圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用

圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長等有關(guān)知識。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。定理1已知點(diǎn)F是離心率為&的圓錐曲線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦H月與C的焦點(diǎn)所在SCQS^_人T的軸的夾角為日，且業(yè)="盧日（只'1）。（1）當(dāng)焦點(diǎn)『內(nèi)分弦A5時(shí)，有人+1；人+1ecos8=（2）當(dāng)焦點(diǎn)盧外分弦M3時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有又-1。證明設(shè)直線項(xiàng)是焦點(diǎn)『所對應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)孔月在直線！上的射影分別為A切1，點(diǎn)月在AFBF=日=直線乳上的射影為沮。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，藉踮1，又_BF_^F_ABF齊二徹（Ml），所以l；'1一；一丁。（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦H月時(shí)。ABF_BF八…AMAA.-BB.V_只T（人+1）跛心-1），所以cos3=（人+1）跛心-1），所以如圖1，如AF+BF（2）當(dāng)焦點(diǎn)『外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。如圖2,XBFBF如圖2,XBFBF*3,所以圖2評注特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。C:^-^=Va>Q,h>^例1（2009年高考全國卷II理科題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為&,過F且斜率為右的直線交C于月切兩點(diǎn)。若AF=AFB，則C的離心率為（）

ecos60°=廠eecos60°=解這里*=恤日=串，所以9=80°，又日=4，代入公式得4+1,所以5,故選Hc：4+J=>i>0）例2（2010年高考全國卷II理科第12題）已知橢圓&的離心率為2。過右焦點(diǎn)且斜率為煩*>°）的直線于°相交于&占兩點(diǎn)，若AF=3FB，則止無1B.也0.^3￡).2八吏也解這里只=3，2，設(shè)直線網(wǎng)月的傾斜角為巳代入公式得22,所以占，所以*=盆8=也，故選月。例3（08高考江西卷理科第15題）過拋物線營=5#>°）的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°址的直線，與拋物線交于&占兩點(diǎn)（點(diǎn)H在軸左側(cè)），則有俾引3€)

解如圖3,由題意知直線月月與拋物線的地稱軸的夾角@=衡，當(dāng)點(diǎn)H在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)"'，又？=1，代入公式得只+3€)解如圖3,由題意知直線月月與拋物線的地稱軸的夾角@=衡，當(dāng)點(diǎn)H在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)"'，又？=1，代入公式得只+1，解得立=3，所以I尸用七例4（2010年高考全國卷I理科第16題）已知盧是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，占是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交C于點(diǎn)Z）,且BF=2FD，則C的離心率為解設(shè)直線月￡）與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為目，則BFa，又A=2，代入公式得3,所以例5（自編題）已知雙曲線&也的離心率為3，過左焦點(diǎn)攔且斜率為*的直線交°的兩支于&占兩點(diǎn)。若I曲1=例月I，則止=舀=竺eC0S^=—解這里3，孔=3，因直線H月與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式務(wù)T火1*0=蘭1*8=也止二tan30°=也代入公式得33-1，所以2所以^=30°，所以3。定理2已知點(diǎn)盧和直線￡是離心率為金的圓錐曲線C的焦點(diǎn)和對應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為尸。過點(diǎn)盧的弦HE與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為|庭|=筍，我我。泌］），則有Jg孔證明設(shè)點(diǎn)&夙盧在準(zhǔn)線！上的射影分別為A思方，過點(diǎn)『作軸『冏的垂線交直線AFBF=3=乳于點(diǎn)財(cái)，交直線于點(diǎn)陌。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，仙1眺\，所以（1）當(dāng)焦點(diǎn)『內(nèi)分弦座時(shí)。如圖4，區(qū)圳=|4的+|粉|=營+|"*氣|月畫二|耳馴一|涵|二p-13科*目|^|=+|業(yè)|g&\\BF\=或p一俾盧|g8）。，所以較長焦半徑

展，較短焦半徑

BF\=SP1+ecos3AB\=\AF\+\BF=epep2ep所以1+Mg日1-e2cos2&0（2）當(dāng)焦點(diǎn)『外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。AB\=\AF\+\BF=所以如圖5,他卜國的=""日”,1^1=\NB^-\NB\=p-\BF\cose所以小月中心-朋|8迥所以較長焦半徑，較短焦半徑BF*澎+所以較長焦半徑，較短焦半徑BF*澎+1。所以元月1=1所以元月1=1瑚'I一俾F|=，ecos1ecos^+1cos$-1。綜合(1)(2)知，較長焦半徑焦點(diǎn)弦的弦長公式為AF=|1-ecos可較短焦半徑綜合(1)(2)知，較長焦半徑焦點(diǎn)弦的弦長公式為AF=|1-ecos可較短焦半徑BF=1+ecos3特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距盧就是徑之半，較長焦半徑AF=一芝一1-8$目，較短焦半徑BF=—芝—l+cg$，焦點(diǎn)弦的弦長公式為sm目。當(dāng)曲P=C=—線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為'°注由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)盧內(nèi)分弦時(shí)，有1121!12cos^當(dāng)焦點(diǎn)拉外分弦H呂時(shí)，有BFAFAFBF例6（2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線八毒心＞°）的焦點(diǎn)盧作傾斜角為4羅的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段』月的長為8,則歹=解由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為A解由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為Asm245，解得工例7（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓&的右焦點(diǎn)為『，經(jīng)過『且傾斜角為60°的直線！與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知存=盤。（1）求橢圓的離心率;⑵若AB（1）求橢圓的離心率;⑵若AB15求橢圓方程。解（1）這里目=6?！?，只=2解（1）這里目=6?！?，只=2ecos60a=—由定理1的公式得2+1，解得&=J="AB⑵將315代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得，，解七+匕七+匕=1，故所求橢圓方程為95_5_5_￡_2得＞2，即『r2，所以2（/-疽）二女①，又a3，設(shè)匚二戲,僅=果，代入①得止T，所以c=^a=3，所以疥=/*'=5例8（2007年重慶卷第16題）過雙曲線的右焦點(diǎn)『作傾斜角為1°羅的直線，交雙曲線于"兩點(diǎn)，則四'網(wǎng)I的值為解易知“&均在右支上，因?yàn)?="=&=處，離心率&=^2，點(diǎn)準(zhǔn)距=土=也J廣，因傾斜角為105°，所以8E。由焦半徑公式得」EFHF&卜epepe2p2448必1-^cos&1+scos&l-Kc履目1-2cos275°1-（l+cos150"）3。例9（由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線普-尸=4的右焦點(diǎn)『作傾斜角為15CT的直線，交雙曲線于已&兩點(diǎn)，則陰」初的值為解因?yàn)閊=&=2^=扼，離心率&=也，點(diǎn)準(zhǔn)距*?，因傾斜角為150"，所以目=3成。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式跌|?|奕卜—翌翌—=2g2f2—=——；=8得，展-1鹽睡舛1決海$-12cos30-1。^+Z=i例10（2007年高考全國卷I）如圖6,已知橢圓32的左、右焦點(diǎn)分別為瓦，昌，過鳥的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過旦的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且ACLBD。求四邊形面積的最小值。解由方程可知，說