階段滾動(dòng)訓(xùn)練二(范圍：§2.1～§2.3)

階段滾動(dòng)訓(xùn)練二(范圍：§2.1～§2.3)一、選擇題1.在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是()考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案A2.(2018·遼寧沈陽(yáng)高一期末)已知兩條直線a，b，若a∥平面α，b∥a，則b與平面α的位置關(guān)系是()A.b?平面α B.b⊥平面α或b?平面αC.b∥平面α D.b∥平面α或b?平面α答案D3.已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定()A.與a，b都相交B.只能與a，b中的一條相交C.至少與a，b中的一條相交D.與a，b都平行考點(diǎn)空間直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定答案C解析由圖可知直線c至少與a，b中的一條直線相交.4.關(guān)于直線m，n與平面α，β，有下列四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號(hào)是()A.①②B.③④C.①④D.②③考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析①m，n可能異面、相交或平行，④m，n可能平行、異面或相交，所以①④錯(cuò)誤.5.點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，若AC＝BD，且AC與BD所成角的大小為90°，則四邊形EFGH是()A.菱形 B.梯形C.正方形 D.空間四邊形考點(diǎn)平行公理題點(diǎn)判斷、證明線線平行答案C解析由題意得EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G∥BD且FG＝eq\f(1,2)BD，∴EH∥FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又EF＝eq\f(1,2)AC，AC＝BD，∴EF＝EH，∴四邊形EFGH為菱形.又∵AC與BD所成角的大小為90°，∴EF⊥EH，即四邊形EFGH為正方形.6.如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°C.CA′與平面A′BD所成的角為30°D.四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案B解析因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因?yàn)镃D∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.7.在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝2BC，E是CD上一點(diǎn)，若AE⊥平面PBD，則eq\f(CE,ED)的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C.3D.4考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題答案C解析∵PD⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，∴PD⊥AE，當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE⊥平面PBD，此時(shí)△ABD∽△DAE，則eq\f(AB,AD)＝eq\f(AD,DE)，∵AB＝2BC，∴DE＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,4)DC，∴eq\f(CE,ED)＝3.故選C.8.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°考點(diǎn)線面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)直線與平面所成的角答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.二、填空題9.二面角α－l－β為60°，異面直線a，b分別垂直于α，β，則a與b所成角的大小是________.考點(diǎn)空間角題點(diǎn)空間角的綜合應(yīng)用答案60°解析過(guò)直線a上一點(diǎn)作b的平行線b′，則根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可知，a與b′的夾角為60°，所以a與b所成角的大小是60°.10.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，則異面直線A1C與B1C1所成的角為________.考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案60°解析因?yàn)閹缀误w是棱柱，BC∥B1C1，則異面直線A1C與B1C1所成的角就是直線A1C與BC所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，BA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AB2)＝eq\r(2)，則CA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(2)，所以△BCA1是正三角形，故異面直線所成角為60°.11.一個(gè)正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木塊的棱長(zhǎng)為a，則截面面積為________.考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與線面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算答案eq\f(a2,4)解析由于平面PDEF與VB和AC都平行，所以PF∥DE，PF＝eq\f(1,2)VB，PD∥EF，PD＝eq\f(1,2)AC，所以四邊形PDEF為平行四邊形.又四面體為正四面體，所以VB⊥AC，且VB＝AC，所以PF⊥EF，且PF＝FE，則四邊形PDEF是邊長(zhǎng)為eq\f(1,2)a的正方形，故其面積為eq\f(a2,4).三、解答題12.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥平面PCD.證明(1)取CD的中點(diǎn)E，連接NE，ME.∵E，M，N分別是CD，AB，PC的中點(diǎn)，∴NE∥PD，EM∥DA，NE∩EM＝E，PD∩DA＝D，∴平面NEM∥平面PDA，又MN?平面NEM，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝eq\r(PA2＋AM2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(BC2＋MB2)＝MC，N是PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.13.如圖，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問(wèn)題的證明證明(1)取AB的中點(diǎn)M，連接FM，MC.∵F，M分別是BE，BA的中點(diǎn)，∴FM∥EA，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC.∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF?平面EAB，∴CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中點(diǎn)，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，F(xiàn)D，BE?平面EDB，∴AF⊥平面EDB.14.如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為________.考點(diǎn)二面角題點(diǎn)知題作角答案eq\f(\r(2),3)解析在平面BC1內(nèi)延長(zhǎng)FE，CB，相交于點(diǎn)G，連接AG，過(guò)點(diǎn)B作BH垂直AG于點(diǎn)H，連接EH.∵BE⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，∴BE⊥AG.∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，∴AG⊥平面BEH，∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則BE＝eq\f(a,3)，CF＝eq\f(2,3)a，∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2，∴BG＝a，∴BH＝eq\f(\r(2),2)a，故tan∠BHE＝eq\f(BE,BH)＝eq\f(\f(a,3),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),3).15.已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到三棱錐A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問(wèn)題的證明證明(1)在等邊三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD