第06章-結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算

結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算目錄6.1結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念

6.2靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度6.3結(jié)構(gòu)體系中功能函數(shù)的相關(guān)性6.4結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法6.5桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例6.6重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例6.1結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念

設(shè)某結(jié)構(gòu)體系含有k個(gè)失效模式，對(duì)應(yīng)于不同的失效模式，其功能函數(shù)可分別表示如下：(6–1)

若用Ej表示第j個(gè)失效模式出現(xiàn)這一事件，則有：

(6–2)

Ej的逆事件為與第j個(gè)失效模式相應(yīng)的安全事件，即：

(6–3)

于是結(jié)構(gòu)體系安全這一事件可表示為：

(6–4)結(jié)構(gòu)體系失效事件可表示為：

(6–5)結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念式(6–5)表明，結(jié)構(gòu)體系失效包含一個(gè)或多個(gè)失效模式出現(xiàn)。

設(shè)體系具有三個(gè)失效模式，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間內(nèi)，對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)方程為則上述事件可由圖6–1所示。

以?xún)蓚€(gè)變量為例，具體說(shuō)明如下：結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念理論上，結(jié)構(gòu)體系的可靠度可通過(guò)下式計(jì)算：

(6–6)結(jié)構(gòu)體系的失效概率為：

(6–7)結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念由式(6–6)或(6–7)可見(jiàn)，求解結(jié)構(gòu)體系的可靠度需要計(jì)算多重積分。對(duì)于大多數(shù)工程實(shí)際問(wèn)題而言，不但各隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)難以得到，而且計(jì)算這一多重積分也非易事。所以，對(duì)于一般結(jié)構(gòu)體系，并不直接利用上式計(jì)算其可靠度，而是采用近似方法求解。返回目錄結(jié)構(gòu)體系可靠度的概念6.2靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度

構(gòu)件的破壞性質(zhì)分為延性和脆性?xún)煞N。延性破壞是指構(gòu)件失效后，還能繼續(xù)承受屈服荷載；脆性破壞則是指構(gòu)件失效后，不能再承受任何荷載。1.結(jié)構(gòu)體系可靠度分析的模型對(duì)于任何一種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)已知其中每個(gè)構(gòu)件的可靠度，需要計(jì)算整個(gè)體系的可靠度時(shí)，可簡(jiǎn)化為各種分析模型，用以表述體系可靠度與各個(gè)構(gòu)件可靠度之間的關(guān)系。常用的分析模型大致可歸納為三種：即串聯(lián)體系、并聯(lián)體系和混聯(lián)體系。

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度(1)串聯(lián)體系

如果結(jié)構(gòu)體系是由若干個(gè)構(gòu)件組成的，其中任何一個(gè)構(gòu)件失效便導(dǎo)致整個(gè)體系失效，這種體系稱(chēng)為串聯(lián)體系，也稱(chēng)為最弱鏈環(huán)體系，其圖形表示見(jiàn)圖6–2。串聯(lián)體系的典型例子是如圖6–3所示的靜定桁架，只要結(jié)構(gòu)中任一桿件破壞，必將導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)破壞。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度

圖6–3桁架結(jié)構(gòu)

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度(2)并聯(lián)體系

如果結(jié)構(gòu)體系中某一構(gòu)件的失效并不總是導(dǎo)致整個(gè)體系的失效，結(jié)構(gòu)體系的失效需要有多于一個(gè)的構(gòu)件失效，這種體系稱(chēng)為并聯(lián)體系，其圖形表示見(jiàn)圖6–4。并聯(lián)體系的典型例子是超靜定結(jié)構(gòu)，如果一個(gè)構(gòu)件失效，其它構(gòu)件仍能繼續(xù)承受荷載重分配后的最大荷載；只有當(dāng)并聯(lián)體系中所有的構(gòu)件都失效時(shí)，該結(jié)構(gòu)體系才會(huì)失效。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度(3)混聯(lián)體系

實(shí)際的超靜定結(jié)構(gòu)通常有多個(gè)破壞模式，每一個(gè)破壞模式可簡(jiǎn)化為一個(gè)并聯(lián)體系，而多個(gè)破壞模式又可簡(jiǎn)化為串聯(lián)體系，這就構(gòu)成了混聯(lián)體系，如圖6–5所示。對(duì)于圖6–6a所示的超靜定桁架，假定只有斜桿1,2,3,4,5,6可能破壞，則該桁架結(jié)構(gòu)可以抽象為圖6–6b所示的混聯(lián)體系。

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度2.靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度

靜定結(jié)構(gòu)體系中，任何一個(gè)構(gòu)件的失效都將導(dǎo)致整個(gè)體系的失效，結(jié)構(gòu)體系失效這一事件的概率應(yīng)等于各個(gè)構(gòu)件失效事件和的概率，用公式表示為：(6–8)結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算公式為：

(6–9)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度如果事件E1，E2，···Ek是互不相容的，式(6–8)可簡(jiǎn)化為：

(6–10)式(6–9)

可表示為：

(6–11)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度如果事件E1，E2，…，Ek是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則上式成為：

(6–12)式中Pri為構(gòu)件i的可靠度?？梢?jiàn)，靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度與組成該體系的各構(gòu)件的可靠度直接相關(guān)。因此，要計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度，需首先計(jì)算各構(gòu)件的可靠度。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度3.超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度超靜定結(jié)構(gòu)體系中某個(gè)或某些構(gòu)件的失效未必導(dǎo)致整個(gè)體系的失效。需要討論結(jié)構(gòu)體系各種可能的失效（破壞）模式問(wèn)題。機(jī)構(gòu)是指具有一個(gè)自由度或瞬變的體系。當(dāng)承載結(jié)構(gòu)由于某些構(gòu)件或約束失效而變成機(jī)構(gòu)時(shí)，該結(jié)構(gòu)體系失效，由此可得到結(jié)構(gòu)的失效模式。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度設(shè)結(jié)構(gòu)體系可能形成的機(jī)構(gòu)（即失效模式）有k種，每種機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的失效事件為Ei，則結(jié)構(gòu)體系的失效概率Pf即為各機(jī)構(gòu)失效事件和的概率，可由上述(6–8)式或(6–10)式計(jì)算。

考慮與失效模式i對(duì)應(yīng)的失效事件Ei，相應(yīng)的功能函數(shù)為Zi，利用虛功原理，可得Zi的一般表達(dá)式為：

(6–13)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度式中：Rj為第j截面的抗力；Sm為作用在第i機(jī)構(gòu)的第m個(gè)荷載；

aij和bim分別為第i機(jī)構(gòu)與Rj和Sm相對(duì)應(yīng)的抗力和荷載效應(yīng)系數(shù)；h為塑性鉸數(shù)；l為荷載數(shù)。式中的兩部分分別為該機(jī)構(gòu)的抗力項(xiàng)和荷載效應(yīng)項(xiàng)。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度例6–1超靜定梁如圖6–7a所示，受到荷載Q作用。設(shè)截面1、2和3的塑性抗力矩分別為M1、M2和M3，試建立相應(yīng)失效模式的功能函數(shù)。

圖6–7超靜定梁的失效模式

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度即

M1+2M2+M3–Ql=0所以該失效模式的功能函數(shù)為：

Z1=M1+2M2+M3–Ql

解：設(shè)梁的失效模式為截面1、2和3出現(xiàn)塑性鉸，形成的機(jī)構(gòu)如圖6–7b所示。根據(jù)虛功原理得到：M1θ+2M2θ+M3θ–Qlθ=0返回目錄靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度6.3結(jié)構(gòu)體系中功能函數(shù)的相關(guān)性

設(shè)與破壞模式i、j對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)為Zi、Zj，功能函數(shù)只包含兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立變量R和S，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為mR、mS和σR、σS，則功能函數(shù)Zi、Zj的表達(dá)式為：

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度

Zi和Zj的協(xié)方差可由下式計(jì)算：

(6–14)將

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度代入式(6–14)得：

Zi和Zj的相關(guān)系數(shù)為：

(6–15)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度上述結(jié)果可以推廣到功能函數(shù)含有多個(gè)隨機(jī)變量的情況。設(shè)功能函數(shù)Zi、Zj分別為：

則其相關(guān)系數(shù)為：

(6–16)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度當(dāng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，可通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)X*處展開(kāi)，并取一次式計(jì)算相關(guān)系數(shù)的近似值（假定基本變量是不相關(guān)的），可得Zi、Zj的協(xié)方差為：

式中

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度相關(guān)系數(shù)為：

(6–17)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度式中

(6–18)靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度由于結(jié)構(gòu)體系的功能函數(shù)來(lái)自相同的隨機(jī)變量，所以各功能函數(shù)間將存在一定的相關(guān)關(guān)系。利用這種關(guān)系，可使結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。在實(shí)際計(jì)算中，常設(shè)定一個(gè)相關(guān)系數(shù)的界限值（一般取=0.7~0.8），當(dāng)兩功能函數(shù)的相關(guān)系數(shù)≥

時(shí)，稱(chēng)它們?yōu)楦呒?jí)相關(guān)，否則為非高級(jí)相關(guān)。

靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度例6–2

懸臂梁承受集中荷載如圖6–2所示。假設(shè)各隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，其統(tǒng)計(jì)量如表6–1所示。求截面1、2的功能函數(shù)Z1和Z2的相關(guān)系數(shù)。表6–1隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)變量均值標(biāo)準(zhǔn)差M13000N

·

m300N

·

mM26600N

·

m660N

·

mP500N50N注：表中M1，M2分別為截面1、2的彎曲抗力，P為外荷載。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度解：截面1、2功能函數(shù)的表達(dá)式為：

Z1=M1–5PZ2=M2–10P

圖6–8懸臂梁受集中荷載

可見(jiàn)Z1和Z2的公共隨機(jī)變量為P，相應(yīng)的系數(shù)為5和10。靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度由式(6–15)得Z1、Z2的相關(guān)系數(shù)為：

如果M1和M2來(lái)自相同的隨機(jī)變量M(μM，σM)=M(3000，300)N

?

m，則Z1和Z2的相關(guān)系數(shù)為：

返回目錄靜定與超靜定結(jié)構(gòu)體系的可靠度6.4結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法尋找出結(jié)構(gòu)體系全部的失效模式并計(jì)算其可靠度是非常困難的。結(jié)構(gòu)體系的失效模式不但很多，而且要找出全部的失效模式也很困難。即使能尋找出結(jié)構(gòu)體系全部的失效模式，要計(jì)算其可靠度也非易事。所以，計(jì)算結(jié)構(gòu)體系可靠度的近似方法得到廣泛應(yīng)用。各失效模式對(duì)結(jié)構(gòu)體系可靠度的影響是不同的，其中有些失效模式的影響大些，有些則小些。基于上述分析，人們提出了主要失效模式（也稱(chēng)為主要機(jī)構(gòu)）的概念。

使荷載按比例逐步增加，這時(shí)結(jié)構(gòu)中各截面的內(nèi)力(或應(yīng)力)將隨之增加。對(duì)延性材料構(gòu)件來(lái)說(shuō)，隨著荷載的增加，結(jié)構(gòu)將逐漸出現(xiàn)塑性鉸，當(dāng)出現(xiàn)的塑性鉸足夠多時(shí)，結(jié)構(gòu)即變成機(jī)構(gòu)，由此可得到結(jié)構(gòu)體系的主要失效模式。

1.尋找主要失效模式的方法荷載增量法

主要失效模式，是指對(duì)結(jié)構(gòu)體系的失效概率貢獻(xiàn)較大的那些失效模式。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法當(dāng)荷載簡(jiǎn)單時(shí)，可采用荷載增量法找出結(jié)構(gòu)的失效模式。但當(dāng)荷載復(fù)雜時(shí)，由于給定荷載比例時(shí)存在著人為因素，難以反映荷載作用的隨機(jī)性，因此不能準(zhǔn)確獲得結(jié)構(gòu)的主要失效模式。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法(2)失效樹(shù)法

假定結(jié)構(gòu)材料是延性的；只承受集中力作用；當(dāng)截面所承受的彎矩達(dá)到其塑性抗力矩時(shí)，認(rèn)為該截面失效，產(chǎn)生塑性鉸；可能出現(xiàn)塑性鉸的位置在桿端截面及集中力作用處；僅取截面塑性抗力矩和集中力荷載為隨機(jī)變量。結(jié)構(gòu)是否失效，可由結(jié)構(gòu)整體勁度矩陣的行列式值是否等于零或塑性鉸個(gè)數(shù)是否等于超靜定次數(shù)加1來(lái)判斷，即：結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法(6–19)(6–20)式中K為結(jié)構(gòu)的整體勁度矩陣，r為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，m為塑性鉸個(gè)數(shù)。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法

失效樹(shù)法又稱(chēng)為機(jī)構(gòu)產(chǎn)生階段分枝法，該法規(guī)定從結(jié)構(gòu)體系的初始狀態(tài)（無(wú)塑性鉸出現(xiàn)）到產(chǎn)生第一個(gè)塑性鉸為第一階段，從第一個(gè)塑性鉸發(fā)展到第二個(gè)塑性鉸這一過(guò)程為第二階段，依此類(lèi)推。如果形成的機(jī)構(gòu)中有n個(gè)塑性鉸，就有n個(gè)階段與其對(duì)應(yīng)。尋找主要失效機(jī)構(gòu)的方法是：在對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析的基礎(chǔ)上，計(jì)算出若干個(gè)截面的可靠指標(biāo)，按照從小到大排列。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法以所對(duì)應(yīng)的截面作為第一個(gè)塑性鉸產(chǎn)生的位置，首先進(jìn)行“縱向搜索”，直到找到第一個(gè)機(jī)構(gòu)，然后在該階段進(jìn)行“橫向分枝”，直到非機(jī)構(gòu)出現(xiàn)。再進(jìn)行“縱向搜索”，…，依此類(lèi)推，進(jìn)行下去，直到塑性鉸個(gè)數(shù)達(dá)到超靜定次數(shù)加1，完成第一個(gè)失效樹(shù)的搜索過(guò)程。回到原初始狀態(tài)，以第一階段次最小的可靠指標(biāo)對(duì)應(yīng)的截面作為第一個(gè)塑性鉸位置，重復(fù)上面的“縱向搜索”和“橫向分枝”過(guò)程，以完成第二失效樹(shù)的搜索。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法如圖6-9所示的單跨2層剛架為例結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法

該剛架的超靜定次數(shù)為6，承受的荷載及可能出現(xiàn)塑性鉸的截面如圖6-9所示。對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)矩陣分析后求出，式中上標(biāo)j表示所處的階段，下標(biāo)i表示截面編號(hào)。按照從小到大排列得到，取對(duì)應(yīng)的截面為第一個(gè)塑性鉸產(chǎn)生的位置，通過(guò)“縱向搜索”和“橫向分枝”可以找出第一失效樹(shù)的7個(gè)主要機(jī)構(gòu)，如圖6–10所示。同理可確定第二、第三失效樹(shù)等，并找出它們的主要失效機(jī)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法找出各主要失效機(jī)構(gòu)后，對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)Zi即可求得，然后用第五章所述的方法計(jì)算與每一機(jī)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的失效概率。除此之外，再進(jìn)一步計(jì)算各Zi間的相關(guān)系數(shù)以及結(jié)構(gòu)體系的可靠度。

2.簡(jiǎn)單的點(diǎn)估計(jì)法設(shè)結(jié)構(gòu)體系第i個(gè)失效機(jī)構(gòu)的功能函數(shù)為Zi，由式(6–13)有：

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法當(dāng)所有變量均為正態(tài)分布時(shí)，第i個(gè)失效機(jī)構(gòu)的可靠指標(biāo)為：

式中和分別為功能函數(shù)Zi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。在各變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)下，計(jì)算公式如下：(6–21)(6–22)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法式中和分別為Mj和Sk的均值，和分別為Mj和Sk的方差。根據(jù)式(4–15)即可求出第個(gè)機(jī)構(gòu)的失效概率。對(duì)于具有n個(gè)失效機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系，其失效概率為：

(6–23)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法直接應(yīng)用上式計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度非常困難，但當(dāng)所有的失效機(jī)構(gòu)完全相關(guān)時(shí)，式(6–23)可簡(jiǎn)化成：(6–24)如果所有的失效機(jī)構(gòu)都統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，式(6–23)可簡(jiǎn)化為：

(6–25a)當(dāng)時(shí)，可得上式的近似表達(dá)式為：(6–25b)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法一般來(lái)說(shuō)，各失效機(jī)構(gòu)之間既不完全相關(guān)，也不完全統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，而是處于兩者之間，因此，這一方法的計(jì)算結(jié)果將偏于危險(xiǎn)或保守。但上述方法應(yīng)用于靜定結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算還是比較合理的。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法3.區(qū)間估計(jì)法

(1)一般界限范圍在一般情況下，結(jié)構(gòu)體系各失效機(jī)構(gòu)之間既不完全相關(guān)，也不完全統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，而是處于兩者之間。洪華生(A.H–S.Ang)和阿明（Amin）于1968年提出用這兩種極端情況下的失效概率作為結(jié)構(gòu)體系失效概率的上、下界，用一個(gè)界限范圍估計(jì)結(jié)構(gòu)體系的失效概率，即：(6–26)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法當(dāng)Pfi較小時(shí)，式(6–26)可近似為：

(6–27)對(duì)于失效機(jī)構(gòu)較少的結(jié)構(gòu)體系，用這一方法估算其失效概率Pf的界限范圍還是比較適宜的。當(dāng)失效機(jī)構(gòu)較多或Pfi并非足夠小時(shí)，上述方法算出的界限范圍往往偏大。但由于該方法簡(jiǎn)單明了，故常用于結(jié)構(gòu)體系可靠度的初始估算。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法(2)窄界限范圍

設(shè)結(jié)構(gòu)體系的各個(gè)失效機(jī)構(gòu)分別用事件E1、E2、···、En表示，則結(jié)構(gòu)體系失效概率的界限范圍為：

(6–28)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法當(dāng)所有隨機(jī)變量都是正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù)0時(shí)，借助于失效機(jī)構(gòu)i、j的可靠指標(biāo)βi和βj，可得：

(6–29)式中

(6–30)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法具體應(yīng)用式(6–28)估計(jì)結(jié)構(gòu)體系的失效概率時(shí)，可先求出qi和qj，并以max[Ei

，Ej]代替式(6–28)左邊的，以qi+

qj代替式(6–28)右邊的P(Ei∩

Ej)，即可得到結(jié)構(gòu)體系失效概率Pf的近似界限范圍值。窄界限法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度比較繁瑣。但是，當(dāng)相關(guān)系數(shù)較小時(shí)（如小于0.6），該方法一般能得出很窄的失效概率范圍值。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法4.PNET法（概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)法）

基本假定：結(jié)構(gòu)體系的n個(gè)主要失效機(jī)構(gòu)可以用其中的m個(gè)所謂代表機(jī)構(gòu)來(lái)代替；這些代表機(jī)構(gòu)是由所有主要機(jī)構(gòu)通過(guò)下述原則挑選出來(lái)的，即將主要機(jī)構(gòu)分為幾組，同一組的各主要機(jī)構(gòu)均與某—代表機(jī)構(gòu)高級(jí)相關(guān)，這個(gè)代表機(jī)構(gòu)就是該組中失效概率最高的機(jī)構(gòu)；由相關(guān)性條件可知，這個(gè)代表機(jī)構(gòu)可以代表該組所有機(jī)構(gòu)的失效概率；在計(jì)算時(shí)，假定不同組間的代表機(jī)構(gòu)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法設(shè)m個(gè)代表機(jī)構(gòu)中，第i個(gè)代表機(jī)構(gòu)的破壞概率為Pfi，則結(jié)構(gòu)體系的可靠度為：(6–31)對(duì)應(yīng)的失效概率為：

(6–32a)當(dāng)Pfi很小時(shí)，得到如下的近似公式：(6–32b)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法PNET法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系可靠度的步驟如下：(1)列出各主要失效機(jī)構(gòu)及相應(yīng)的功能函數(shù)Zi，然后用一次二階矩法計(jì)算可靠指標(biāo)βi。把βi值由小到大進(jìn)行排列，并將所得序號(hào)作為機(jī)構(gòu)排列次序的依據(jù)。(2)選擇相關(guān)系數(shù)的定限值，作為判別各機(jī)構(gòu)間相關(guān)程度的依據(jù)。

(3)尋找m個(gè)代表機(jī)構(gòu)。取1號(hào)機(jī)構(gòu)（與最小可靠指標(biāo)對(duì)應(yīng)）作為第一代表機(jī)構(gòu)，然后用式(6–15)計(jì)算它與其余機(jī)構(gòu)的相關(guān)系數(shù)。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法若，則認(rèn)為第j個(gè)機(jī)構(gòu)與1號(hào)機(jī)構(gòu)高級(jí)相關(guān)，因而可被1號(hào)機(jī)構(gòu)代替；若則認(rèn)為它們之間低級(jí)相關(guān)，不能互相代替。再?gòu)氖Ｏ碌臋C(jī)構(gòu)中找出可靠指標(biāo)最小者作為第二個(gè)代表機(jī)構(gòu)，并找出所代替的機(jī)構(gòu)。重復(fù)以上過(guò)程，直到最后一個(gè)代表機(jī)構(gòu)確定為止。(4)用式（6–31）或（6–32），計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度或失效概率。

結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法由于PNET法考慮了各主要機(jī)構(gòu)間的相關(guān)性，因而計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度具有普遍的適用性。對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于各主要機(jī)構(gòu)的功能函數(shù)中一般包含相同的荷載變量和材料特性變量，所以各機(jī)構(gòu)間的相關(guān)系數(shù)通常較高，而代表機(jī)構(gòu)一般較少，這就使計(jì)算工作量大大地減少。至于PNET法所得結(jié)果具有較高的精確度這一點(diǎn)，也已被其它的精確方法所證實(shí)。基于上述優(yōu)點(diǎn)，PNET法已成為延性結(jié)構(gòu)體系可靠度分析的較常用方法。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法在PNET法中，采用ρ0作為衡量機(jī)構(gòu)相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)，因此ρ0的取值與所得的結(jié)構(gòu)體系可靠度密切相關(guān)。ρ0的取值取決于對(duì)結(jié)構(gòu)體系可靠度水平的要求，如結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、重要性等。若結(jié)構(gòu)體系中主要失效機(jī)構(gòu)的失效概率較大（為10-1），可取ρ0

=0.5；相反，若結(jié)構(gòu)體系中主要失效機(jī)構(gòu)的失效概率較?。?0-3

），可取ρ0

=0.7，若失效概率為10-4

，可取ρ0

=0.8，均可得到滿(mǎn)意的結(jié)果。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法5.蒙特卡羅法

用該法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度時(shí)，需要事先找出結(jié)構(gòu)體系所有的主要失效機(jī)構(gòu)及其對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)。蒙特卡羅法求結(jié)構(gòu)體系可靠度的步驟如下：(1)對(duì)于結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算中涉及到的一組隨機(jī)變量，按各自的分布規(guī)律產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)。用這些隨機(jī)數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的荷載效應(yīng)與抗力值，并得到各主要失效機(jī)構(gòu)的功能函數(shù)Zi值。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法在m個(gè)功能函數(shù)中，需逐個(gè)計(jì)算功能函數(shù)值，但當(dāng)出現(xiàn)某個(gè)功能函數(shù)值小于零時(shí)，該次抽樣計(jì)算即可中止。功能函數(shù)值小于零表示原結(jié)構(gòu)成為失效機(jī)構(gòu)。(2)重復(fù)步驟(1)的計(jì)算。設(shè)在n次抽樣計(jì)算中，結(jié)構(gòu)失效的樣本數(shù)m。(3)將結(jié)構(gòu)失效的樣本數(shù)m除以總樣本數(shù)n，即得結(jié)構(gòu)體系的失效概率Pf。(6–33)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法為了使蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果達(dá)到較好的精度，抽取樣本總數(shù)n必須大于出現(xiàn)一次Zi＜0所需要的平均樣本數(shù)的100倍，即：

(6–34)結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)特性的失效概率，表面上看沒(méi)有考慮各失效模式間的相關(guān)性，但實(shí)際上在計(jì)算工程中自然地滿(mǎn)足了功能函數(shù)的相關(guān)性條件，所以得到結(jié)果與精確解十分接近。因此，蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果常被視為結(jié)構(gòu)體系可靠度的準(zhǔn)精確解。然而，當(dāng)結(jié)構(gòu)體系很復(fù)雜時(shí)，計(jì)算工作量將非常繁重，這就限制了該方法的實(shí)際應(yīng)用。但對(duì)于比較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)體系，蒙特卡羅法還是一種行之有效的方法。結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法在以下的例題中均采用如下假設(shè)：(a)結(jié)構(gòu)是延性的；(b)變量均為正態(tài)分布；(c)結(jié)構(gòu)體系中，采用同一隨機(jī)變量表示的構(gòu)件強(qiáng)度，其抗力完全相關(guān)；采用不同變量表示的構(gòu)件強(qiáng)度，即使它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都相同，也認(rèn)為這些構(gòu)件間的抗力是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

返回目錄結(jié)構(gòu)體系可靠度的常用計(jì)算方法6.5桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例

例6–3

圖6–11所示等截面懸臂梁AB，承受荷載P

＝

(500，50)N，其塑性抗彎力矩為M（6000，500）N·m。試計(jì)算該梁的可靠度。

圖

6–11

解：根據(jù)彎矩的分布情況可知，本梁在A截面彎矩最大，設(shè)在該截面首先產(chǎn)生塑性鉸，相應(yīng)的功能函數(shù)為

ZA

＝

M–10P

查附表1得梁的可靠度為：Pr

＝92.1％對(duì)應(yīng)的可靠指標(biāo)為

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例由于桿件抗力的隨機(jī)性，不能排除梁在任一截面產(chǎn)生塑性鉸而成為機(jī)構(gòu)的可能性。因此，梁的可靠度計(jì)算，實(shí)際上也屬于結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算問(wèn)題。下面尋找梁AB的代表機(jī)構(gòu)。

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例考慮坐標(biāo)為x的任一梁截面，該截面產(chǎn)生塑性鉸的功能函數(shù)為：Zx

＝M–xP

兩個(gè)截面功能函數(shù)的相關(guān)系數(shù)為：桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例當(dāng)x

＝

0時(shí)，ρAx

＝

ρmin

＝

0.707。若取ρ0

＝

0.7，則所有的梁截面的功能函數(shù)都與A截面的功能函數(shù)高級(jí)相關(guān)，A截面出現(xiàn)塑性鉸就是梁結(jié)構(gòu)失效的唯一代表機(jī)構(gòu)。根據(jù)式(6–31)，可得梁的體系可靠度為92.1％（與A截面的可靠度相同）。當(dāng)桿件各截面的功能函數(shù)完全相關(guān)時(shí)，荷載效應(yīng)最大的截面的可靠度，即為該桿件的體系可靠度。

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例圖6–12例6–4

簡(jiǎn)支鋼梁AB如圖6–12所示。梁截面為50C工字鋼，截面模量S=2080

cm3腹板面積Aweb

＝

139

cm2。鋼梁的抗拉屈服極限為fy

＝

(19230

N/cm2，0.2)，均勻屈服剪應(yīng)力為τy＝(10000

N/cm2，0.25)；承受均布荷載W

＝

(20

kN/m，0.25)。設(shè)梁可能在彎曲、剪切或彎剪組合狀態(tài)下失效。求鋼梁的失效概率。

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例解：梁的塑性抗力矩M0的均值和變異系數(shù)分別為：

=192302080=4107N·cm=400kN·m桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例抗剪能力V0的均值和變異系數(shù)分別為：

假定各梁截面抗彎、抗剪的功能函數(shù)是高級(jí)相關(guān)的，于是梁在彎曲、剪切狀態(tài)下主要失效機(jī)構(gòu)的功能函數(shù)分別為：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例若將彎曲和剪切組合的失效標(biāo)準(zhǔn)定義為M／M0+V／V0≥1.0。對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)為：

在上述假定下，鋼梁彎曲失效在該梁的中間截面，剪切失效在鄰近支座處截面，而組合失效則在g3取得最小值或(M／M0+V／V0)取得最大值的截面，即離開(kāi)支座的距離為：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例在該截面處：

在W、M0、V0相互獨(dú)立的情況下，與彎曲和剪切對(duì)應(yīng)的失效概率分別為：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例組合失效模式的功能函數(shù)g3為非線(xiàn)性式，可采用JC法求可靠指標(biāo)，得到的結(jié)果如下：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例由于三種失效模式均來(lái)自相同的隨機(jī)變量，故存在著相關(guān)關(guān)系，根據(jù)系統(tǒng)可靠度計(jì)算的一般界限估計(jì)法,由公式(6–27)得Pf為：0.97×10–4≤Pf

≤2.6×10–4

下面再來(lái)討論窄界限范圍。由式(6–17)、(6–18)計(jì)算功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)ρij，得到的結(jié)果如下：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例為了計(jì)算P(EiEj)，先計(jì)算qi、qj值。對(duì)于失效模式1和2有：

由式(6–29)得：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例對(duì)失效模式1和3有：

從而得

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例再考慮失效模式2和3，有從而得

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例根據(jù)式(6–28)可得Pf算式為：以max[qi，qj]代替上式左邊的P(EiEj)，以qi+qj代替上式右邊的P(EiEj)，得：

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例即

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例例6–5

剛架如圖6–13a所示。已知隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)特性為：荷載P=(227，23)kN；豎直桿塑性抗彎力矩M1

＝

(553，

69)

kN·m；水平桿塑性抗彎力矩M2

＝

(1106，138)

kN·m；桿長(zhǎng)l

＝

3.06

m。求剛架的體系可靠度。圖

6–13桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例解：桿1和桿2的最大彎矩均出現(xiàn)在P的作用點(diǎn)A和B截面處，根據(jù)例6–3的討論可知，當(dāng)桿件截面的抗力完全相關(guān)時(shí)，A和B截面分別出現(xiàn)塑性鉸形成的兩個(gè)機(jī)構(gòu)即為剛架的主要失效機(jī)構(gòu)(圖6–13b、c)。利用虛功原理，得出與兩機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)分別為：桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例這兩個(gè)機(jī)構(gòu)間的相關(guān)系數(shù)為：

相關(guān)系數(shù)值很小，說(shuō)明這兩個(gè)機(jī)構(gòu)屬于低級(jí)相關(guān)，可以近似地認(rèn)為它們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例將這兩個(gè)機(jī)構(gòu)作為代表機(jī)構(gòu)，由式(6–31)求得剛架的體系可靠度為：

分別計(jì)算與這兩個(gè)機(jī)構(gòu)的可靠度，得到：桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例例6–6

單跨兩層剛架如圖6–14a所示。已知各隨機(jī)變量及統(tǒng)計(jì)特性，鉛直桿的抗彎力矩為M1=(111，16.7)kN

·

m；水平桿的抗彎力矩為M2=(277，41.5)kN

·

m；荷載F1=(91，22.7)kN

/

m；F2=(182，27.2)kN

/

m；P=(15.9，4)

kN。求剛架的體系可靠度。桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例圖

6–14

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例解：剛架可能出現(xiàn)塑性鉸的位置如圖6–14b所示，共有14個(gè)。剛架有6個(gè)多余約束，根據(jù)失效樹(shù)法可確定剛架的主要失效機(jī)構(gòu)為8個(gè)，相應(yīng)的功能函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的可靠指和失效概率列于表6–2。若相關(guān)系數(shù)的定限值為ρ0

＝0.7，必須計(jì)算的相關(guān)系數(shù)如表6–3所示。代表機(jī)構(gòu)為1、2和5。桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例如果選取ρ0

＝

0.6，得到的相關(guān)系數(shù)如表6–4所示，代表機(jī)構(gòu)為1和5。由PNET法計(jì)算的結(jié)果為：

比較上述結(jié)果可見(jiàn)，ρ0的取值小，得出的失效概率亦小，計(jì)算結(jié)果則偏于危險(xiǎn)。

用PNET法計(jì)算剛架體系的可靠度，得：桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例表6–2機(jī)構(gòu)塑

性

鉸

功

能

函

數(shù)

Zi

βi

15,6,74M2-F2l2/22.981.4410–3

21,2,4,6,8,96M1+2M2-3l1P-F2l2/23.061.1110–3

31,2,4,6,7,84M1+3M2-3l1P-F2l2/23.220.6410–3

43,4,6,8,94M1+2M2-F2l2/23.280.5210–3

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例機(jī)構(gòu)塑

性

鉸

功

能

函

數(shù)

Zi

βi

51,2,3,44M1-3l1P3.380.3610–3

61,2,4,6,9,10,118M1+2M2-4l1P-F2l2/23.500.2310–3

71,2,6,7,11,134M1+6M2-4l1P–F1l2/2-F2l2/23.640.1410–3

81,2,6,7,10,114M1+4M2-4l1P-F1l2/23.720.1010–3

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例表6–3機(jī)構(gòu)1234567811.00.690.880.830.000.600.910.902

1.0——0.670.99——5

1.0———桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例表6–4機(jī)構(gòu)1234567811.00.690.880.830.000.600.910.902

1.00

桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例本例用一般界限法得到的結(jié)果為：

用窄界限法得到的結(jié)果為：

用蒙特卡羅法，模擬計(jì)算的樣本總數(shù)為160000次，得到的結(jié)果為：Pf=0.0025返回目錄桿件及桿系結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算實(shí)例6.6重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例

例6–7

混凝土重力壩的斷面圖如圖6–15所示?？紤]下列隨機(jī)變量：混凝土的抗拉強(qiáng)度Rt、、抗壓強(qiáng)度Rc，壩上游水位H，混凝土容重γ，壩頂附加荷載Q，建基面摩擦系數(shù)f和粘聚力C。求重力壩單位長(zhǎng)度壩段的可靠度。

圖

6–15重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例解：設(shè)各隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性如表6–5所示。以V表示鉛直力、H0表示水平力、M表示力矩、U表示揚(yáng)壓力。壩段的受力情況及揚(yáng)壓力分布見(jiàn)圖6–15，各力與力矩的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6–6。由表6–6的計(jì)算結(jié)果可進(jìn)一步得到：

重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例根據(jù)材料力學(xué)方法可得上游壩踵、下游壩趾的應(yīng)力計(jì)算公式：

式中T

＝40m為壩底寬度。將有關(guān)量代入上式得壩踵、壩趾處的應(yīng)力（以壓為正）如下：下游壩趾：上游壩踵：重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例表6–5變量均值變異系數(shù)分布Rc1500kN

/

m20.22正態(tài)Rt900kN

/

m20.39正態(tài)H50m0.06正態(tài)γ24kN

/

m20.03正態(tài)F1.20.30正態(tài)C100kN

/

m20.50正態(tài)Q250kN0.35正態(tài)重力壩、擋土墻可靠度計(jì)算實(shí)例表6–6項(xiàng)目

力（kN）

力臂(m)

力矩(kN

·

m)

V1(5×50×r)/2=125r16.667–2083.38r

V2(35×50×r)/2=875r3.333–2916.38r

V3(15×H×10)/2=25H18.333–458.3H

V4Q13.5–13