平面向量的數量積

平面向量的數量積一．課標要求平面向量的數量積①通過物理中"功"等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義；②體會平面向量的數量積與向量投影的關系；③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。二．命題走向本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察平面向量的數量積的概念及應用。重點體會向量為代數幾何的結合體，此類題難度不大，分值5~10分。平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主.三．要點精講1．向量的數量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量與，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角；說明：（1）當θ＝０時，與同向；（2）當θ＝π時，與反向；（3）當θ＝時，與垂直，記⊥；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0≤≤180。（2）數量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數（或內積）。規(guī)定；向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。（3）數量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積.（4）向量數量積的性質①②或③④（5）平面向量數量積的運算律交換律成立：；對實數的結合律成立：；（6）兩個向量的數量積的坐標運算①已知兩個向量，則·=。②兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝0，③設，則或。A、B，那么(平面內兩點間的距離公式).④向量的夾角：cos==。四．典例解析例1．判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）若，則（3）若，則當且僅當成立；（4）對任意向量都成立；（5）對任意向量，有。解析：（1）錯；（2）錯；（3）錯；（4）錯；（5）對。例2：（1）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角。（2）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角余弦值。（3）||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為（） A．30° B．60° C．120° D．150°解析：（1）；（2）由題意，，且與的夾角為，，，，同理可得。而，設為與的夾角，則。（3）C；設所求兩向量的夾角為 即：所以點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應用應該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握.例3．（1）（2022廣東卷）已知向量與互相垂直，其中．求和的值；②若，求的值．解①∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴.②（2）已知，其中。①求證：與互相垂直；②若與（）的長度相等，求。解析：①因為所以與互相垂直。②，，