第三講平面問題有限元分析演示文稿

第三講平面問題有限元分析演示文稿當(dāng)前1頁，總共70頁。（優(yōu)選）第三講平面問題有限元分析當(dāng)前2頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括三個主要步驟：

1、離散化2、單元分析3、單元綜合當(dāng)前3頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟

1、離散化有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在結(jié)點處用鉸相連，荷載也移置到結(jié)點上，成為結(jié)點荷載。在結(jié)點位移或其某一分量可以不計之處，就在結(jié)點上安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。當(dāng)前4頁，總共70頁。5.相鄰單元的尺寸盡可能接近。6.結(jié)點所連接的單元個數(shù)盡可能一致。宜不宜結(jié)點的選擇和單元劃分原則1.集中力作用點、分布力突變點、支承點應(yīng)選作結(jié)點。2.不同厚度、不同材料的部分不應(yīng)劃在同一個單元。3.應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點的多少與疏密要考慮計算機(jī)的容量和計算精度。4.單元邊界的邊長之比應(yīng)盡可能靠近1。宜不宜有限元分析應(yīng)注意的問題當(dāng)前5頁，總共70頁。7、充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性PPPPP當(dāng)前6頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟

2、單元分析

對三角形單元，建立結(jié)點位移與結(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。結(jié)點位移

結(jié)點力

當(dāng)前7頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟

2、單元分析-----單元剛度矩陣取結(jié)點位移作基本未知量。由結(jié)點位移求結(jié)點力：其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣。單元分析的主要目的就是要求出單元剛度矩陣。單元分析的步驟可表示如下：當(dāng)前8頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟

3、單元綜合將離散化了的各個單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用結(jié)點平衡方程求出結(jié)點位移。在位移法中，主要的任務(wù)是求出基本未知量---結(jié)點位移。為此需要建立結(jié)點的平衡方程。當(dāng)前9頁，總共70頁。2-2有限單元法的計算步驟

3、單元綜合

i點總的結(jié)點力應(yīng)為：根據(jù)結(jié)點的平衡條件，得單元e的結(jié)點力，可按式(2-2)用結(jié)點位移表示，代入得到用結(jié)點位移表示的平衡方程。每個可動結(jié)點有兩個未知位移，有兩個平衡方程，所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等，可以求出所有的結(jié)點位移。單元綜合的目的就是要求出結(jié)點位移。結(jié)點位移求出后，可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力。當(dāng)前10頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)

如果彈性體的位移分量是座標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再從物理方程求應(yīng)力分量。但對一個連續(xù)體，內(nèi)部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對每個單元，可以假定一個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場。對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示，多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。當(dāng)前11頁，總共70頁。2-2單元位移函數(shù)

三結(jié)點三角形單元六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的3結(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下，所選用的這個位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式很簡單。位移函數(shù)寫成矩陣形式為：當(dāng)前12頁，總共70頁。將水平位移分量和結(jié)點坐標(biāo)代入位移函數(shù)第一式，寫成矩陣形式，當(dāng)前13頁，總共70頁。令

則有

A為三角形單元的面積。

當(dāng)前14頁，總共70頁。[T]的伴隨矩陣為，

令

當(dāng)前15頁，總共70頁。則

同樣，將垂直位移分量與結(jié)點坐標(biāo)代入位移插值公式

當(dāng)前16頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)最終確定六個待定系數(shù)當(dāng)前17頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)令（下標(biāo)i，j，m輪換）簡寫為[I]是單位矩陣，[N]稱為形態(tài)矩陣，Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù)當(dāng)前18頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)

選擇單元位移函數(shù)時，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件：(1)必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變。

6個參數(shù)到反映了三個剛體位移和三個常量應(yīng)變。(2)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。

(線性函數(shù)的特性)當(dāng)前19頁，總共70頁。

形態(tài)函數(shù)Ni具有以下性質(zhì)：1)在單元結(jié)點上形態(tài)函數(shù)的值為1或為0。2）在單元中的任意一點上，三個形態(tài)函數(shù)之和等于1。用來計算三角形面積時，要注意單元結(jié)點的排列順序，當(dāng)三個結(jié)點i，j，m取逆時針順序時，當(dāng)三個結(jié)點i，j，m取順時針順序時，當(dāng)前20頁，總共70頁。圖4-3當(dāng)前21頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)

作業(yè)：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣[N],應(yīng)變矩陣,應(yīng)力矩陣,單元剛度矩陣。當(dāng)前22頁，總共70頁。2-3單元位移函數(shù)

由三角形的面積當(dāng)前23頁，總共70頁。2-4單元載荷移置

連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向結(jié)點移置(分解)，而成為結(jié)點載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點取為結(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是結(jié)點載荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在結(jié)點上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點未被取為結(jié)點，該集中力也要向結(jié)點移置。將載荷移置到結(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與結(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。當(dāng)前24頁，總共70頁。單元的虛位移可以用結(jié)點的虛位移表示為

表示為，

（3-15）令結(jié)點載荷為

令結(jié)點載荷為當(dāng)前25頁，總共70頁。集中力的移置如圖所示，在單元內(nèi)任意一點作用集中力由虛功相等可得，由于虛位移是任意的，則

當(dāng)前26頁，總共70頁。例題1：在均質(zhì)、等厚的三角形單元ijm的任意一點p（xp，yp）上作用有集中載荷。

當(dāng)前27頁，總共70頁。體力的移置令單元所受的均勻分布體力為

由虛功相等可得，

當(dāng)前28頁，總共70頁。分布面力的移置設(shè)在單元的邊上分布有面力，同樣可以得到結(jié)點載荷，當(dāng)前29頁，總共70頁。例題：設(shè)有均質(zhì)、等厚的三角形單元ijm，受到沿y方向的重力載荷qy的作用。求均布體力移置到各結(jié)點的載荷。

當(dāng)前30頁，總共70頁。

同理，當(dāng)前31頁，總共70頁。例題：在均質(zhì)、等厚的三角形單元ijm的ij邊上作用有沿x方向按三角形分布的載荷，求移置后的結(jié)點載荷。取局部坐標(biāo)s，在i點s=0，在j點s=L，L為ij邊的長度。在ij邊上，以局部坐標(biāo)表示的插值函數(shù)為，

，，當(dāng)前32頁，總共70頁。載荷為

當(dāng)前33頁，總共70頁。

例：總載荷的2/3移置到結(jié)點i，1/3移置到結(jié)點j，與原載荷同向當(dāng)前34頁，總共70頁。當(dāng)前35頁，總共70頁。2-5單元應(yīng)力矩陣

本節(jié)利用幾何方程、物理方程，實現(xiàn)用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力。用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為

，[B]矩陣稱為幾何矩陣。

當(dāng)前36頁，總共70頁。2-5單元應(yīng)力矩陣

由物理方程，可以得到單元的應(yīng)力表達(dá)式為應(yīng)力矩陣

當(dāng)前37頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的結(jié)點力的關(guān)系，導(dǎo)出用結(jié)點位移表示結(jié)點力的表達(dá)式。由應(yīng)力推算結(jié)點力，需要利用平衡方程。第一章中已經(jīng)用虛功方程表示出平衡方程。

當(dāng)前38頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

考慮上圖三角形單元的實際受力，結(jié)點力和內(nèi)部應(yīng)力為：

任意虛設(shè)位移，結(jié)點位移與內(nèi)部應(yīng)變?yōu)楫?dāng)前39頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

令實際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為當(dāng)前40頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

計算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實際應(yīng)力和虛設(shè)變形。當(dāng)前41頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

微小矩形的內(nèi)力虛功為整個彈性體的內(nèi)力虛功為當(dāng)前42頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問題的虛功方程，實質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平衡方程。虛應(yīng)變可以由結(jié)點虛位移求出：代入虛功方程當(dāng)前43頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

接上式，將應(yīng)力用結(jié)點位移表示出有令則建立了單元的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系，稱為單元剛度矩陣。它是6*6矩陣，其元素表示該單元的各結(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時引起的結(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。當(dāng)前44頁，總共70頁。2-6單元剛度矩陣

由于[D]中元素是常量，而在線性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以進(jìn)一步得出平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題中的單元剛度矩陣。當(dāng)前45頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

已經(jīng)求出了下列關(guān)系當(dāng)前46頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

結(jié)點力和結(jié)點位移的關(guān)系：(以簡單平面桁架為例)

平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在結(jié)點載荷的作用下，結(jié)點對單元、單元對結(jié)點都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為結(jié)點力。結(jié)點力和結(jié)點位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：當(dāng)前47頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

單元剛度矩陣的物理意義：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示結(jié)點S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在結(jié)點r(r=i,j,m)上所需要施加的結(jié)點力的大小。當(dāng)前48頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

單元剛度矩陣的物理意義：將結(jié)點力列矩陣與結(jié)點位移列矩陣均展開成(6*1)階列矩陣，單元剛度矩陣相應(yīng)地展開成(6*6)階方陣：元素K的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表示垂直方向。當(dāng)前49頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

單元剛度矩陣的物理意義：

單元剛度矩陣的每一個元素都有明顯的物理意義。表示結(jié)點S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在結(jié)點r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平結(jié)點力和垂直結(jié)點力的大小。例如表示結(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在結(jié)點i所需要施加的水平結(jié)點力的大小。當(dāng)前50頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

單元剛度矩陣的性質(zhì)：

1)對稱性：是對稱矩陣

2)奇異性：是奇異矩陣，單元剛度矩陣所有奇數(shù)行的對應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元剛度矩陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。當(dāng)前51頁，總共70頁。2-7單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

單元剛度矩陣的性質(zhì)：例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求

當(dāng)前52頁，總共70頁。2-8整體分析

將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析分4個步驟1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求出結(jié)點位移；(消去法與疊加法)4、根據(jù)結(jié)點位移求出應(yīng)力。當(dāng)前53頁，總共70頁。2-8整體分析

圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個單元和六個結(jié)點。在結(jié)點1、4、6共有四個支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點載荷。整體分析的四個步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求結(jié)點位移；4、根據(jù)結(jié)點位移求出應(yīng)力。

對單元的分析得出單元剛度矩陣，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。當(dāng)前54頁，總共70頁。2-8整體分析1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)

上圖中的結(jié)構(gòu)有六個結(jié)點，共有12個結(jié)點位移分量和12個結(jié)點力分量。由結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量求結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。當(dāng)前55頁，總共70頁。2-8整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。

建立整體剛度矩陣時，每個結(jié)點的位移當(dāng)作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時還要針對支承條件加以處理。在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個，即在結(jié)點1、4、6的四個支桿處相應(yīng)位移已知為零：建立結(jié)點平衡方程時，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。

3、解方程組，求出結(jié)點位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。

4、根據(jù)結(jié)點位移求出應(yīng)力。當(dāng)前56頁，總共70頁。2-9整體剛度矩陣的形式

整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。

1、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點位移引起的結(jié)點力。由2-8節(jié)的例題可見，與結(jié)點2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)結(jié)點3發(fā)生單位位移時，相關(guān)單元①和③同時在結(jié)點2引起結(jié)點力，將相關(guān)單元在結(jié)點2的結(jié)點力相加，就得出結(jié)構(gòu)在結(jié)點2的結(jié)點力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對應(yīng)子塊的集成。當(dāng)前57頁，總共70頁。2-9整體剛度矩陣的形式

2、剛度矩陣的集成規(guī)則：先對每個單元求出單元剛度矩陣，然后將其中的每個子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對應(yīng)位置。這需要了解單元中的結(jié)點編碼與結(jié)構(gòu)中的結(jié)點編碼之間的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)前58頁，總共70頁。2-9整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：

結(jié)構(gòu)中的結(jié)點編碼稱為結(jié)點的總碼，各個單元的三個結(jié)點又按逆時針方向編為i,j,m,稱為結(jié)點的局部碼。單元剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點的總碼排列的。因此，在單元剛度矩陣中，把結(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。當(dāng)前59頁，總共70頁。2-9整體剛度矩陣的形式

以單元②為例，局部碼i,j,m對應(yīng)于總碼5,2,4，因此中的子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣為：當(dāng)前60頁，總共70頁。2-9整體剛度矩陣的形式

用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大矩陣將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加，即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]：集成規(guī)則包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié)：

1、將單元剛度矩陣中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣。

2、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。

(例題略)當(dāng)前61頁，總共70頁。當(dāng)前62頁，總共70頁。2-10支承條件的處理

整體剛度矩陣[K]求出后，結(jié)構(gòu)的結(jié)點力{F}可表示為在無支桿的結(jié)點處，結(jié)點力就等于已知的結(jié)點載荷。在有支桿的結(jié)點處，則求結(jié)點力時，還應(yīng)把未知的支桿反力考慮在內(nèi)。如果用{P}表示結(jié)點載荷和支桿反力組成的向量，則結(jié)點的平衡方程為根據(jù)支承條件對平衡方程加以處理。先考慮結(jié)點n有水平支桿的情況。與結(jié)點n水平方向?qū)?yīng)的平衡方程是第2n-1個方程，根據(jù)支承情況，上式應(yīng)換成，即在[K]中，第2n-1行的對角線元素應(yīng)改為1，該行全部非對角線元素應(yīng)改為0。在{P}中，第2n-1個元素應(yīng)改為0。此外，為了保持矩陣[K]的對稱性，則第2n-1列全部非對角線元素也改為0。當(dāng)前63頁，總共70頁。2-10支承條件的處理

同理，如果結(jié)點n有豎向支桿，則平衡方程的第2n個方程應(yīng)改為，為此，在矩陣[K]中，第2n行的對角線元素改為1，該行全部非對角線元素改為0，同時，第2n列全部非對角線元素也改為0。在{P}中，第2n個元素改為0。當(dāng)前64頁，總共70頁。2-10支承條件的處理2-8節(jié)中的結(jié)構(gòu)，結(jié)點1有水平支桿，結(jié)點2有兩個支桿，結(jié)點3有豎向支桿。對支承條件處理后，矩陣修改為：當(dāng)前65頁，總共70頁。2-10支承條件的處理

最后考慮支點n的水平位移為已知非零值的情況，這時的支承條件為對平衡方程的第2n-1個方程作如下修改：對角線系數(shù)乘以一個大數(shù)A(例如A=1010)；右邊自由項換成；其余各項保持不變，即有實際上，上式中除包含大數(shù)A的兩項外，其他各項相對地都比較小，可以忽略不計，因此與支承條件等價。對于支點的豎向位移的支承條件，也可用同樣的方法進(jìn)行修改。當(dāng)