靜電場的基本規(guī)律大學(xué)物理重點章節(jié)

第章

靜電場基本規(guī)律◆本章習(xí)目標(biāo)1．理解電的量子化和電荷守恒定律；掌握庫侖定律的內(nèi)容。2．理解靜場的概念，掌握電場強(qiáng)度和電位的概念、電場強(qiáng)度和電位疊加原理、二者的計算方法以及它們之間的聯(lián)系。3．掌握高定理和靜電場的環(huán)路定理的內(nèi)容，會用高斯定理計算電場強(qiáng)度分布?！舯菊聦W(xué)內(nèi)容1．電荷的子化和電荷守恒定律；庫侖定律；電場強(qiáng)度及其計算。2．電場線電場強(qiáng)度通量；高斯定理及其應(yīng)用。3．電場力功的特點；靜電場的環(huán)路定理；電勢和電勢差；電勢疊加原理及電勢的計算。4．等勢面電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系；利用電勢求電場強(qiáng)度的分布的計算方法?！舯菊聦W(xué)重點1．庫侖定；靜電場；電場強(qiáng)度及其計算。2．高斯定的內(nèi)容及其應(yīng)用。3．電場力功的特點；電勢和電勢差的概念；電勢的計算方法。4．等勢面概念；電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系?！舯菊聦W(xué)難點1．電場強(qiáng)及其計算。2．高斯定及其應(yīng)用。3．電勢的算。4．電場強(qiáng)和電勢的關(guān)系?！舯菊铝?xí)方法建議1．正確理靜電場、電場強(qiáng)度、電勢和電勢差的概念。2．掌握庫定律的矢量表達(dá)式，明確“點電荷”的概念和庫侖定律的適用條件。3．明確電強(qiáng)度是矢量，而電勢是標(biāo)量，前者服從矢量疊加原理，后者服

從標(biāo)量疊加原理；注意理解掌握電場強(qiáng)度和電勢間的關(guān)系。4．結(jié)合實，透徹分析、理解高斯定理的物理意義，明確應(yīng)用高斯定理求解場強(qiáng)的條件。參考資料程守洙《普通物理學(xué)五版三慧《大學(xué)物理基礎(chǔ)學(xué)》及馬文蔚《物理學(xué)教程》等教材。

原子核原子核§

電荷

電場一、電

電荷量帶電體：處于帶電狀態(tài)的物體稱為帶電體。自然界的電荷

：絲綢擦的玻棒上同的荷負(fù)電：與皮擦過的橡棒上同電荷

(解釋摩擦帶電的原因)電力：帶電體之間的相互作用力；同種電荷相排斥，異種電荷相吸引。電荷電荷量)：表示物體所帶電荷的多寡程度的物理量。二、電的量子化原子結(jié)構(gòu)：(正電)中子不電原子電負(fù)電原子核外的電子數(shù)目等于原子核內(nèi)的質(zhì)子數(shù)目，原子呈電中性；若原子或分子由于外來原因失去(或得到)電子，就成為帶正電(或帶負(fù)電)的離子。自然界中電子或質(zhì)子所帶電荷是最小的：電子e

質(zhì)子1.6

C電荷的量子化所有帶電體或其它粒子所帶電量都是電子或質(zhì)子所帶電量的整數(shù)倍，是以不連續(xù)的量值出現(xiàn)的。說明：由于電子的電荷量很小，所以在對宏觀帶電體的電現(xiàn)象進(jìn)行研究時，可以不考慮電荷的量子性例說明）三、電守恒定律如圖為感應(yīng)起電現(xiàn)象：當(dāng)帶正電的玻璃棒A移B端時B,C因感應(yīng)而帶電帶負(fù)電C帶正電這時將兩部分分開，再撤走A，兩部分帶等量的

異號電荷，這既是所謂的“感應(yīng)起電”現(xiàn)象。實驗表明：在感應(yīng)起電過程中所得到的兩部分電荷是相同的。舉一些表明電荷守恒的例子)電荷守恒定律電荷只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分或者說在一個與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)內(nèi)無論發(fā)生怎樣的物理過程，該系統(tǒng)電荷的代數(shù)和保持不變。四、電“超距作用點個帶電體所受到的電力是由另一個帶電體直接給予的。這種作用既不需要中間物質(zhì)進(jìn)行傳遞也不需要時間而是從一個帶電體立即到達(dá)另一個帶電體。電荷

電場“場”作用觀點：兩個電荷之間相互作用是由電場傳遞的，需要時間。場是一種物質(zhì)，具有能量、動量和質(zhì)量。電場力當(dāng)物體帶電時就在它的周圍激發(fā)電場處在電場中的電荷將受到力的作用，這種力叫做電場力。電荷

電場

電荷靜電場：相對于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場。靜電場的主要對外表現(xiàn)：1．引入電中的任何帶電體都將受到電場所作用的力2．電場能引入電場中的導(dǎo)體或電介質(zhì)分別產(chǎn)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象或極化現(xiàn)象3．當(dāng)帶電在電場中移動時，電場所作用的力將對帶電體做功，這表示電場具有能量。

=§9.2

庫侖定一、點荷之間的作力點電荷（理想模型當(dāng)帶電體的線度（形狀、大?。?lt;<ｒ（帶電體之間的距離）時，就可以把帶電體視為點電荷。真空中的庫侖定律：真空中的兩個點電荷之間的相互作用力大小與兩電荷的電荷量的乘積成正比與兩電荷之間的距離的平方成反比向沿其連線方向，同號相排斥，異號相吸引，這種相互作用力稱為庫侖力或靜電力。矢量式：qqqqFk2rk1rrr321在國際單位制中,k

14

0

(N

0

8.85(C

稱為真空的介電常數(shù)，是表征真空特性的物理量。其中Fq的作用力，r為q指方向的矢徑。212

的方向：當(dāng)q同號時，表現(xiàn)為斥力，方向方向；1當(dāng)q異號時，表現(xiàn)為引力，方向的反方向。1因此，

F21★注意：庫侖定律的使用條件：（1）點電荷（2）必須是靜止的點電荷。二、疊原理實驗表明：庫侖力滿足疊加原理。疊加原理的內(nèi)容對多個點電荷的系統(tǒng)其中任一點電荷所受的靜電力等于其它點電荷單獨存在時作用于該電荷上的靜電力的矢量和。如圖所示有n個點電荷組成的系統(tǒng)另有點電荷受到這個點電荷的作用，根據(jù)疊加原理，則點電荷q所受的庫侖力為

rr2i其中

i

為i個點電荷的作用力。三、電質(zhì)中的庫侖律無限大均勻電介質(zhì)中的庫侖定律：

F

qq2r

r其中

r

為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)，描述了電介質(zhì)的性質(zhì)，無量綱。r

稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)為真空中的介電常數(shù)。0

0000§

電場強(qiáng)

場的疊原理一、電強(qiáng)度把試探電放入電場的某點，實驗發(fā)現(xiàn)：0（1）在給定電場中的同一點，分別放入電荷不同的試探電，結(jié)果發(fā)現(xiàn)0Fq所受電場力的大小q電荷的增減而增減，但比值不變。q0F（2）對于電場中不同的點，比值一般情況下并不相同。q0電場強(qiáng)度：

E

（1）在數(shù)值和方向上等于處在該點的單位正電荷所受到的庫侖力的大小和方向。在，場強(qiáng)單位：N勻強(qiáng)電場：電場中各點場強(qiáng)的大小和方向都相同。電場力：qE★試探電應(yīng)滿足下列條件：0

（2）1．必須是何線度足夠小的點電荷，以便能用它來確定電場中每一點的性質(zhì)。2電量必須充分小其引入電場后對原電荷及電場的分布的影響可以忽略。二、點荷的電場如圖所示設(shè)真空中有一點電荷其周圍空間內(nèi)的電場分布計算如下：在q為r處的P點（場點）放一試探電荷，則q所受的電場力00為F

1

qqqqrr34

r0

r4r4r0n根據(jù)電場強(qiáng)度的定義可得P點的場強(qiáng)為E

4

0

rr2其中r為從q指向場點方向上的單位矢量。的方向

0,E沿r方向若q0,E沿r反方向如果點電荷q置在無限大的均勻電介質(zhì)中，電介質(zhì)的介電常數(shù)為間各點的場強(qiáng)為

，則空1r20三、場疊加原理

（3）在點電荷系qq，?的電場中，試探電所受的電場力等于各個12點電荷單獨存在時q的作用力F，，?F的矢量和，02n1i由場強(qiáng)的定義，可得，nq0即E1

n

（4）（）式表明：電場中任一點處的總場強(qiáng)等于各點電荷單獨存在時在該點所產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和，即場強(qiáng)疊加原理。利用疊加原理，原則上可以計算任何帶電體系所產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)分布。點電荷系的場強(qiáng)公式：設(shè)點電荷系q，?處于真空中，各點電荷到場點的矢徑分別12為rr，?，各點電荷在激發(fā)的場強(qiáng)分別為，n1

1q1r，220

1q2r，?2n0

1qnr4r20n

00由場強(qiáng)疊加原理，P的總場強(qiáng)為，

1

i

qirr0ii

（5）若點電荷系處在無限大的均勻電介質(zhì)中，則，

1

irr0iii

（6）四、連分布電荷的強(qiáng)雖然電荷是量子化的，但從宏觀來說，一般帶電體可以忽略電荷的量子性，視其電荷分布為連續(xù)分布。任意帶電體可連續(xù)分割為無數(shù)電荷dq的微小帶電體的集合，dq（視為點電荷）在場點P的場強(qiáng)為

14

0

dqrr20

（7）由場強(qiáng)疊加原理，帶電體在P的總場強(qiáng)為，dE

dqrr20

（8）在實際問題中帶電體按其形狀特點其電荷分布可簡化為體分布面分布和線分布。1．電荷分為體分布的帶電體在空間激發(fā)的場強(qiáng)對于電荷的體分布，可取

，其中

為電荷的體密度，dV為物理小體元，帶電體在點激發(fā)的場強(qiáng)為dE

V

0

（9）2．電荷分為面分布的帶電體在空間激發(fā)的場強(qiáng)對于電荷的面分布可取帶電體在點激發(fā)的場強(qiáng)為

其

為電荷的面密度，為小面元，

00r00

（103．電荷分為線分布的帶電體在空間激發(fā)的場強(qiáng)

dl中取dq為電荷的線密度，dl為小線元，帶電體在

點激發(fā)的場強(qiáng)為r0L

（11★注意：在具體計算中，應(yīng)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫在坐標(biāo)軸方向上的分量式，分別積分計算E的各分量，在合成矢量。五、電求解問題例題1

一對等量異號點電荷，相距l(xiāng)求其連線的延長線和中垂線上一點的場強(qiáng)。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系（1）其連線的延長線上任一點的場強(qiáng)：在延長線上任取一點P產(chǎn)生的場強(qiáng)方向相反，大小分別為E

0

qq,ll(x24)22

2則點的合場強(qiáng)的大小為，EE

0

ql(x)2

2

4

0

ql(x)2

2

4

0

2l2(x)4

2在xl/2處，

2ql4x0

3（2）其連線的中垂線上任一點的場強(qiáng)：在中垂線上任取一點PE大小相等，方向關(guān)于x軸對稱，因此

兩矢量在y軸方向上的投影互相抵消，在x軸方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x軸的負(fù)方向。則P點處的合場強(qiáng)的大小為，E2

qll2

其中，cos

y

ll)4

q(y

l24

)在yl處，

ql40

y

3電偶極子：若兩電荷間的距離遠(yuǎn)小于它們到場點的距離，這樣的電荷系統(tǒng)稱為電偶極子。電偶極矩矢量（pql

其l的大小為兩電荷之間的距離，l的方向由負(fù)電荷指向正電荷。p描述了電偶極子本身的特性?；诖?，上面的結(jié)果可記為，在延長線上，

2p40

3在中垂線上，

p0

y

3例題2真空中一均勻帶電直線，常為L帶電荷為Q求直線外一點處的場強(qiáng)。P點到直線的距離,直線兩端點的連線與直線的夾角分別

1

。2解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，此為電荷連續(xù)分布問題。在直線上距原Oy處，取電荷元/L)其在處產(chǎn)生的場強(qiáng)dq大小為，4400的分dEdE分別為xy

3

yEyEdEdEsinx

dEdEcos如圖所示，由幾何關(guān)系可知，ycot,acsc,r

asin

代入得，x

4

0

sin,dEa

0

a

cos兩式積分得，Ex

x

4

0

a

sin

4

0

a

cos

1

)2yy

0

a

0

a

(cos2點處的總場強(qiáng)大小為，E

x

22y若均勻帶電直線是無限長的，

1

則2Ex

0

a六、電的圖示法—場線電荷之間的相互作用是通過電場來傳遞的了形象地描述場強(qiáng)的大小和方向，引入電場線。電場線在電場中做一些有方向的曲線讓曲線上每點的切線方向和該點的場強(qiáng)方向一致，這樣的曲線叫做電場線。為了使電場線不僅能表示場強(qiáng)的方向還可以表示場強(qiáng)的大小引入了電場線密度的概念。電場線密度：通過與該點電場方向垂直的單位面積上的電場線條數(shù)。在作電場線時使電場中任一點的電場線密度與該點的場強(qiáng)大小成正比即

這樣，場強(qiáng)的大小就可以用電場線的疏密程度反映出來。

幾種簡單電場的電場線圖：正點電荷

負(fù)點電荷兩個等值異號點電荷

兩個等值同號點電荷靜電場的電場線的兩條最重要的性質(zhì)：（1）電場線起始于正電荷（或來自于無窮遠(yuǎn)止于負(fù)電荷（或伸向無窮遠(yuǎn)在沒有電荷的空間里，電場線既不會相交也不會中斷。（2）電場線不構(gòu)成閉合曲線（或者說電場線上各點的電位沿電場線方向不斷減小

§9.4

高斯定一、電量為了進(jìn)一步研究電場的性質(zhì)，我們利用電場線來引入電通量的概念。電通量：穿過電場中某曲面的電場線條數(shù)。表示。e1．電場對曲面的電通量如下圖（）所示，設(shè)電場為勻強(qiáng)電場，根據(jù)電場線密度的定義，穿過垂直于電場（）

(b)方向的平面S的電通量為

(1)若平面與E不垂直面法向矢n與E方向圖(所示，則穿過的電通量

(2)如果是非勻強(qiáng)電場，并且S面也不是平面，而是一個任意曲面，如圖（c）所示。先求出上任一面的電通，即eEdS

式為面dS的法向矢量n與該處場強(qiáng)間的夾角。則通過整個曲面S電通，為ee

(3)

（c）式中，常叫做面元矢量。2．電場對閉曲面的電通量對于電場中的封閉曲面規(guī)定曲面上面元的法向為由內(nèi)指向曲面外則其電

通量為e

E

EdS

(4)★注意：在電場線穿入曲面處，電通量為負(fù)；e在電場線穿出曲面處二、高定理

，電通量為正。e高斯定理是靜電場理論中描述電場性質(zhì)的基本定理。高斯定理的內(nèi)容在電場中通過一任意閉合曲面電通量等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)q除

0

，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為e

q

(5)式是閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和。內(nèi)對高斯定理的簡單討論：1．點電荷電場在點電荷q電場中，以q為中心，以任意長r為半徑，作一球面，如圖所示。點電荷q電場具有球?qū)ΨQ性，在球面上各點的大小都是方向沿矢徑方向處r20與球面正交（式可求得通過球面的電通量為，

SS

14

qr

S

q若曲面為任意形狀，如圖示的s，我們總可以選擇適當(dāng)?shù)陌?徑作一球面，將曲面包圍，由于電場線連續(xù)通過，因而通過兩曲面ss的電通量必定相等，都1

SSSS等于

。當(dāng)點電荷位于曲面之外時如圖所示可以看出進(jìn)入和穿出曲面的電場線條數(shù)相等。由于進(jìn)入電通量為負(fù)

穿出為正，所以總電通量為零。2．任意帶體系的靜電場當(dāng)閉合曲面內(nèi)包圍多個點電荷時，由于場強(qiáng)滿足疊加原理，所以，12n在電場中任取一閉合曲通S面的電通量為e22en式中的q僅指被包圍S內(nèi)的那部分電荷的代數(shù)和。ii

ii上式表明干點電荷存在時的電通量等于每一點電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)通過該閉合曲面電通量的代數(shù)和。高斯定理的意義：（1）指明了靜電場中電場對任意閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)的電荷之間的量值關(guān)系。（2）揭示了電場與場源之間的聯(lián)系，說明靜電場是有源場。三、高定理的應(yīng)用例1求均勻帶正電球面內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球面半徑為R，帶電，如圖所示。解：首先給學(xué)生分析解題思路。作與球殼同心且半徑為r的球形高斯面通過其上為

Ecos

ds4

2由高斯定理得，

42

0

E

0

r

r2rR時則內(nèi)

3qr3qrEr,(r)r2r時q，則r)結(jié)果表明均勻帶電球面內(nèi)部無場強(qiáng)球面外部的場強(qiáng)與球面上電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場相同。例2求均勻帶電球體內(nèi)外的電場分布球體的半徑為R，所帶電荷q，如圖所示。解：為中心，以r為半徑作球形高斯面，如圖所示，通過高斯面上的電通量為，

E

E

E4

r

由高斯定理得

42

0

E

0

r

r2當(dāng)

rR

時，

q

，

則

4

r

r()r時q內(nèi)43

q4qr3則333qrrr.(r04000例3求均勻無限長帶電直細(xì)棒的電場中的場強(qiáng)分布。設(shè)棒上線電荷密度為如圖所示。解：分析：以棒為軸線，作半徑為r圓心在細(xì)和dq

棒上的圓環(huán)環(huán)面兩側(cè)對稱地取電荷元。由于對稱，它們在環(huán)上任一P發(fā)的場

0000沿環(huán)的徑向方向于個帶電細(xì)棒可看成由一對對O對稱的電荷元組成，故整個帶電直細(xì)棒在圓環(huán)上各點的電場均沿徑向且大小相等。取以棒為軸，以r為底面半徑l為高作圓柱形高斯面，則通過圓柱形高斯面的電通量為

E

E

E

E

側(cè)面

上底

下底由上面的分析可知，對于上下地面來說2，所以，上式可化為

Ecos

側(cè)面利用高斯定理，可得，rlE,r200例4求均勻帶電的無限大平面的場強(qiáng)分布。設(shè)電荷面密度為

，如圖所示。解：電場分布關(guān)于帶電平面對稱，場強(qiáng)方向垂直于平面（分析作如圖所示的圓柱形高斯面，且兩底面到帶電面的距離相等。利用高斯定理可得

cos

側(cè)面

對于側(cè)面來說，2所以上式可化為12

0所以

0式n為背離帶電平面的單位矢量。

rbbbnrbbbn§

電場力功

電勢一、電力的功1．在點電Q的電場中，電場力對試探電作的功。q從電場中的點沿任意路徑移動到b，電場力作的元功為dAqq

dl1Qqcosr20

14r20

dr式中dl

drq從電場中的a沿任意路徑移動到點時，電場力所作的總功為

dA

4

r

drr4rrab

（1）2．在任意電荷系的電場中，電場力對試探電q所作的功（推廣ab

a

q(E12n

bqE12

naA1

11i()4rriiaib（2）★結(jié)論：試驗電荷在任何靜電場中移動時，靜電場力所做的功只與路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)，說明靜電場力是保守力。

qq3．靜電場環(huán)路定理如圖所示試探電電場中的a經(jīng)路經(jīng)L到b再從b點L回12到a點，在這一閉路徑中電場力所作的功為EaLL

L

aL

EaL

由于電場力做功與路徑無關(guān)，所以

ba

E,aLLL

（）★靜電場的環(huán)路定理）揭示了靜電場的能量的性質(zhì)2表明靜電力是保守力。二、電能（電位能由于電場力是保守力，在描述靜電場的性質(zhì)時，引入電勢能的概念。由勢能的定義，我們可知，靜電力的功靜電勢能增量的負(fù)值。分別為試探電在起點a終點的電勢能，則，aab

Ecos

（4）對于電勢能，通常規(guī)定電在無窮遠(yuǎn)處的靜電勢能為，即令，則電電場中a的靜電勢能為dl

（5）★注意1電勢能有正有負(fù)（2）電勢能是屬于一定系統(tǒng)的。三、電、電勢差W由（5）式知，比值無關(guān)，只決定于電場的性質(zhì)以及場中給定點的位置。W電勢：a，是表征靜電場中給定點電場性質(zhì)的物理量。

aacosU

a

表示a的電勢，則Wa

a

E

dl

（6）電場中某點的電勢在量值上等于放在該點處的單位正電荷的電勢能等于單位正電荷從該點經(jīng)過任意路徑到無窮遠(yuǎn)處電場力所作的功。單位：伏特（V）★注意：電勢是標(biāo)量，可正可負(fù)。電勢差（電壓在靜電場中，任意兩點和的電勢之差。aba

b由（6）式知，

ba

Ecos

（7）由（7）式知：在靜電場中兩點間的電位差，在數(shù)值上等于把單位正電荷從a點移到b點時，電場力所作的功。因此，當(dāng)任一電q在電場中從a移到點時，電場力所作的功為()abb

（8）★注意：在實際應(yīng)用中，用到的往往是兩點間的電勢差，而不是某一點的電勢，因此電勢為零的點是可以任意選取的。四、電求解問題1．點電荷場中電勢的分布設(shè)有點電q無限大均勻電介質(zhì)中產(chǎn)生電場電場中任一點P的（以無窮遠(yuǎn)處為電勢能的零點）為U

Qdr4

r

（9）式中r為P點到的距離為電介質(zhì)的介電常數(shù)。由（9）式可知，帶正電，各點電勢也是正，離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越低，無窮遠(yuǎn)處電勢為零，是電勢的最小值；若帶負(fù)電，各點電勢是負(fù)的，離點電荷越遠(yuǎn)，電勢越高，無窮遠(yuǎn)處電勢為零，是電勢的最大值。若在真空中，則電場中任一點電勢為，

nnnnnnUP

P

cos

4

0

r

（102．點電荷的電場中各點的電勢在點電荷，?的電場中，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，可推知電場中2任一點的電勢為，

i

i

niri0i

,(真)

（）iii

i

ri

（12電勢疊加原理n個點電荷在某點產(chǎn)生的電勢于各個點電荷單獨存在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。3．電荷連分布的帶電體的電場中各點的電勢對于連續(xù)分布的帶電體，電場中任一點的電勢為，UP

dq4o

r

真空中)

（）UP

dq

無限大均勻電介質(zhì)中）r

（14例題1求距偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)處一點的電勢。解：如圖所示，設(shè)偶極子中點O與場點的距離為rrlOPl的夾角，根據(jù)電勢疊加原理，則P勢為，UP

q4

qr401

r0

q(r)214012因rl所以rcos2

，rrr12

2則

UP

qlco4r0其r22y

x

x2y

1211112111U

0

px(x2

32例題2求均勻帶電圓環(huán)軸線上距環(huán)心x處的電勢。設(shè)圓環(huán)半徑為R，帶電荷為。解：如圖所示，在環(huán)線上取一線元dl，帶電荷為，dq

q

dl在軸線上點的電勢為，dU

0

r

0

整個帶電圓環(huán)在點的電勢為，U0

4

0

2

4

0