高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)16軌跡方程的求法

PAGEPAGE6軌跡方程的求法1．直接法求軌跡方程1．已知平面上兩定點、，為一動點，滿足．求動點的軌跡的方程．【答案】．【解析】設(shè)，由已知，，，得，，∵，∴，整理得，即動點的軌跡為拋物線，其方程為．2．雙曲線的兩焦點分別是、，其中是拋物線的焦點，兩點、都在該雙曲線上．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求點的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線．【答案】（1）；（2）直線或橢圓，除去兩點、．【解析】（1）由得，焦點．（2）因為A、B在雙曲線上，所以，．①若，則，點的軌跡是線段AB的垂直平分線，且當(dāng)時，與重合；當(dāng)時，A、B均在雙曲線的虛軸上，故此時的軌跡方程為；②若，則，此時，的軌跡是以A、B為焦點，，，中心為的橢圓，其方程為，故的軌跡是直線或橢圓，除去兩點、．2．定義法求軌跡方程1．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線．【答案】，橢圓．【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得，，當(dāng)與相切時，有①當(dāng)與相切時，有②將①②兩式的兩邊分別相加，得，即③移項再兩邊分別平方得④兩邊再平方得，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓．2．已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得，．．∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12，故所求軌跡方程為．3．一動圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是（）拋物線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】D【解析】令動圓半徑為R，則有，則，滿足雙曲線定義，故選D．3．相關(guān)點法求軌跡方程1．點是橢圓上的動點，為定點，求線段的中點的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點坐標(biāo)為（x0，y0），則由M為線段AB中點，可得，即點B坐標(biāo)可表為，，，，．2．雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)點坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴，∴已知雙曲線兩焦點為，∵存在，∴，由三角形重心坐標(biāo)公式有，即，∵，∴，已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有，即所求重心的軌跡方程為．3．如圖，從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)，則．在直線上，①又，得，即．②聯(lián)解①②得，又點在雙曲線上，，化簡整理得，此即動點的軌跡方程．4．參數(shù)法求軌跡方程1．過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程．【答案】．【解析】設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為．直線OA的方程為，由，解得，即，同理可得．由中點坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點的軌跡方程．2．設(shè)點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【答案】M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．【解析】解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)(x≠0)，直線AB的方程為x=my+a，由OM⊥AB，得，由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0，所以，，所以，由OA⊥OB，得，所以，故，用代入，得，故動點M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．解法二：設(shè)OA的方程為，代入得，則OB的方程為，代入得，∴AB的方程為，過定點，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外），故動點M的軌跡方程為，它表示以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．解法三：設(shè)，OA的方程為，代入得，則OB的方程為，代入得，由OM⊥AB，得：M