得到每個圖形中小星星的數字變化情況是解題的關鍵．【變式31】（2023春·重慶·八年級校考期中）我國古代數學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數等等．（1）根據上面的規(guī)律，則（a+b）5的展開式＝．（2）a+bn（3）利用上面的規(guī)律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）運用：若今天是星期二，經過8100天后是星期．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2【分析】（1）根據得出的系數規(guī)律，將原式展開即可；（2）直接根據得出的規(guī)律即可求解；（3）利用規(guī)律計算原式即可得到結果；（4）由8100=7+1【詳解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵a+bn∴a+bn的展開式共有n+1項，從規(guī)律可發(fā)現(xiàn)系數和為2（3）令（1）中a=2，b=1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（21）5=1；（4）8100=根據規(guī)律可知，7+1100∴若今天是星期二，經過8100天后是星期三．【點睛】此題考查了完全平方公式，找出題中的規(guī)律是解本題的關鍵．【變式32】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學?？奸_學考試）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數應是．

【答案】2【分析】圖（1）中只有一層，有4×0+1一個正方體，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎上增加了一層，第二層有4×1+1個．圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎長增加了一層，第三層有4×2+1，依此類推出第n層正方體的個數，即可推出當有n層時總的正方體個數．【詳解】解：經分析，可知：第一層的正方體個數為4×0+1，第二層的正方體個數為4×1+1，第三層的正方體個數為4×2+1，……第n層的個數為：4n?1第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數為：1+=n+4=n+4×=n+2n=2n故答案為：2【點睛】本題解題關鍵是根據圖形的變換總結規(guī)律，由圖形變換得規(guī)律：每次都比上一次增加一層，增加第n層時小正方體共增加了4n?1+1個，將【變式33】（2023春·北京昌平·八年級北京市昌平區(qū)第二中學?？计谥校╅喿x以下材料：(x?1)(x+1)=x(x?1)x(x?1)（1）根據以上規(guī)律，(x?1)xn?1+（2）利用（1）的結論，求1+5+5【答案】（1）xn?1【分析】（1）仔細觀察上式就可以發(fā)現(xiàn)得數中x的指數是式子中x的最高指數減1，根據此規(guī)律就可求出本題.（2）不難看出所求式子是材料中等號左邊式子的一個因式，將所求式子轉化成(x?1)x【詳解】（1）(x?1)xn?1+所以(x?1)xn?1+（2）1+5+=14（51）（1+5+=5【點睛】仔細觀察式子，總結出運算規(guī)律，是解決此類題的關鍵.【題型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期中）使用整式乘法法則與公式可以使計算簡便，請利用法則或公式計算下列各題(1)已知a+1a=5(2)計算：2?2(3)設a，b，c，d都是正整數，并且a5=b4，c3【答案】(1)a(2)6(3)d?b=757【分析】（1）利用完全平方公式變形計算即可；（2）將原式變形為220（3）根據已知條件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根據c?a=19，得出dc+b2a2dc?b2a2=19，根據a，b，【詳解】（1）解：∵a+1∴a2（2）解：2?======???==4+2=6．（3）解：∵a5∴a=b∵c3∴c=d∵c?a=19，∴dc即dc∵a，b，c，d都是正整數，又∵a=b4a∴b2a2∴dc∵dc∴dc∵dc∴dc+b∴dc∴dc即d=10c，∵dc∴b2即b2∵a，b，c，d都是正整數，∴b=3a，∵d=10c，b=3a，a5=b∴c3解得：c=100，則d=10c=1000，∵c?a=19，∴a=c?19=100?19=81，∴b=3a=243，∴d?b=1000?243=757．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變形應用，數字規(guī)律計算，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，準確計算．【變式41】（2023春·四川內江·八年級四川省內江市第六中學?？奸_學考試）已知x滿足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是．【答案】4【分析】根據題意原式可化為[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再應用完全平方公式可化為（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，應用整體思想合并同類項，即可得出答案．【詳解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解題的關鍵．【變式42】（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎簒2+xy=10，y2+xy=6，x?y=?1，則：（1）x+y=．（2）求x，【答案】?4x=?52【分析】由x2+xy?y2+xy可得x+yx?y=4，再根據x?y=?1，可得【詳解】解：∵x2+xy=10，∴x2+xy?∴x+yx?y∵x?y=?1，∴x+y=?4，可得x+y=?4x?y=?1，解得：即：x，y的值分別為x=?52，故答案為：?4；x=?52，【點睛】本題考查平方差公式及其變形，由x2+xy?【變式43】（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）已知a?ba+b=(1)2?12+1(2)求2+12(3)求23+1【答案】(1)15(2)232－1(3)0【分析】（1）根據平方差公式求出即可；（2）添加上(2?1)，重復根據平方差公式依次求出，即可得出答案；（3）根據（2）的規(guī)律，多次利用平方差公式即可得出答案．【詳解】（1）解：(2?1)(2+1)(2故答案為：15；（2）(2+1)(=(2?1)(2+1)(=(=(=(=(=2（3）2(3+1)(=(3?1)(3+1)(=(=(=(=(=(=3∵31=3，32=9，33=27可知3n的個位數呈3、9、7、1...64÷4=16，∴3∴3即2(3+1)(3【點睛】本題考查了平方差公式的應用，解此題的關鍵是重復運用平方差公式，根據結果得出規(guī)律，題目比較好，有一定的難度．【題型5乘法公式的幾何背景】【例5】（2023秋·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實驗中學校考開學考試）【知識生成】【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到a+b2【直接應用】（1）若x+y=3，x2+y【類比應用】（2）填空：①若x3?x=1，則x②若x?3x?4=1，則x?3【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【答案】（1）xy=2；（2）①7；②3；（3）30．【分析】（1）根據完全平方公式的變形可得答案；（2）①設x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，由x2②設x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1，a?b=1（3）設AO=p，DO=q，由題意可得，p+q=16，p2+q2=136【詳解】解：（1）∵x+y=3，∴x+y2∴x2∵x2∴xy=9?5答：xy=2；（2）①設x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，∴==9?2=7，故答案為：7；②設x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1∴=1+2=3，故答案為：3；（3）設AO=p，DO=q，∵AD=16，S△AOC∴p+q=16，12即p+q=16，p2∴2pq==16即pq=60，∴S答：一塊直角三角板的面積為30．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項式乘多項式，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提，掌握完全平方公式的變形是正確解答的關鍵．【變式51】（2023春·全國·八年級期末）工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積＝a2+6a；②拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根據面積差可得結論；②根據圖形可以直接得結論；（2）分別計算S2和S1的值，相減可得結論．【詳解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的長方形的寬是：a+3﹣3=a，∴長為a+6，則拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）設AB=x，則BC=x+3，∴圖1中陰影部分的面積為S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），圖2中陰影部分的面積為S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案為9．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，此類題目根據圖形的面積列出等式是解題的關鍵．【變式52】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校敌谓Y合是數學學習中經常使用的數學方法之一，在研究代數間刻時，我們通過構造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導出公式．以下三個構圖都可以用幾何方法生成代數結論，請解決以下問題．構圖一：（1）如圖1是一張邊長為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個大長方形（陰影部分）．那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證下列選項中的公式（填選項即可）；

A．a2?2ab+b2（2）應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①若x2?9y2=12,x+3y=4②計算：20192?2020×2018=構圖二：如圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個邊長為1的小長方體后重新拼成一個新長方體．請你根據圖中兩個圖形的變化關系，寫出一個代數恒等式：．

構圖三：某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民的生活質量，要建造一個八邊形的居民廣場，如圖4，其中正方形MNPQ與四個相同的長方形（圖中陰影部分）的面積的和為a(a+4b)，正方形MNPQ的邊長為a，則八邊形ABCDEFGH的面積為．

【答案】構圖一：（1）B；（2）①3；②1；構圖二：x3?x=x(x?1)(x+1)【分析】構圖一：（1）根據圖1和圖2中陰影部分的面積不變，數形結合列出代數式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式變形，再整體代入求解；構圖二：根據體積不變求解；構圖三：先求出小長方形的短邊，再求解．【詳解】解：構圖一：（1）圖1中陰影部分的面積為：a2?b2，圖2中陰影部分的面積為：故選：B；（2）①∵x2?9∴x?3y=3，故答案為：3；②20192故答案為：1；構圖二：根據體積不變得x3構圖三：由題意知小長方形的短邊為b，∴八邊形ABCDEFGH的面積為a(a+4b)+2b故答案為：a2【點睛】本題考查了根據幾何圖形列代數式，平方差公式的幾何背景，數形結合，掌握列代數式準確表示題中幾何圖形關系是解題的關鍵．【變式53】（2023春·浙江·八年級期中）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數學等式．例如：由圖1可得到a+b(1)寫出由圖2所表示的數學等式：________________________．(2)根據上面的等式，如果將a?b看成a+?b，直接寫出n?1n+12(3)已知實數a、b、c，滿足以下兩個條件：a2+b2+【答案】(1)a+b+c(2)n?1n+1(3)2或6．【分析】（1）把大正方形面積和小矩形面積之和表示出來，根據大正方形面積也等于各個小矩形面積之和寫出相應關系式；（2）根據提示可得n?1n+12=（3）運用換元法，簡化計算，有助于快速解出題目．【詳解】（1）大正方形面積＝a+b+c2，大正方形面積也等于各個小矩形面積之和即：a∴a+b+c2故答案為：a+b+c2（2）根據（1）中公式，n?=n2由題意得：n?1∵n2∴n?1∴n?1∴n?1∴n?1（3）∵a2∴a+12令A＝a＋1，B＝b?2，C＝c＋3，可得A2∴a＝A?1，b＝B＋2，c＝C?3，∴a＋b?c＝A?1＋B＋2?（C?3）＝A＋B?C＋4，（a＋1）（c＋3）＋（b?2）（c＋3）＝（a＋1）（b?2）變形得，A?C＋∴A+B?C2＝A∴A＋B?C＝?2或2，∴a＋b?c＝A＋B?C＋4＝2或6．【點睛】本題考查了靈活運用完全平方式，以及運算能力，轉換變形是本題得關鍵．【題型6利用因式分解探究三角形形狀】【例6】（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┮阎篴、b、c為△ABC的三邊長，且a2【答案】△ABC為等腰三角形，理由見解析；【分析】先把前面兩項展開得到a2ba2c+b2cab2+c2（ab）=0，再分組分解，得到公因式（ab），則ab（ab）c（ab）（a+b）+c2（ab）=0，所以把等式左邊分解得到（ab）（abacbc+c2）=0，接著在把中括號內分組分解得到（ab）（bc）（ac）=0，然后根據有理數積的性質得到ab=0或bc=0或ac=0，于是根據等腰三角形的判定方法進行判斷．【詳解】△ABC為等腰三角形，理由如下：∵a2(b?c)+

b2(c?a)+c2(a?b)=0，∴a2b?a2c+b2c?ab2+c2(a?b)=0，∴ab(a?b)?c(a2?b2)+c2(a?b)=0，∴ab(a?b)?c(a?b)(a+b)+c2(a?b)=0，∴(a?b)(ab?ac?bc+c2)=0，∴(a?b)[a(b?c)?c(b?c)]=0，∴(a?b)(b?c)(a?c)=0，∴a?b=0或b?c=0或a?c=0，∴△ABC為等腰三角形.【點睛】此題考查因式分解的應用，解題關鍵在于掌握運算法則.【變式61】（2023·重慶·八年級統(tǒng)考期中）已知x，y，z是△ABC的三邊，且滿足2xy+x2＝2yz+z2，則△ABC的形狀是．【答案】等腰三角形【分析】首先把2xy+x2=2yz+z2變形為（xz）（x+z+2y）=0，由題意得出x+z+2y≠0，xz=0，得出x=z，即可得出結論．【詳解】∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三邊，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案為等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用、等腰三角形的判定；熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【變式62】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如a2?4ab+4b請解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2?b【答案】(1)(a?2b)(a+2b+2)(2)△ABC是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據題干中的方法進行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出a=c，即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）a=(a+2b)(a?2b)+2(a?2b)=(a?2b)(a+2b+2)；（2）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a∴(a+b)(a?b)+c(a?b)=(a?b)(a+b+c)=0，∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+b+c≠0，∴a?b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關鍵．【變式63】（2023春·湖南懷化·八年級溆浦縣第一中學校考期中）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b例如：分解因式．原式=x例如：求代數式2x原式=2x2+4x?6=2x2+2x?3=2(1)用配方法分解因式：a(2)已知a、b、c是△ABC的三條邊長．若a、b、c滿足a2+1(3)當m，n為何值時，多項式2m【答案】(1)(a+4)(a?2)(2)等邊三角形，見解析(3)當m=2，n=1時，有最小值，最小值是11【分析】（1）模仿例題，將a2+2a?8變?yōu)椋?）先移項，再配方，利用非負數的性質求解a、b、c即可解答；（3）先進行配方，再根據非負數的性質求解即可．【詳解】（1）解：a===a+4（2）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a2∴a2則a2∴(a?3)2∴a=b=c=3，即△ABC是等邊三角形．（3）解：2=m?2n∴當m=2，n=1時，2m【點睛】本題主要考查因式分解、完全平方公式的應用、平方式的非負數，熟練掌握完全平方公式的靈活運用，利用類比的方法求解是解答的關鍵．【題型7利用拆項或添項進行因式分解】【例7】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學?？计谥校┪覀円呀泴W過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項法：例如：x2(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x②（拆項法）x2(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】(1)①2x+y+12x?y+1；②(2)7【分析】（1）①將原式化為4x2+4x+1（2）先利用完全平方公式對等式a2+b2+c2【詳解】（1）解：①4===2x+y+1②x====x?4（2）解：∵a∴a∴a?2∵a?2∴a?2=0，∴a=2，∴a+b+c=2+2+3=7，故△ABC的周長為：7．【點睛】本題考查了因式分解的方法，運用完全平方公式進行計算，本題主要包括分組分解法、運用平方差公式進行分解、運用完全平方公式進行分解，解題的關鍵是理解分組分解法、拆項法的實質．【變式71】（2023秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：對于二次三項式x2+2ax+a2，能直接用公式法進行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．請用上述方法將下列各式進行因式分解．(1)x2(2)a4【答案】(1)x+3a(2)a【分析】（1）將式子x2+2ax?3a2，添項（2）將式子a4+4，添項4a【詳解】（1）解：x=x2=x+a2=x+a+2ax+a?2a（2）解：a=a4+4a2【點睛】本題是因式分解及因式分解的應用，除了一般因式分解的方法以外，還可以利用添（拆）項法把一此復雜的式子進行因式分解；同時可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．【變式72】（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務教育數學課程標準（2023年版》關于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力，因此，我們面對沒有學過的數學題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于已學過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式x3解：添加兩項?x原式====請你結合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：x2(2)分解因式x3(3)分解因式：x4【答案】(1)x?1(2)x?1(3)x?2【分析】（1）根據例題用拆項補項法分解因；（2）根據例題用拆項補項法分解因；（3）根據例題用拆項補項法分解因；【詳解】（1）解：x==x=x?1（2）x======（3）x======【點睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項是解題的關鍵．【變式73】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谥校τ谛稳鐇2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?3a2x2＝x+a＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a②a4(2)若a+b＝5，ab＝6，求：①a2②a4【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②((2)①13②97【分析】（1）根據題目中的例子，可以對題目中的式子分解因式；（2）根據完全平方公式把原式變形，代入計算即可；【詳解】（1）解：利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6＝(a?3)2＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）＝（a+1）（a﹣7）；②a＝a＝(＝(a（2）解：①a2將a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝52②a將a2+b原式＝13＝97．【點睛】本題考查了配方法，因式分解和完全平方公式的變形求值，掌握完全平方公式是解題的關鍵．【題型8因式分解的應用】【例8】（2023秋·重慶渝中·八年級重慶市求精中學校?？奸_學考試）對于一個四位自然數N，其千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，各個數位上的數字均不相同且均不為0，將自然數N的千位數字和個位數字組成一個兩位數ad，記為A；百位數字和十位數字組成另一個兩位數字bc，記為B，若A與B的和等于N的千位數字與百位數字之和的11倍，則稱N為“坎數”．例如：6345，A=65，B=34，65+34=99，116+3=99，所以6345是“坎數”．若N1為“坎數”，且A+B=99，則N1最大為；若N2為“坎數”，且a>b，當a+b【答案】81728154【分析】根據“坎數”的定義可以得到10a+d+10b+c=11a+b，可得出a+b=c+d，根據當a+bc?d為9的倍數，且a、b、c、d都是小于10的自然數，所以可知c=54d，則可知c=5，d=4，故a+b=9【詳解】解：∵A+B=99，N1∵千位數字為8，個數位上的數字1，百位數字為7，十位數字為2，∴N1最大為8172根據“坎數”的定義可以得到10a+d+10b+c=11a+b∴a+b=c+d，∴a+bc?d為9的倍數，且a、b、c、d都是小于10的自然數，a>ba+bc?d=9，即∴c=5∴c=5，d=4，∴a+b=c+d=9，當a=8時，N有最大值，∴b=9?8=1，∴N的最大值為8154，【點睛】本題考查了因式分解的應用，通過給出的“坎數”的定義求出對應的各個數位的數字的關系，通過給出的式子，求出對應的數字的結果，從而求出最后的解．【變式81】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考請仔細閱讀并完成相應任務．生活中我們經常用到密碼，例如用支付寶或微信支付時．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：x3+2x2?x?2可以因式分解為x?1x+1x+2，當x=29任務：(1)根據上述方法，當x=15，y=5時，對于多項式x3(2)已知一個直角三角形的周長是24，斜邊長為11，其中兩條直角邊分別為x，y，求出一個由多項式x3【答案】(1)可得數字密碼是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015(2)24121（或12124）【分析】（1）先將x3?xy2進行因式分解，再根據題意代入（2）根據勾股定理和三角形周長公式得x+y=13????x2+y2=121，解得xy=24【詳解】（1）解：x3當x=15，y=5時，x?y=10，x+y=20，可得數字密碼是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．（2）由題意得：x+y=13????x2而x3所以可得數字密碼為24121（或12124）．【點睛】本題考查因式分解和因式分解的應用，解題的關鍵是掌握因式分解的方法以及題目中數字密碼的計算方法．【變式82】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖