高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日一、函數(shù)單調(diào)性的判別法

二、曲線的凹凸與拐點

主要內(nèi)容：第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日ooabab從導(dǎo)數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理1嚴(yán)格單調(diào)第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴(yán)格單調(diào)性.例如,注意:(1)定理條件中的閉區(qū)間換成一般區(qū)間，定理的結(jié)論仍然成立；第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì),要用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定,而不能用令得把分成兩個區(qū)間第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點.

說明:第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．求出導(dǎo)函數(shù)的零點、和導(dǎo)數(shù)不存在的點(不可導(dǎo)點)3．以導(dǎo)數(shù)等于零的點、不可導(dǎo)點為分點，并確定導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)在每個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)解5/21第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日例4證注

利用導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí).

證明時,成立不等式證:

令從而因此且第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日二、曲線的凹凸與拐點第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日圖形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下方。問題:

如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的彎曲方向?第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日定義1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的

.第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日18曲線凹凸的判定定理2第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：只須證：記作

只須證：第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：分別在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理得這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞減.第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日21例5

判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日22例6解注意到,第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日定義2

若連續(xù)曲線在其上一點的兩側(cè)凹凸性相反，則稱此點為曲線的拐點.xyoy=f(x)注：拐點是凹弧與凸弧的分界點第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日證第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日注意:例如,例如,yxoyxo第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2．求出二階導(dǎo)函數(shù)的零點、和不存在的點3．檢查這些點左右兩側(cè)符號，從而判定曲線的凹凸性注意判斷曲線的凹凸性和拐點的步驟：第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日例7.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)

求拐點可疑點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例8

討論的凹凸性及拐點.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐點凹非拐點凹第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的（即），則有(2)若曲線的圖形是凸的（即），則有注：利用凹凸性也可以證明一些不等式。第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日例9解第三十頁，共三十二頁，2022年，8月28日31例10第三十