高等數(shù)學(xué)微積分第一章函數(shù)及其圖形

高等數(shù)學(xué)微積分第一章函數(shù)及其圖形第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第一章

函數(shù)及其圖形第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.1預(yù)備知識1.集合集合(簡稱集):集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。集合用A，B，M等表示。元素:組成集合的事物稱為集合的元素。a

是集合M的元素表示為aM。集合的表示:(P3)(1)列舉法A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)描述法

M={(x,y)|x，y為實(shí)數(shù)，x2+y2=1}。一、集合及其運(yùn)算第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日幾個數(shù)集:R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實(shí)數(shù)集。Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理集。Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集。N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，稱為自然數(shù)集。

子集:

(P3)若xA，則必有xB，則稱A是B

的子集，記為AB（讀作A包含于B）。

顯然，N

Z，Z

Q，Q

R。第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果A，B互相包含，即AB且BA，則稱A與B相等，記為A=B。（P4）可以認(rèn)為空集?是任意非空集合A的子集，即?A。集合的運(yùn)算：交、并、差。絕對值及其及其性質(zhì)，見書第五頁。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.區(qū)間:數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記為(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}稱為閉區(qū)間。xOab[a，b]第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}稱為半開區(qū)間。xOab[a，b)xOab(a，b]上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中a

和b

稱為區(qū)間的端點(diǎn)，b-a

稱為區(qū)間的長度。第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日以下區(qū)間稱為無限區(qū)間：[a,+)={x|ax}，xOa[a，+)(-,b]={x|xb}，xOb(-

，b](a,+)={x|ax}，axO(a，+)(-,b)={x|xb}，xOb(-

，b)(-,+)={x||x|<+}。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.鄰域:以點(diǎn)a

為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)

a

的鄰域，記作U(a)。

設(shè)>0，則稱區(qū)間(a-,a+)為點(diǎn)a

的鄰域，記作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中點(diǎn)a

稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑。xOa-da+d去心鄰域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+da第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日左（右）鄰域、M領(lǐng)域的概念見書中第七頁。第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.函數(shù)概念的引入圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0,+)內(nèi)的任意值。由落體下落距離的計算公式為s=-

gt2，t可取[0,T]內(nèi)的任意值。12§1.2函數(shù)第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.函數(shù)的定義設(shè)x

和y

是兩個變量，D

是一個給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)xD，變量y

按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y

是x

的函數(shù)，記作y=f(x)。

定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。函數(shù)符號:函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f也可改用其它字母，例如j、F等。此時函數(shù)就記作y=j(x)，y=F(x)。第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日值域：W={y|y=f(x)，xD}。定義域：

在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。函數(shù)值：當(dāng)x取數(shù)值x0D時，與x0對應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記為f(x0)。確定一個函數(shù)有二個要素：定義域和對應(yīng)的規(guī)則。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日求函數(shù)的定義域舉例：解:要使函數(shù)有意義，必須x0，且x2-430。解不等式得|x|32。

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

D={x||x|32}，或D=(-￥,-2][2,+￥)。第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.函數(shù)的圖形在坐標(biāo)系xOy內(nèi)，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所對應(yīng)的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。O

yxC(x,y)xyWDy=f(x)第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值問題只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。以后凡是沒有特別說明時，函數(shù)都是指單值函數(shù)。3.函數(shù)舉例

例1.在直角坐標(biāo)系中，由方程x2+y2=r2確定了一個函數(shù)。對于任意x(-r,r)，對應(yīng)的函數(shù)值有兩個：

22xry--=及y=22xr-。第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)。

函數(shù)的值域?yàn)閃=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0

y=|x|=稱為絕對值函數(shù)。例2.函數(shù)第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)。

函數(shù)的值域?yàn)閃={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,當(dāng)x>00,當(dāng)x=0-1,當(dāng)x<0例3.函數(shù)y

=sgnx

=

稱為符號函數(shù)。

第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.函數(shù)表示法

圖像法、表格法、解析法（詳見P14）

分段函數(shù)的三個注意點(diǎn)（P14）第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的定義域?yàn)镈=[0,1](1,+)=[0,+)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)可以作四則運(yùn)算，見書中P16。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.3函數(shù)的幾種基本特性圖形特點(diǎn)：

y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義。如果存在數(shù)K1，使對任一xX，有f(x)K1，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而稱K1為函數(shù)

f(x)在X上的一個上界。第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果存在數(shù)K2，使對任一xX，有f(x)K2，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。圖形特點(diǎn)：函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方y(tǒng)=K2y=f(x)Oxy第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日有界函數(shù)的圖形特點(diǎn)：函數(shù)y=

f(x)的圖形在直線y=

-M和y=

M的之間。如果存在數(shù)M，使對任一xX，有|f(x)|M，則稱函數(shù)f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在X上是無界函數(shù)，就是說對任何M，總存在x1X，使|f(x)|>M。Oxyy=f(x)y=-My=M第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的有界性舉例：（P19）

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

即|sinx|1。

見P19頁例1-11yxO-2p-pp2py=sinx第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.函數(shù)的單調(diào)性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)設(shè)函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。f(x1)>f(x2)，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。3.函數(shù)的奇偶性O(shè)xy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日奇偶函數(shù)舉例：

y=x3，

y=sinx都是奇函數(shù)。例2、3（P21）101x-22y如果對于任意的xD，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈。如果存在一個不為零的數(shù)l，使得對于任一xD有(xl)D，且f(x+l)=

f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，l

稱為f(x)的周期。最小的正周期T，T=min{l|

f(x+l)=

f(x)}且T>0?？赡懿淮嬖赥，見書例4（P23）。周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)：

yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函數(shù)的周期性第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.4反函數(shù)對于任一數(shù)值yW，D上至少可以確定一個數(shù)值x與y

對應(yīng)，這個數(shù)值x適合關(guān)系f(x)=y。如果把y看作自變量，x看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=j(y)。1.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1,y0)(x2,y0)W第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的。什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日Oxy-xxy=x2y

y=x2的反函數(shù)是多值函數(shù)：x=

。把x限制在區(qū)間[0,)，則y=x2的反函數(shù)是單值的，即x=。它稱為函數(shù)y=x2的反函數(shù)的一個單值分支。反函數(shù)的單值分支：另一個單值分支為x=-

。書中例2、例3（P26）第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日在數(shù)學(xué)中，習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用y

表示。按此習(xí)慣，我們把函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=j(y)改寫成y=

f-1(x)。例如y=x2的反函數(shù)寫為y=。反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于反函數(shù)的變量符號：第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日D1D2u=j(x)y

=f(u)y

=f[j(x)]復(fù)合函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y

=f(u)的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u=j(x)在數(shù)集D2上有定義，如果{u|u=j(x)，xD2}D1則對于任一xD2，通過變量u能確定一個變量y的值，這樣就得到了一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù)y

=f(u)和u=j(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為y

=f[j(x)]

，其中定義域?yàn)镈2，u稱為中間變量．§1.5復(fù)合函數(shù)第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日復(fù)合而成的．其中u，v

都是中間變量．函數(shù)y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函數(shù)y=，u=cotv，v=經(jīng)復(fù)合可得函數(shù)問：函數(shù)y=arcsinu與u=2+x2能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)嗎？兩個函數(shù)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件，見書中P29。P29-31，例題1-8。y=

例

函數(shù)y=arctan(x)2可看作是由y=arctanx和u=x2復(fù)合而成的．第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日§1.6初等函數(shù)1.冪函數(shù)(見書中P33頁，增加一種常數(shù)函數(shù)）函數(shù)y=xm（m是常數(shù)）叫做冪函數(shù)．冪函數(shù)的定義域：與常數(shù)m有關(guān)，但函數(shù)在（0，+）內(nèi)總有定義．最常見的冪函數(shù)：xyO11y=x2y=xy

=xxyO11y=x-1y=x3第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日1a>1

y=()x1ay=axxyO2．指數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax(a是常數(shù)，且a>0，a1)叫做指數(shù)函數(shù)．指數(shù)函數(shù)的定義域：D=（-，+）．單調(diào)性：若a>1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)增加；若0<a<1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)減少．第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日1a>1y=axxyOy=logax3．對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為y=logax(a>0，a1)．對數(shù)函數(shù)的定義域是區(qū)間(0，+)．單調(diào)性：若a>1，則logax單調(diào)增加；若0<a<1，則logax單調(diào)減少．性質(zhì)見書P34