07年高考數學(理科)試卷及答案(湖南卷)

07年高考數學(理科)試卷及答案(湖南卷)LtD2007年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數等于（）A．B．C．D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．3．設是兩個集合，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．設是非零向量，若函數的圖象是一條直線，則必有A．B．C．D．13．函數在區(qū)間上的最小值是。14．設集合，，，（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是。15．將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖1所示的0-1三角數表．從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第次全行的數都為1的是第行；第61行中1的個數是。三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）已知函數，。（I）設是函數圖象的一條對稱軸，求的值；（II）求函數的單調遞增區(qū)間。17．（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數，求的分布列和期望。18．（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，，并連結，使得平面平面，，且。連結，如圖3。（I）證明：平面平面；（II）當，，時，求直線和平面所成的角。19．（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用。從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元。已知，，，。（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。唬↖I）對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。唬↖II）在上是否存在兩個不同的點，，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論。20．（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點。（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。21．（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點，，是數列的前項和，且滿足，，…。（I）證明：數列（）是常數數列；（II）確定的取值集合，使時，數列是單調遞增數列；（III）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增。2007年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）數學（理工農醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C2．D3．B4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上。11．12．13．14．（1）（2）15．，32三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）解：（I）由題設知因為是函數圖象的一條對稱軸，所以，即（）。所以當為偶數時，，當為奇數時，（II）當，即（）時，函數是增函數，故函數的單調遞增區(qū)間是（）17．（本小題滿分12分）解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件，“該人參加過計算機培訓”為事件，由題設知，事件與相互獨立，且，．（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率是所以該人參加過培訓的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項培訓的概率是該人參加過兩項培訓的概率是所以該人參加過培訓的概率是（II）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數服從二項分布，，，即的分布列是01230.0010.0270.2430.729的期望是（或的期望是）18．（本小題滿分12分）解：解法一：（Ｉ）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點作于點，連結由（I）的結論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故因為，，所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題設，，，則所以，，，因為平面，，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，從而．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以為原點，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設，，，則，，，相關各點的坐標分別是，，，所以，設是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設（），由，解得，所以設和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19．（本小題滿分12分）解：（I）如圖，，，，由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設，．則記總造價為萬元，據題設有當，即時，總造價最?。↖I）設，，總造價為萬元，根據題設有則，由，得當時，，在內是減函數；當時，，在內是增函數故當，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法一：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于與之間，故可設位于與之間，且=，，，總造價為萬元，則．類似于（I）、（II）討論知，，，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價．解法二：同解法一得當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一。20．（本小題滿分12分）解：由條件知，，設，．解法一：（I）設，則則，，，由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時，，即又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設在軸上存在定點，使為常數當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，，于是因為是與無關的常數，所以，即，此時=當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，此時故在軸上存在定點，使為常數解法二：（I）同解法一的（I）有當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以由①②③得④⑤當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得。當時，點的坐標為，滿足上述方程當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程。故點的軌跡方程是。（II）假設在軸上存在定點點，使為常數，當不與軸垂直時，由（I）有，。以上同解法一的（II）。21．（本小題滿分13分）解：（I）當時，由已知得因為，所以①于是②由②－①得③于是④由④－③得，⑤所以，即數列是常數數列（II）由①有，所以．由③有，，所以，而⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列，所以，，，數列是單調遞增數