第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（單元復(fù)習(xí)課件） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式人教A版2019必修第一冊單元復(fù)習(xí)課件01不等式性質(zhì)的應(yīng)用02利用基本不等式求最值目錄03解(含參)不等式04不等式中的恒成立問題05一元二次不等式和基本不等式的實際應(yīng)用問題學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)，等式與不等式的共性與差異。難點(diǎn)：類比等式的基本性質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法，研究不等式的基本性質(zhì)；等式與不等式共性與差異。知識網(wǎng)絡(luò)1.不等關(guān)系是普遍存在的；用來表示不等關(guān)系的式子叫不等式。利用不等式(組)刻畫不等關(guān)系時應(yīng)注意下列問題：

(1)問題中的不等關(guān)系有哪一些，是否需要這些不等關(guān)系同時成立;(2)每一個不等關(guān)系各是怎樣的；(3)需不需要設(shè)出變量。2.兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實：

利用這個事實可以采取作差法可以對一些代數(shù)式的大小進(jìn)行了比較也可以證明不等式：(1)作差；(2)變形；

目的：便于判定差的符號

常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等(3)定號；

當(dāng)差的符號不確定時，一般需要分類討論(4)作結(jié)論。

根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實數(shù)大小關(guān)系的基本事實作出結(jié)論3.等式的基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)：

基本性質(zhì)性質(zhì)1(對稱性):性質(zhì)2(傳遞性):性質(zhì)3(可加性):性質(zhì)4(可乘性)(乘正保序,乘負(fù)反序):

性質(zhì)5(同向可加性)：性質(zhì)6(同正同向可乘性)：性質(zhì)7(同正可乘方性)：注：①性質(zhì)1,3可逆；

②性質(zhì)5,6可推廣到多個同向不等式;

③性質(zhì)5,6,7可將“同正”擴(kuò)大到“同為非負(fù)數(shù)”；④由性質(zhì)還可得到同號倒數(shù)反序4.基本不等式及其推導(dǎo)(1)基本不等式的常見變形：

代數(shù)特征：

兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個正數(shù)相等時，二者相等.

幾何解釋：

圓O的半弦CD不大于圓的半徑OD，當(dāng)且僅當(dāng)C與圓心O重合時，二者相等。(2)基本不等式的推導(dǎo)和證明：②由重要不等式得出；①利用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實用作差法得出；③執(zhí)果索因，用分析法得出。5.用基本不等式求最值的條件一正二定三相等(1)a、b要同為正數(shù)；(2)求a+b的最值時,ab應(yīng)為定值

;

求ab的最值時,a+b應(yīng)為定值；(3)當(dāng)a=b時,

若代數(shù)式可以化為兩正數(shù)之和且積為定值的形式，或是兩正數(shù)之積且和為定值的形式，并在這兩正數(shù)可以取得相等時，就可以用基本不等式來求其最值。用基本不等式解決數(shù)學(xué)中的最值問題

①直接應(yīng)用類；②配湊定值類；

通用過添拆項，變系數(shù)，分離出常數(shù)或整式，化為積并使它們的和為定值，化為和并使它們的積為定值.

③條件最值類。常量(如1)替換，變量替換(消元)6.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系：一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c設(shè)y=0一元二次方程ax2+bx+c=0設(shè)y≠0一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)右邊化為0，左邊設(shè)為y二次函數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)(1)形式上(2)數(shù)值上一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的端點(diǎn)7.利用“三個二次”間的關(guān)系解一元二次不等式的主要過程：查系數(shù)解方程畫圖象取解集

(1)檢查二次項系數(shù)

將不等式化為一般形式，并檢查二次項系數(shù)

a的正負(fù)，對于a<0的不等式，將a化為正數(shù)。(2)解對應(yīng)的方程

若?≥0，求出方程ax2+bx+c=0的根;

若?<0，則方程ax2+bx+c=0無根。(3)畫圖象

畫出對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的大致圖象。(4)取解集

根據(jù)圖象寫出對應(yīng)不等式的解集:有根時：大于取兩邊，小于取中間，等于取根點(diǎn)無根時：大于取R，小于取Φ8.基本不等式的應(yīng)用(1)證明不等式

(2)求最大值或最小值①實際問題中的最值

；②數(shù)學(xué)中的最值。一元二次不等式的應(yīng)用(1)解一元二次不等式(2)解決實際問題(3)解決三個二次間關(guān)系問題

①求參數(shù)的值

；

②恒成立的問題。①不含參數(shù)一元二次不等式

；②含參數(shù)一元二次不等式

。

當(dāng)二次項系數(shù)不確定時：

一般分二次項系數(shù)”大于0,小于0和等于0三種情況；當(dāng)對應(yīng)方程根的個數(shù)不確定時：一般分?大于0，小于0和等于0三種情況；當(dāng)方程兩根的大小不確定時：一般分x1<x2,x1<x2和x1=x2三種情況。1.不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.不等式及其性質(zhì)貫穿整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)，只要是涉及到范圍的問題，都和不等式有關(guān)，在高中數(shù)學(xué)中有著很高的地位.2.掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是A.A≤B B.A≥BC.A<B或A>B D.A>B√∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)∴A≥B.典例1(2)若a>b，x>y，則下列不等式正確的是A.a＋x<b＋y B.ax>byC.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y當(dāng)a≠0時，|a|>0，不等式兩邊同乘以一個大于零的數(shù)，不等號方向不變；當(dāng)a＝0時，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.√不等式及其性質(zhì)的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)作差法是比較兩個實數(shù)大小的基本方法.(2)應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)可以證明不等式，但一定要注意應(yīng)用條件；當(dāng)判斷不等式是否成立時，常常選擇特殊值法.歸納總結(jié)

1.若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍為______________________.{a－b|－1≤a－b≤6}∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.練一練2.利用基本不等式求最值1.基本不等式：

是每年高考的熱點(diǎn)，主要考查命題判斷、不等式證明以及求最值問題，特別是求最值問題往往與實際問題相結(jié)合，同時在基本不等式的使用條件上設(shè)置一些問題，實際上是考查學(xué)生恒等變形的技巧，另外，基本不等式的和與積的轉(zhuǎn)化在高考中也經(jīng)常出現(xiàn).2.熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

典例2(應(yīng)用基本不等式求最值的技巧)1.應(yīng)用基本不等式求最值,必須按照“一正、二定、三相等”的條件進(jìn)行,若具備這些條件,可直接運(yùn)用基本不等式,若不具備這些條件,則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?2.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時應(yīng)對照已知條件和欲求的式子,運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如函數(shù)圖像的特點(diǎn).歸納總結(jié)

C練一練3.解(含參)不等式

解關(guān)于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).分析:首先討論不等式的類型:(1)當(dāng)a=0時,是一次不等式;(2)當(dāng)a≠0時,是一元二次不等式,然后討論a的符號,最后討論兩根

與2的大小.典例3(解（含參）不等式的一般方法)(1)二次項系數(shù)不含參數(shù)且二次三項式不能分解因式時,對Δ的取值進(jìn)行討論.(2)二次項系數(shù)不含參數(shù),二次三項式可分解因式時,主要根據(jù)兩根大小進(jìn)行比較,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三種情況解答.(3)二次項系數(shù)含參數(shù)時,首先應(yīng)討論二次項系數(shù)a與0的關(guān)系,①當(dāng)a=0時,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②當(dāng)a≠0時,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0兩類,借助(1)(2)兩種情況進(jìn)行解答.歸納總結(jié)3.已知常數(shù)a∈R,解關(guān)于x的不等式ax2-2x+a<0.解:(1)若a=0,則原不等式為-2x<0,故解集為{x|x>0}.(2)若a>0,Δ=4-4a2.①當(dāng)Δ>0,即0<a<1時,方程ax2-2x+a=0的兩根為∴當(dāng)0<a<1時,原不等式的解集為②當(dāng)Δ=0,即a=1時,原不等式的解集為?.③當(dāng)Δ<0,即a>1時,原不等式的解集為?.練一練(3)若a<0,Δ=4-4a2.①當(dāng)Δ>0,即-1<a<0時,原不等式的解集為②當(dāng)Δ=0,即a=-1時,原不等式化為(x+1)2>0,∴當(dāng)a=-1時,原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-1}.③當(dāng)Δ<0,即a<-1時,原不等式的解集為R.綜上所述,當(dāng)a≥1時,原不等式的解集為?;當(dāng)0<a<1時,原不等式的解集為4.不等式中的恒成立問題

已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.當(dāng)k＝0時，原不等式化為－2<0，顯然符合題意.當(dāng)k≠0時，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其圖象都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點(diǎn).綜上，實數(shù)k的取值范圍是{k|－1<k≤0}.典例4轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即歸納總結(jié)注意點(diǎn)：若題目中未強(qiáng)調(diào)是一元二次不等式，且二次項系數(shù)含參，則一定要討論二次項系數(shù)是否為0.反思感悟4.若關(guān)于x的不等式ax2-2x+2>0對于滿足1<x<4的一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.練一練5.一元二次不等式和基本不等式的實際應(yīng)用問題1.不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵.2.利用不等式解決實際應(yīng)用問題，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成(1成＝10%)，售出商品的數(shù)量就增加

成，要求售價不能低于成本價.(1)設(shè)該商品一天的營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；又售價不能低于成本價，所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2).典例5(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.40(10－x)(25＋4x)≥10260，又0≤x≤2，（一元二次不等式實際應(yīng)用問題）（1）根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）由題意列出相應(yīng)不等式