高等數學函數極限連續(xù)

高等數學函數極限連續(xù)第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日一、集合及其運算（自己復習）二、實數的完備性和確界存在定理

（去掉，可以不看）實數集R和實數軸上的所有點一一對應第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y

的映射,記作y

稱為x

在映射

f下的像,記作x稱為y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注:

元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.1、定義4.三、映射和函數第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義域定義5.設數集則稱映射為定義在D

上的函數,記為稱為值域.自變量因變量第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日

定義域使表達式或實際問題有意義的自變量集合.對實際問題,書寫函數時必須寫出定義域；

基本初等函數：常數,冪函數,指數函數,對數函數,

三角函數，反三角函數.非基本初等函數：分段函數等.1、狄利克雷函數例如：x

為有理數x為無理數第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日3、符號函數2、取整函數當第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日2.函數的幾種特性(1)有界性

(2)單調性

(3)奇偶性(4)周期性注:

周期函數不一定存在最小正周期.例如,

常量函數第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日則設有函數鏈稱為由①,②確定的復合函數

,①②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數的條件不可少.例如,

函數鏈:可定義復合函數3.復合函數約定:為簡單計,書寫復合函數時不一定寫出其定義域,

默認對應的函數鏈順次滿足構成復合函數的條件.第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日若函數為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數記成稱此映射為f

的反函數.其反函數(減),(減).1)（反函數存在定理）y＝f(x)嚴格單調遞增且也嚴格單調遞增性質:使其中4.反函數第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日2)函數與其反函數的圖形關于直線對稱.第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日常數及基本初等函數的函數,經過有限次四則運算和復合運算所構成稱為初等函數.

5.初等函數第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日1.集合及其運算3.函數及其特性有界性,單調性,奇偶性,周期性,反函數,復合函數.4.初等函數.2.實數的完備性和確界存在定理第二節(jié)內容小結第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日如果按照某一法則,對每一對應著一個確定的實數則得到一個序列這一序列稱為數列,記為叫做數列的通項數列舉例:注：數列可以看作自變量為正整數

的函數:四、數列的極限第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日通過演示實驗的觀察:當無限增大時，無限接近于數列的極限觀察數列的變化趨勢。第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日例如數列極限的通俗定義問題:如何用數學語言刻畫它？當無限增大時，如果數列的一般項無限接近于常數則稱常數是數列的極限或者稱記為趨勢不定收斂于數列“當無限增大時，無限接近于”第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日數列極限的精確定義如果存在常數對于任意給定總存在正整數使得當

時總有成立則稱常數是數列的極限或者稱數列收斂于記為極限定義的簡記形式設為一數列或當

時的正數第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日aa-ea+e()當

時第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日

例1證明：證明：要使只需要于是，當時，即取當

時第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日收斂數列的性質定理2.1收斂數列的極限唯一.定理2.2收斂數列一定有界.

注：1.有界的數列是否一定收斂?

2

數列的有界性與收斂如何？第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日則定理2.3

設例.求解：由于根據有理運算法則得第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日32例.求解：因為根據有理運算法則得第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理2.4收斂數列具有保號性.若且有推論:若數列從某項起推論(保序性)設若使得恒有則第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理2.5(夾逼性)設若使得恒有則第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日單調增加單調減少單調數列數列收斂性的判別準則單調遞增有上界的數列收斂于其上確界；單調遞減有下界的數列收斂于其下確界。注：第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日

1如果數列的兩個子數列存在極限,但其極限不同,

那么原數列的極限是否存在?注：

2

現在又如何判斷數列發(fā)散？定理2.7（歸并原理）的充要條件是的每個子列都有第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日

數列的任一收斂子列的極限稱為該數列的極限點，極限點又稱聚點。定理2.8（Weierstrass定理---聚點定理）有界數列必有收斂子列。定理2.9（Cauchy收斂原理）數列極限存在的充要條件是:存在正整數N,使當時,有這種數列稱為Cauchy列或基本數列。該條件稱為Cauchy條件。第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日內容小結1.數列極限的“–N

”

定義及應用2.收斂數列的性質:唯一性;有界性;保號性;任一子數列收斂于同一極限3.極限存在準則:夾逼準則;單調有界準則;柯西準則第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日39P3910偶數題,11(1)(2)作業(yè)第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日五、函數的極限是當它與函數滿足下列關系：

自變量無限趨大時的函數極限如果存在常數設是任一函數那么稱恒有使得定義3.1（時的函數的極限）極限存在或有極限.時的極限,記作或時此時又稱當第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日時,函數當的極限可類似的定義.與當時,函數的極限當當當時,有時,有時,有第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日不難證明幾何解釋:第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

證明證:故取當時,就有因此第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義3.2

設函數在點的某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數

A

為函數當時的極限,或若記作幾何解釋:自變量趨于有限時函數的極限

第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

證明證:欲使取則當時,就有因此只要第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義設函數是常數），若時為當或它與滿足下列關系：使得則稱的左極限，記作：存在常數恒有單側極限

類似地定義：的右極限.時函數顯然，第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日使得當恒有稱之為時的極限為無窮大，記作如果類似的可以定義及時的無窮大。第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日函數極限的歸并原理定理3.1Heine定理設為一函數，則注:此定理只能用來證明極限不存在。

對于中的任何數列為有限或無窮).斂于當時，相應的函數值數列都收中的任何數列注:此定理只能用來證明極限不存在。當證明極限存在時，此定理絕對不能用。因為有無窮多個，我們無法驗證所有的數列都滿足此定理。第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

證明：不存在。第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日

函數極限的性質定理3.2設則(1)

唯一性.時，當處是局部有界的，即在的極限是唯一的.(2)

局部有界性.使得恒有第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理3.3若(2)

局部保序性.若使得(3)夾逼性.(1)局部保號性.則使得若都與a同號.若則恒有使得都有且a＝b,則第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理3.4

(有理運算法則)其中設定理3.5(復合運算法則)設則(3)(1)(2)是由復合而成，與復合函數中，若定義在都有并且則使得第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

求解:例

求解:例

求解:第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日六、兩個重要極限注2.第五十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

求解:例

求解:

原式=第五十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日例

求解:

例

求解：令則當故時，第五十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日注.

兩個重要極限或注:

代表相同的表達式思考與練習第五十七頁，共五十九頁，