1.2.1任意角的三角函數教學設計

1.2.1任意角的三角函數教學設計LtD1.2.1任意角的三角函數教材人教A版必修四章節(jié)第一章課題1.2.1任意角的三角函數課型小組合作習題課授課時間第一課時學生情況隆化存瑞中學是普通高級中學，從學生中考成績看，雖不及市里高中，但整體水平還可以。平行班學生雖然學習積極性不高，可智力水平不低，基礎中等，學習習慣稍差。我講授的班級就是兩個理科平行班，概念教學他們理解起來有點吃力，但基本公式均可記清，基本會用，我們通過引導思維的方式，配合習題訓練，期望學生可以將此部分內容學會。這節(jié)課就是這樣，通過問題導向，小組討論，解決所設計問題。希望學生積極起來，增強合作意識，培養(yǎng)探究意識，真正培育數學意識和數學應用能力。學生已經掌握的內容及學生學習能力1.學生在初中時已經學習了基本的銳角三角函數的定義，掌握了銳角三角函數的一些常見的知識和求法。2.學生的運算能力較差。3.部分同學對數學的學習有一定的興趣和積極性。4.在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。教學過程設計設計意圖一、復習引入、回想再認(情景1)我們在初中通過直角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數．請回想：這三個三角函數分別是怎樣規(guī)定的？圖1學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調：sinα＝eq\f(對邊,斜邊)，cosα＝eq\f(鄰邊,斜邊)，tanα＝eq\f(對邊,鄰邊)二、引申鋪墊、創(chuàng)設情景(情景2)我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對個別學生作啟發(fā)引導．能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答．用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到(否則教師進行提示)繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數．師生共做(學生口述，教師板書圖形和比值)：把銳角α安裝(如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合)在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，構造一個Rt△OMP，則∠MOP＝α(銳角)，設P(x，y)(x＞0、y＞0)，α的鄰邊OM＝x，對邊MP＝y(tǒng)，斜邊長|OP|＝r.圖2根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數的比值：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.？＝？＝？＝(情景3)思考：對于確定的角α，這三個比值是否會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段OP的長r＝1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：sinα＝eq\f(MP,OP)＝y(tǒng)；cosα＝eq\f(OM,OP)＝x；tanα＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(y,x).思考上述銳角α的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示.那么，角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利于推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題——任意角的三角函數.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，探索發(fā)現：對于銳角α的每一個確定值，三個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化．圖3三、探究新知1．探究：結合上述銳角α的三角函數值的求法，我們應如何求解任意角的三角函數值呢？顯然，我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離為1，然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了．所以，我們在此引入單位圓的定義：在直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．2.思考：如何利用單位圓定義任意角的三角函數？如圖4：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么圖4(1)y叫做α的正弦(sine)，記做sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦(cossine)，記做cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切(tangent)，記做tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)注意：當α是銳角時，此定義與初中定義相同(指出對邊，鄰邊，斜邊所在)；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P(x，y)，從而就必然能夠最終算出三角函數值．四、探索定義域(情景4)1.函數概念的三要素是什么？函數三要素：對應法則、定義域、值域．正弦函數sinα的對應法則是什么？正弦函數sinα的對應法則，實質上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值eq\f(y,r)與之對應，即α→eq\f(y,r)＝sinα.2．布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出三個三角函數的定義域，填寫下表：三角函數sinαcosαtanα定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍．關于sinα＝eq\f(y,r)、cosα＝eq\f(x,r)，對于任意角α(弧度數)，r＞0，eq\f(y,r)、eq\f(x,r)恒有意義，定義域都是實數集R.對于tanα＝eq\f(y,x)，α＝kπ＋eq\f(π,2)時x＝0，eq\f(y,x)無意義，tanα的定義域是{α|α∈R，且α≠kπ＋eq\f(π,2)}……教師指出：sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟．五、符號判斷、形象識記(情景5)能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！引導學生緊緊抓住三角函數的定義來分析，r＞0，三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：圖5sinα＝eq\f(y,r)：上正下負橫為0；cosα＝eq\f(x,r)：左負右正縱為0；tanα＝eq\f(y,x)：交叉正負．六、例題講解、理解記憶1．自學例1：求eq\f(5π,3)的正弦、余弦和正切值．2．例2：角α的終邊經過點P(－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活動：教師留給學生一定的時間，學生獨立思考并回答．明確可以用角α終邊上任意一點的坐標來定義任意角的三角函數，但用單位圓上點的坐標來定義，既不失一般性，又簡單，更容易看清對應關系．教師要點撥引導學生習慣畫圖，充分利用數形結合，但要提醒學生注意α角的任意性．如圖6，設α是一個任意角，P(x，y)是α終邊上任意一點，點P與原點的距離r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么：圖6①eq\f(y,r)叫做α的正弦，即sinα＝eq\f(y,r)；②eq\f(x,r)叫做α的余弦，即cosα＝eq\f(x,r)；③eq\f(y,x)叫做α的正切，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．這樣定義三角函數，突出了點P的任意性，說明任意角α的三角函數值只與α有關，而與點P在角的終邊上的位置無關，教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點．3．例3：求下列三角函數值：(1)sin390°；(2)coseq\f(19π,6)；(3)tan(－330°)．活動：引導學生總結終邊相同角的表示法有什么特點，終邊相同的角相差2π的整數倍，那么這些角的同一三角函數值有何關系？為什么？引導學生從角的終邊的關系到角之間的關系再到函數值之間的關系進行討論，然后再用三角函數的定義證明．由三角函數的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數的值相等．由此得到一組公式(公式一)：利用公式一，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數值．這個公式稱為三角函數的“誘導公式一”．sinα＋k·2π＝sinα，cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)；(2)coseq\f(19π,6)＝cos(2π＋eq\f(7π,6))＝coseq\f(7π,6)＝－eq\f(\r(3),2)；(3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).七、課堂練習課本本節(jié)練習題1、2,3.處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義．強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值．八、回顧小結、建構網絡要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：1．你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？(建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合……在終邊上任意取定一點P……)．2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？(根據定義……)3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？(根據定義，想象坐標位置……)布置課外作業(yè)1．書面作業(yè)：習題1.2A組第1、2題．2．認真閱讀本節(jié)“閱讀與思考：三角學與天文學”，了解三角學在天文學中的重要作用。學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程(類似于從有理數到實數的擴展)．溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少．從學生現有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程．教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！此處做法簡單，思想重要．為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形．初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數的定義．這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發(fā)現的重要思想和方法，屬于策略性知識，能夠形成遷移能力，為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎．初中學生對函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上更上了一個層次，扣準函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，也是在認知上把三角函數知識納入函數知識結構的關鍵．這樣做能夠使學生有效地增強函數觀念．定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域．指導學生根據定義自主探索確定三角函數的定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握．判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求．要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵．及時安排例題講解，自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終．遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策．此處以問題的形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優(yōu)化知識結構，培養(yǎng)認知能力．板書設計1.2.1任意角的三角函數任意角的三角函數的定義三角函數的函數值教學反思新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發(fā)生過程，這節(jié)《任意角三角函數》的教案，主要圍繞這一點來設計．到底