專題13 立體幾何中點(diǎn)到面的距離問(wèn)題(解析版)

專題13：立體幾何中點(diǎn)到面的距離問(wèn)題（解析版）1.已知四邊形ABCD是梯形（如圖甲），ABIICD,AD丄DC,CD=4,AB二AD二2,E為CD的中點(diǎn)，以AE為折痕把ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（如圖乙），且PB=2.甲乙（1） 求證：平面PAE丄平面ABCE；（2） 求點(diǎn)A到平面PBE的距離.2J6【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） 3【分析】（1）連接BE，取AE的中點(diǎn)M，連接PM，BM，可得PM丄AE，PM丄MB進(jìn)而可得PM丄平面ABCE，又PMu平面PAE，可得平面PAE丄平面ABCE（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PBE的距離為d，利用等體積法V”二V進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算即可P-ABE A-PBE得解.【詳解】（1）連接BE，因?yàn)锳BIICD，AD丄DC，CD=4，E為CD的中點(diǎn)，AB二AD二2所以四邊形ABED是邊長(zhǎng)為2的正方形，且BE=EC取AE的中點(diǎn)M，分別連接PM，BM因?yàn)锳P=PE=2，所以PM丄AE，BM丄AE，且AE二2邁PM二AM二BM2又PB二2，所以PM2+MB2=PB2，所以PM丄MB又AEnMB=M，所以PM丄平面ABCE又PMu平面PAE，所以平面PAE丄平面ABCE(2)由(1)知，PM丄平面ABCE,△PBE為正三角形且邊長(zhǎng)為2,設(shè)點(diǎn)A到平面PBE的距離為d，V二VP-ABE A-PBE11貝qxSxPM=一xSxd3△ABE 3△PBETOC\o"1-5"\h\zi i13所以xxBExABxPM=—x xBE2xd\o"CurrentDocument"32 34即1x1x2x2x邁二1x亙x22xd，解得d二^6\o"CurrentDocument"32 3 4 3J6故點(diǎn)A到平面PBE的距離為亍【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)面間的距離求法，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查空間想象能力，屬于?？碱}.2.如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，底面ABC為等邊三角形，AA】丄平面ABC，且AA1二AC二2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AAi的中點(diǎn).(1)求證：平面FBC丄平面A]AE；(2)求點(diǎn)C］到平面FBC的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；⑵祀.【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知BC丄AE，由線面垂直的性質(zhì)定理可知AA1丄BC;再結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；取AC的中點(diǎn)H，連接EF，由線面垂直的判定定理可證得BH丄面ACC1A1即三棱錐B-C1FC的高為BH；易知ABF=AACF，故BF=CF,BC丄EF，以便求AFBC的面積；設(shè)點(diǎn)C1到平面FBC的距離為d，由等體積法V =VB-CFC，1 C1FBCBC1FC解出d的值即可.【詳解】證明：(1)；底面ABC為等邊三角形，且E為BC的中點(diǎn)，???BC丄AE.AA］丄面ABC，BCu面ABC，?.AA丄BC又AAnAE=A，AAu面AAE，AEu面AAE，?.BC丄面AAE11111BCu面FBC，???面FBC丄面AAE.1(2)解：取AC的中點(diǎn)H，則BH丄AC，連接EF.AA1丄面ABC，BHu面ABC，二AA1丄BH，AAAC=A，AA、ACu面ACCAT1 1 11P|.：.BH丄面ACC】￡，即三棱錐B-C1FC的高為BH=<3AB=AC，ZBAF=ZCAF=90。，AF=AF，?.AABF=AACF，?.BF=CFE為BC的中點(diǎn)，?BC丄EF，且EF=JAE2+AF23+1=2設(shè)點(diǎn)q到平面FBC的距離為d■/V=VC-■/V=VC-FBC B-CFC11故點(diǎn)C1到平面FBC的距離為春3.1111_

???3d三bgef二3BH三CC「2，解得d「3點(diǎn)睛】本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、點(diǎn)到面的距離，熟練運(yùn)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及等體積法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.3.三棱錐D-ABC中，AB二BC二CD=DA=&ZADC二ZABC二1200,M,O分別為棱BC別為棱BC，AC的中點(diǎn)，DM=4邁.求證：平面ABC丄平面MDO；求點(diǎn)M到平面ABD的距離.4J2a【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)'.7【解析】試題分析：(1)利用勾股定理有OD丄OM，利用等腰三角形中點(diǎn)，有OD丄AC，故OD丄平面ABC，所以平面ABC丄平面MDO；(2)利用等體積法，匕…BD=VD“，M-ABDD-MAB1 7 1 S-OD4阿即S ?h=—S ?OD，所以h—amab =3AABD 3MAB SaABD??????ZDOM二900，即OD丄OM???OD丄AC(1)由題意：OM=OD=4，???DM二4^2又?.?在AACD中,AD二CD,0為AC的中點(diǎn),?/OMcAC=O，OD丄平面ABC又?ODu平面MDO,?平面ABC丄平面MDO(2)由(1)知OD丄平面ABC，OD=4

AABM的面積為S 二1BAxBMxsin120o二-x8x4x亙二8?込TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AABM2 2 2又???在RtABOD中，OB=OD=4，得BD=4邁,AB=AD=81 1_ , ,_\o"CurrentDocument"???S=x4邁xJ64—8=8、訂AABD 211\o"CurrentDocument"???V=V，即一S ?h=—S ?ODM-ABDD-MAB 3AABD 3MAB??.點(diǎn)M到平面ABD的距離為出??.點(diǎn)M到平面ABD的距離為出?h= =一S 7AABD考點(diǎn)：1.立體幾何證明線面垂直；2.等體積法.4.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)F，側(cè)面SBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E為SB的中點(diǎn).證明：SD〃平面AEC；若側(cè)面SBC丄底面ABCD，求點(diǎn)A到平面BSD的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)-21【分析】利用線線平行，證明線面平行，所以可以通過(guò)證明EFDS，而SD@平面AECEFu平面AEC，從而證得SD平面AEC. "利用換底的方法求幾何體的體積，根據(jù)線線垂直，可以得到線面垂直，從而找出幾何體的高，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，從而求出點(diǎn)A到面BSD的距離.【詳解】連接EF,易證EF為ABDS的中位線，所以EFDS又?SD@平面AEC，EFu平面AEC，.:SD平面IAeC??平面SBC丄底面ABCD，平面SBCc平面ABCD=BC，AB丄BCAB丄平面BCSTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"在ABSD中，BD=DS=2^2,BS=2S =、7ABSD又???V =V=V=V= 求三棱錐A]-ABC的表面積； 求三棱錐A]-ABC的表面積； 求B到面A]BC的距離.A-BSD D-ABS C-ABS A-BSC 3ABSC 3設(shè)點(diǎn)A到面BSD的距離為d,V2莎d=ABSD=一?: 1s73ABSD???點(diǎn)A到面BSD的距離為晉【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，基本定理的應(yīng)用，利用等體積轉(zhuǎn)化求高.5.在直三棱柱ABC-A]Bf]中，AB=1,BC=2,AC=J3,AA]=1.【答案】(1)空3+^7；(2)旦.2 7分析】(1)根據(jù)AB2+AC2二BC2，得到ABC為直角三角形，再根據(jù)直三棱柱ABC-A1BU，得到A1AB，A1AC為直角三角形，A1BC是等腰三角形，分別△求得各三角形的面積即可.A A A(2)易得三棱錐C-A1AB與三棱錐C-A1BB的體積相等，又V 二VC-A1AB A1-A――S -AA—~x^x1=-，則V =V 二"，利用BC3ABC 132 6 C-A1B1B B1-A1BC 6等體積法求解△詳解】(1)因?yàn)锳B2+AC2—BC2所以ABC為直角三角形，則S — /△Abc 21B-AC-亙2因?yàn)橹比庵鵄BC-ABC，所以A1AB，A1AC為直角三角形，則AB-邁△AC—2，S —1AA-AB—1△】 即21 2S —1A?A1AC 21：3△!?AC—二2△在等腰A1BC中，AB邊上的高h(yuǎn)—<14，則S —1AB-h—71 2 A1BC21 2所以三棱錐A1△-ABC的表面積S—S +S +S +S 仝+1+'7.ABC A1AB A1AC A1BC 2(2)因?yàn)槿釧 A A A| |’錐C-AAB與三棱錐C-ABB的底面積相等VS —S 丿1 11 A1AB A1B1B高也相等(點(diǎn)C到平面ABB】￡的距離)； A A所以三棱錐C*-￡AB與三棱錐C-A1B1B的體積相等.又V —VC-A1AB A_1 1 3 3——S ?AA——x x1— —1-ABC 3ABC 13 2 6中學(xué)教育△所以V所以V二VC-A”” B1-AjBC 6設(shè)代到面名BC的距離為H,則V 二-SH=3，解得H=竺.B1-A1BC3A1BC 6 7【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐表面積的求法，直棱柱結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用以及等體積法求點(diǎn)到面的距離，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.6.如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且AE=BF=AB=1，將ADE沿著線段AD折起，同時(shí)將ABCF沿著線段BC折起.使得E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合為點(diǎn)P.（1） 求證：平面PAB丄平面ABCD；（2） 求點(diǎn)D到平面PBC的距離h.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1） 由底面ABCD為正方形，可得AD丄平面PAB，由平面與平面垂直的判定定理即可證明.（2） 作PO丄AB交AB于O,易得PO丄平面ABCD.可求得Vp-BCD，由Vp-BCD=匕嘶即可求得點(diǎn)D到平面PBC的距離h【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD為正方形，???AD丄AB,又???AD丄AE，即AD丄PA，且PAAB=A,???AD丄平面PAB， A又?ADu平面ABCD，???平面PAB丄平面ABCD；（2）過(guò)點(diǎn)P作PO丄AB交AB于O,如下圖所示:由（1）知平面PAB丄平面ABCD???PO丄平面ABCD.??V 二-xPOxS 二-^3x-二上3TOC\o"1-5"\h\zP-BCD3 ABCD 3 2 2 12又???V 二VP-BCD D-PBC\o"CurrentDocument"1 3??xS xh—3 apbc 1212所以點(diǎn)D到平面PBC的距離h-上32【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面垂直的判定,等體積法求點(diǎn)到平面的距離,屬于基礎(chǔ)題.7.如圖所示，在矩形ABCD中，CD—2CB—2CE，將△DAE沿AE折起至APAE的位置，使得PA丄PB?1）求證：PA丄BE；（2）若CB—2，求點(diǎn)C到平面PAE的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）耳2.分析】（1）可證明PA丄平面PBE,從而得到PA丄BE.(2)利用等積法可求點(diǎn)C到平面PAE的距離，或者取AB中點(diǎn)為F,過(guò)F作FG//BE交AE于G,連接FC,可證FG丄平面PAE及CF//平面PAE，從而可求C到平面PAE的距離.【詳解】(1)證明：在矩形ABCD中，AD丄DC，PA丄PE又PA丄PB，PEPB=P??.PB,PEu平面PBE??.PA丄平面PBE,：?PA丄BE(2)法一：設(shè)點(diǎn)C到平面PAE的距離為d.?.?CD=2CB=2CE=4:.AE2+BE2=AD2+DE2+CE2+BC2=4CB2=AB2??.AE丄BE，AEPA=A，AE,PAu平面pae，.：BE丄平面PAE，而BEu平面PAE，?:平面PAE丄平面ABCE.過(guò)P作PH垂直AE于點(diǎn)H，因?yàn)槠矫鍼AE平面ABCE=AE，PHu平面PAE故PH丄平面ABCE. A???PA=PE，:?H為AE的中點(diǎn)?CB=2，?:AE=BE=2*2，PE=AD=CE=2而PA=2，所以AH二邁又S=x2x2=2，.:V =-x^-2x2=亠2.TOC\o"1-5"\h\zACE2 P-ACE3 3△又S=x2x2=2，故V =^xdx2=V =—PAE2 C-PAE3 P-ACE 3△:.d=和2.法二：設(shè)點(diǎn)C到平面PAE的距離為d.???AB=CD=2CB=2CE=4:.AE2+BE2=AD2+DE2+CE2+BC2=4CB2=AB2??.AE丄BE,AEPA=A,AE,PAu平面pae,：BE丄平面PAE取AB中點(diǎn)為F,過(guò)F作FG//BE交AE于G,連接FC,:.FG丄平面PAE在四邊形AFCE中，ECIIAF,EC=AF，故四邊形AFCE為平行四邊形，故AEIICF，而AEu平面PAE，CF9平面PAE故CFII平面PAE，故C到平面PAE等于F到平面PAE的距離.故d=FG=丄BE= .【點(diǎn)睛】兀線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直2又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算可以利用面面垂直或線面垂直得到點(diǎn)到平面的距離，可以根據(jù)等積法把點(diǎn)到平面的距離歸結(jié)為一個(gè)容易求得的幾何體的體積.8?如下圖，在直角梯形ABCD中，ZADC=90。,CDIIAB,AB=4，AD=CD=2，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，將AADC沿AC折起，使平面ADC丄平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示.⑴求證：BC丄平面ACD；

（2求點(diǎn)B到平面CDM的距離.【答案】（I）見(jiàn)解析；（口）—計(jì)【解析】試題分析：（I）由余弦定理以及勾股定理可證明AC丄BC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定11 _ 4[2理可得BC丄平面ACD；（II）先求出V 二—x—x4x2乂邁二'，可得D-ABC3 2 3V =爼2，利用V 二V x、扛xd可得結(jié)果.試題解析：（I）證明：由已知可得：AC二2邁,ZCAB=45°由余弦定理「.CB=8 從而AC2+BC2=AB2,AAC丄BC平面ADC丄平面ABC,平面ADCc平面ABC=AC=卜2x4x2"=卜2x4x2"2斗（II）由已知，易求V2邁.?.V —D-MBC 3設(shè)點(diǎn)B到平面CDM的距離為d乂可求S —弋3ADMC.??V —V 二—x朽xdD-MBC B-DMC3D-ABCad=等a點(diǎn)B到平面CDM的距離為竽走進(jìn)高考2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國(guó)卷II）如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2邁，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO丄平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）455【解析】分析：（1）連接OB，欲證PO丄平面ABC,只需證明PO丄AC,PO丄OB即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH丄OM，垂足為M，只需論證CH的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P丄AC,且OP=2<3連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=2AC，所以AABC為等腰直角三角形，且2OB丄AC,1OB=AC=2.2由OP2+OB2二PB2知，OP丄OB.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.2 4近由題設(shè)可知OC=2AC=2，CM=—BC=—,ZACB=45°.3 3

OM所以O(shè)M=^l,CH=°CMCSinZACB朋3OM4J5所以點(diǎn)C到平面POM的距離為〒點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多以線面的證明為主，解題的核心是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I）如圖，三棱柱中，側(cè)面瑚GC為菱形，恥的中點(diǎn)為。，且AO-平⑵若貝丘ye⑵若貝丘ye丘％二陽(yáng):丘c=1：求三棱柱曲匚-顯呂心的高.21【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）三棱柱ABC-A]B]C]的高為7.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意欲證明線線垂直通常可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，又由題中四邊形是菱形，故可想到連結(jié)BC],則O為BC與BC]的交點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面BBCC為菱形，對(duì)角線相互垂直BC丄BC]；又AO丄平面BBCC，所以BC丄AO，根據(jù)線面垂直的判定定理可得：B1C丄平面ABO,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)：由于ABu平面ABO,故B1C丄AB；（2）要求三菱柱的高，根據(jù)題中已知條件可轉(zhuǎn)化為先求點(diǎn)O到平面ABC的距離，即：作OD丄BC，垂足為D,連結(jié)AD,作OH丄AD，垂足為H,則由線面垂直的判定定理可得OH丄平面ABC,再根據(jù)三角形面積相等：OH-AD=OD-OA，可求出OH的長(zhǎng)度，最后由三棱柱ABC-A]Bf』勺高為此距離的兩倍即可確定出高．試題解析：（1）連結(jié)Bq,則O為BC與Bq的交點(diǎn).

因?yàn)閭?cè)面BBCC為菱形，所以BC丄BC1.又AO丄平面BBCC，所以BC丄AO,故B1C丄平面ABO.由于ABu平面ABO,故BC丄AB.(2)作OD丄BC，垂足為D,連結(jié)AD,作OH丄AD，垂足為H.由于，BC丄OD，故BC丄平面AOD，所以O(shè)H丄BC又OH丄AD，所以O(shè)H丄平面ABC.因?yàn)閆CBB—600，所以ACBB為等邊三角形，又BC=1，可得OD .114由于AC丄A”，所以oa=2B1C=2, =由OH-AD=OD.OA，且AD=5+OA2=：，得OH壬又O又O為BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B］到平面ABC的距離為故三棱柱ABC-A1B￡的高為旦.1117考點(diǎn)：1.線線，線面垂直的轉(zhuǎn)化;2.點(diǎn)到面的距離;3.等面積法的應(yīng)用2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國(guó)II卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄面ABCD，E為PD的中點(diǎn).證明：PB//平面AEC;設(shè)AP—1，AD=、3，三棱錐P—ABD的體積V二巨，求A到平面PBC的4距離.

答案】（1答案】（1）證明見(jiàn)解析⑵A到平面PBC的距離為甞詳解】試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O,連結(jié)OE,則PB〃OE，由此能證明PB〃平面ACE.（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO〃PB又EO平面AEC，PB一平面AEC所以PB〃平面AEC.（2）V二-PA-AB-AD二亙AB66由「二』i，可得一茫二二.作上二 匚上交-匚上于