石大數(shù)學(xué)史概論教案08 19世紀的代數(shù)

第八講：19世紀的代數(shù)代數(shù)學(xué)的新生，突破傳統(tǒng)，表現(xiàn)在方程與根、數(shù)系擴張、行列式與矩陣、布爾代數(shù)、代數(shù)數(shù)論等方面。介紹了數(shù)學(xué)家高斯（德，1777－1855年）、阿貝爾（挪，1802－1829年）、伽羅瓦（法，1811－1832年）、費馬（法，1601－1665年）和布爾（英，1815－1864年）的生平和數(shù)學(xué)貢獻。1、代數(shù)方程根式解19世紀初代數(shù)學(xué)研究的注意力仍是解代數(shù)方程，關(guān)注于五次或高于五次的代數(shù)方程上。1799年高斯（德，1777－1855年）提交了他的博士論文，證明了代數(shù)基本定理：任一多項式都有根。高斯（德，1777－1855年）簡介。高斯，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻，他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發(fā)表出來?！皩幙缮傩?，但要好些”。高斯幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，11歲發(fā)現(xiàn)了二項式定理，1795年進入格廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1976年發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法。高斯用代數(shù)的方法解決二千多年來的幾何難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正17邊形刻在他的墓碑上，但后來墓碑上并沒有刻上17邊形，而是17角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正17邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。郵票：高斯和正十七邊形（民主德國，1977）。圖片：高斯墓。在解出三、四次方程后的整整兩個半世紀內(nèi)，很少有人懷疑五次或高于五次的代數(shù)方程根式解的可能性。歷史上第一個明確宣布“不可能用根式解四次以上方程”的數(shù)學(xué)家是拉格朗日（法，1736－1813年），1770年拉格朗日《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》提出預(yù)解式，適用于三、四次方程，不適用于五次方程，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在，“好象是在向人類的智慧挑戰(zhàn)”。1799年魯菲尼（意，1765－1822年）定理。1824年阿貝爾（挪，1802－1829年）《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》嚴格證明了以下事實（阿貝爾定理）：如果方程的次數(shù)大于4，并且系數(shù)看成是字母，那么任何一個由這些字母組成的根式都不可能是方程的根。翻開近世數(shù)學(xué)的教科書和專門著作，阿貝爾這個名字是屢見不鮮的，很少幾個數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近世數(shù)學(xué)中這么多的概念和定理聯(lián)系在一起。然而這位卓越的數(shù)學(xué)家卻是一個命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社會并沒有給他的才能和成果以公正的承認。16歲那年，他遇到了一個能賞識其才能的老師霍姆伯介紹他閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著作，受益良多，后來他寫道：“要想在數(shù)學(xué)上取得進展，就應(yīng)該閱讀大師的而不是他們的門徒的著作”。1821年，阿貝爾進入奧斯陸大學(xué)學(xué)習(xí)。1823年，他開始研究一般五次方程問題，遭遇失敗后開始懷疑一般五次方程究竟是否可解？問題的轉(zhuǎn)換開拓了新的探索方向，他終于成功地證明了要像較低次方程那樣用根式解一般五次方程是不可能的。1825年8月阿貝爾開始歷時兩年的歐洲大陸之行。躊躇滿志的阿貝爾把自費印刷了證明五次方程不可解的論文作為晉謁大陸大數(shù)學(xué)家們，特別是高斯，的科學(xué)護照。他相信高斯將能認識他工作的價值而超出常規(guī)地接見。但看來高斯并未重視這篇論文，因為人們在高斯死后的遺物中發(fā)現(xiàn)阿貝爾寄給他的小冊子還沒裁開。雖然等候高斯召見的期望終于落空，這一年卻是他一生中最幸運、成果最豐碩的時期。在柏林，阿貝爾遇到并熟識了克雷勒（一個鐵路工程師，一個熱心數(shù)學(xué)的業(yè)余愛好者），克雷勒將阿貝爾的論文載入《純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（克雷勒雜志）。阿貝爾一生最重要的工作——關(guān)于橢圓函數(shù)理論的廣泛研究就完成在這一時期。相反，過去橫遭冷遇，歷經(jīng)艱難，長期得不到公正評價的，也就是這一工作?，F(xiàn)在公認，在被稱為“函數(shù)論世紀”的19世紀的前半葉，阿貝爾的工作（后來還有雅可比（德，1804－1851年））是函數(shù)論的兩個最高成果之一。阿貝爾把這些豐富的成果整理成一長篇論文《論一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》。此時他放棄了訪問哥延根的打算，把希望寄托在法國的數(shù)學(xué)家身上。他從柏林啟程前往巴黎。1826年7月，阿貝爾抵達巴黎。在這世界最繁華的大都會里，薈萃著像柯西（1789－1857年）、勒讓得（1752－1833年）、拉普拉斯（1749－1827）、傅立葉（1768－1830年）、泊松（1781－1840年）這樣一些久負盛名的數(shù)字巨擘，阿貝爾相信他將在那里找到知音。他見到了那里所有出名的數(shù)學(xué)家，他們?nèi)急虮蛴卸Y地接待他，然而卻沒有一個人愿意仔細傾聽他談?wù)撟约旱墓ぷ?。在這些社會名流的高貴天平上，這個外表靦腆、衣著寒酸、來自僻遠落后國家的年輕人能有多少份量呢？他只好通過正常渠道將論文提交法國科學(xué)院?？茖W(xué)院秘書傅立葉讀了論文的引言，然后委托勒讓得和柯西負責審查，毫無音信。阿貝爾在巴黎空等了將近一年，又得了肺病，心力交瘁，只好拖著病弱的身體，告別巴黎回國。繼那篇主要論文之后，阿貝爾又寫過若干篇類似的論文，都在“克雷勒雜志”上發(fā)表了。阿貝爾最終畢竟還是幸運的，他回挪威后一年里，歐洲大陸的數(shù)學(xué)界漸漸了解了他，他已成為歐洲眾所矚目的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家之一。遺憾的是，他處境閉塞，對此情況竟無所知，甚至連他想在自己的國家謀一個普通的大學(xué)教職也不可得。1829年1月，阿貝爾的病情惡化，他開始大口吐血，并不時陷入昏迷。1829年4月6日，這顆耀眼的數(shù)學(xué)新星便過早地殞落了。阿貝爾死后兩天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大學(xué)已決定聘請他擔任數(shù)學(xué)教授。1908年維格蘭（挪，1869－1943年）雕塑的阿貝爾塑像。數(shù)學(xué)獎：阿貝爾獎（2003－）。1898年挪威數(shù)學(xué)家李（1842－1899年）提議設(shè)立阿貝爾獎。挪威政府撥款2億挪威克郎（約合2200萬美元）設(shè)立阿貝爾紀念基金，在阿貝爾誕辰200周年之際設(shè)立阿貝爾獎，從2003年起每年頒發(fā)一次。阿貝爾獎頒發(fā)給那些在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻的數(shù)學(xué)家，獎金額為600萬挪威克朗（約合83萬美元）。2003年塞爾（法，1926－）關(guān)于代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何獲獎。怎樣特殊的方程能夠有根式來求解？1829－1831年，伽羅瓦（法，1811－1832年）完成的幾篇論文中，首創(chuàng)了現(xiàn)在稱為置換群的思想，建立了判別方程根式解的充分必要條件，從而宣告了方程根式解這一經(jīng)歷了300年的難題的徹底解決。伽羅瓦通過改進拉格朗日的思想，把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來，發(fā)展了阿貝爾的思想，把全部問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析。這個理論的大意是：每個方程對應(yīng)于一個含有方程全部根的域（伽羅華域），這個域?qū)?yīng)于這個方程根的置換群（伽羅華群）。一個方程的伽羅華群是可解群當且僅當這方程是根式可解的。作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數(shù)方程根式不可解，以及用尺規(guī)作圖中“三等分任意角”和“倍立方”問題不可能等結(jié)論。伽羅瓦被公認為數(shù)學(xué)史上最具浪漫主義色彩的人物之一。在中學(xué)讀書時，伽羅瓦已經(jīng)熟悉歐拉、高斯、雅可比的著作，顯示了非凡的數(shù)學(xué)才能。中學(xué)的數(shù)學(xué)教師里夏爾在遺留下的筆記中記載：“伽羅瓦只宜在數(shù)學(xué)的尖端領(lǐng)域中工作”，“他大大地超過了全體同學(xué)”。1829年作為預(yù)備生錄取巴黎綜合技術(shù)學(xué)校，伽羅瓦寫了幾篇大文章，把它作為應(yīng)征法國科學(xué)院的數(shù)學(xué)獎的論文，三次向科學(xué)院遞交他關(guān)于代數(shù)方程的論文，第一次交柯西丟失，第二次交傅里葉病逝，第三次交泊松審查“不可理解”。伽羅瓦的思想大大超出了他的時代，他的工作在他生前完全被忽視了。伽羅華的數(shù)學(xué)研究是在社會激烈動蕩和遭受種種打擊的情況下利用極為有限的時間進行的。伽羅華誕生在拿破侖帝國時代，他是當時最先進的革命政治集團“人民之友”的成員，曾發(fā)誓：“如果為了喚起人民需要我死，我愿意犧牲自己的生命”。年輕熱情的伽羅華對師范大學(xué)教育組織極為不滿，校方于1831年1月將伽羅瓦開除。之后，他積極參加政治活動，兩次入獄。在監(jiān)獄中伽羅華一方面與官方進行不妥協(xié)的斗爭，另一面他還抓緊時間刻苦鉆研數(shù)學(xué)，靜下心來在數(shù)學(xué)王國里思考。l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，卷入了一場“愛情與榮譽”的決斗。伽羅華自知難以擺脫死亡的命運，連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數(shù)學(xué)家們3個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。第二天上午，在決斗場上，伽羅華被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去”。附：伽羅華的遺書我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。我是作為一個不名譽的風(fēng)騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結(jié)束我的生命。噢！為什么要為這么微不足道的，這么可鄙的事去死呢？我懇求蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設(shè)法避開的挑釁中倒下。我親愛的朋友，我已經(jīng)得到分析學(xué)方面的一些新發(fā)現(xiàn)……。在我一生中，我常常敢于預(yù)言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這里寫下的這一切已經(jīng)清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這些整理清楚會是很有益處的一件事。熱烈地擁抱你。——伽羅華伽羅瓦在決斗中被殺，劉維爾（法，1809－1882年）整理了他的部分遺稿并刊登在1846年的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，他在代數(shù)方面的獨創(chuàng)性工作才得以為世人所知。注：為適應(yīng)法國數(shù)學(xué)研究的需要，劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，并親自主持了前39卷的編輯出版工作（1836－1874年）。該雜志刊登純粹、應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所有分支的論文，記錄了19世紀中期的40年里數(shù)學(xué)活動的一部分重要內(nèi)容，被后人稱為《劉維爾雜志》。抽象化嘗試。置換群，1849－1854年凱萊（英，1821－1895年）引入抽象群；伽羅瓦域，1893年韋伯（德，1842－1913年）抽象域。他們的工作醞釀著現(xiàn)代數(shù)學(xué)。郵票：伽羅瓦（法國，1984）。2、數(shù)系擴張實數(shù)系。1737年歐拉（瑞，1701－1783年）證明了e是無理數(shù)，1761年蘭伯特（法，1728－1777年）證明了π是無理數(shù)，1844年劉維爾（法，1809－1882年）第一次顯示了超越數(shù)的存在，1873年和1882年埃爾米特（法，1822－1901年）和林德曼（德，1852－1939年）分別證明了e和π是超越數(shù)。由此解決了尺規(guī)作圖中“化圓為方”問題的不可能。問題：歐拉常數(shù)是否是無理數(shù)?復(fù)數(shù)系。虛數(shù)（即復(fù)數(shù)）的出現(xiàn)，承認與反承認一直在歐洲徘徊。16世紀。1572年，邦貝利（意，1526-1573年）理直氣壯地承認虛數(shù)，創(chuàng)造了符號R[Om9]表示虛數(shù)。17世紀。1629年吉拉德（荷，1595－1632年）在《代數(shù)新發(fā)明》中引入符號表示虛數(shù)，但沒有真正認清虛數(shù)的意義。1637笛卡兒在《幾何學(xué)》一書中說：“負數(shù)開平方是不可思議的”，后來認識到虛數(shù)的存在，并與“實數(shù)”相對應(yīng)把“虛構(gòu)的根”改為“虛數(shù)”，因此而得名并沿用至今，同時還進一步給a+bi（a，b為實數(shù)）取名為“復(fù)數(shù)”，也沿用至今。18世紀。1747年達朗貝爾（法，1717－1783年）用符號a+b表示復(fù)數(shù)，未引起注意。1777年歐拉在遞交給彼得堡科學(xué)院的論文《微分公式》中支持1637年笛卡兒用法文“imaginaries”（虛的）的第一個字母i表示虛數(shù)，于是虛數(shù)符號i正式誕生了，也未引起注意。1797年威塞爾（挪，1745－1818年）向丹麥科學(xué)院遞交了論文《方向的解析表示》，引進了實軸和虛軸，并把虛數(shù)記作，從而建立了復(fù)數(shù)的幾何表示，仍未引起注意。19世紀。1806年阿甘德（瑞，1768－1822年）的論文《虛量，它的幾何解釋》，將虛數(shù)看作是平面直角坐標逆時針90旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，從而使復(fù)數(shù)的幾何表示簡潔化。1811年高斯（德，1777－1855年）討論了復(fù)數(shù)幾何表示，1831年高斯清晰地公布了虛數(shù)的幾何意義，并支持歐拉用i表示。這樣，虛數(shù)蒙上的那層神秘色彩逐漸消失了，數(shù)學(xué)家們逐漸承認虛數(shù)概念及其符號。圖：復(fù)數(shù)與平面向量。進一步的發(fā)展。復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量，這與物理學(xué)上的力、速度或加速度等聯(lián)系起來。在代數(shù)上如何處理幾個不一定在同一平面上的力作用于一個物體的情形？雖然三維坐標表示從原點到該點的向量，但不存在三元數(shù)組的運算來表示向量的運算。對復(fù)數(shù)的類似推廣作出重要貢獻的是哈密頓（愛爾蘭，1805－1865年），英國聲譽僅次于牛頓的數(shù)學(xué)家。1837年哈密頓表示復(fù)數(shù)為有序?qū)崝?shù)對，規(guī)定了數(shù)對的運算，作為復(fù)數(shù)向三維數(shù)組的推廣，1843年哈密頓把所要找的新數(shù)定義了四元數(shù)，它包含四個分量，必須放棄乘法的交換性。哈密頓之后，各種新的超復(fù)數(shù)像雨后春筍般涌現(xiàn)出來。1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《線性擴張性》引進了n個分量的超復(fù)數(shù)，1847年凱萊（英，1821－1895年）定義了八元數(shù)。將四元數(shù)改造成物理學(xué)家所需要的工具的第一步，是由物理學(xué)家麥克斯韋（英，1831－1879年）邁出的，他創(chuàng)造了向量分析。郵票：哈密頓的四元數(shù)（愛爾蘭，1983）。3、行列式與矩陣關(guān)于線性方程組解的發(fā)展，形成了行列式和矩陣的理論。在此簡述一些歷史時刻。17世紀。1683年關(guān)孝和（日，1642－1708年）完成《解伏法之法》提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論。18世紀。1750年克萊姆（瑞，1704－1752年）法則，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展開定理。19世紀。1841年凱萊（英，1821－1895年）行列式記號，1852年西爾維斯特（英，1814－1897年）慣性定理，1854年埃爾米特（法，1822－1910年）使用了正交矩陣，1858年凱萊證明了凱萊－哈密頓（愛爾蘭，1805－1865年）定理，1870年若爾當（法，1838－1921年）建立了若爾當標準形，1879年弗羅貝尼斯（德，1849－1917年）引入矩陣的秩。4、布爾代數(shù)來源于對數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討。萊布尼茨（德，1646－1716年）想要發(fā)明一種通用的語言，以它的符號和專門的語法來指導(dǎo)推理，建立一種推理代數(shù)，提出思維演算和邏輯的數(shù)學(xué)化思想，一些工作的細節(jié)直到20世紀初才出版。德?摩根（英，1806－1871年），說讀于劍橋大學(xué)三一學(xué)院，主要任教于倫敦大學(xué)學(xué)院，重要著作是1847年的《形式邏輯》，他發(fā)展了一套適合推理的符號，首創(chuàng)關(guān)系邏輯的研究，以代數(shù)的方法研究邏輯的演算，建立著名的德摩根定律（邏輯中存在著下面這些關(guān)系：非(P且Q)＝(非P)或(非Q)，非(P或Q)＝(非P)且(非Q)），成為后來布爾代數(shù)的先聲，突破古典的主謂詞邏輯的局限，影響到后來數(shù)理邏輯的發(fā)展。布爾（英，1815－1864年），數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)家，家境不富裕，小學(xué)畢業(yè)后就提起了養(yǎng)家糊口的重任，通過自學(xué)掌握了拉丁語、希臘語、意大利意、法語和德語，1835年，他在林肯市創(chuàng)辦了一所中學(xué)，一面教書，一面自修高等數(shù)學(xué)，先后攻讀了牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，還搞懂了拉格朗日的《解析函數(shù)論》和拉普拉斯的《天體力學(xué)》，當時被認為是最深奧的學(xué)問，足以證明他自學(xué)取得的成功。1839年，24歲的布爾決心嘗試受正規(guī)教育，并申請進劍橋大學(xué)．當時《劍橋數(shù)學(xué)雜志》的主編D．F．格雷戈里（Gregory）表示反對他去上大學(xué)，他說：“如果你為了一個學(xué)位而決定上大學(xué)學(xué)習(xí)，那么你就必須準備忍受大量不適合于習(xí)慣獨立思考的人的思想戒律。這里，一個高級的學(xué)位要求在指定的課程上花費的辛勤勞動與才能訓(xùn)練方面花費的勞動同樣多。如果一個人不能把自己的全部精力集中于學(xué)位考試的訓(xùn)練，那么在學(xué)業(yè)結(jié)束時，他很可能發(fā)現(xiàn)自己被淘汰了?！庇谑牵紶柗艞壛耸芨叩冉逃哪铑^，而潛心致力于他自己的數(shù)學(xué)研究。布爾寫了許多論文，1844年發(fā)表了“關(guān)于分析中的一般方法”的文章，為他在數(shù)學(xué)上確立了最初的聲譽，獲得皇家學(xué)會的獎?wù)隆?849年，34歲的布爾分別獲得牛津大學(xué)和都伯林大學(xué)的名譽博士學(xué)位，隨即被聘為愛爾蘭科克皇后學(xué)院（今愛爾蘭大學(xué)）的數(shù)學(xué)教授。從此，他才有了比較安穩(wěn)的生活保證。他保持這個職位一直到15年后患病逝世為止，在此期間，他于1857年被推選為皇家學(xué)會會員。布爾最小的女兒莉蓮便是受到廣泛閱讀的小說《牛虻》的作者伏尼契。布爾的研究大致可分為邏輯和數(shù)學(xué)兩部分，在數(shù)學(xué)上的成就是多方面的，在邏輯方面，他的主要貢獻就是用一套符號來進行邏輯演算，即邏輯的數(shù)學(xué)化。大約200年以前，萊布尼茨曾經(jīng)探索過這一問題，但最終沒有找到精確有效的表示方法。因為它牽涉到改進亞里士多德的工作，而人們對于改進亞里士多德的工作的嘗試總有點猶豫不決。布爾憑著他卓越的才干，創(chuàng)造了邏輯代數(shù)系統(tǒng)，從而基本上完成了邏輯的演算工作。1847年，他出版了這方面的第一本書《邏輯的數(shù)學(xué)分析，論演繹推理的演算法》，此書并不厚，但足以使他出名，并且使科克的學(xué)院聘他任教。著名的現(xiàn)代邏輯史家J．M．波享斯基（瑞士，1902-1995年）對此書有過評價：“我們能夠在布爾時代的著作《邏輯的數(shù)學(xué)分析》中找到一種示范形式展開的清晰表達，這方面他優(yōu)于許多后人的著作，其中包括羅素的《數(shù)學(xué)原理》?！?854年，他又出版了《思維規(guī)律的研究，作為邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)》，其中完滿地討論了這個主題并奠定了現(xiàn)在所謂的數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，為這一學(xué)科的發(fā)展鋪平了道路。布爾試圖從邏輯公理出發(fā)，導(dǎo)出推理的規(guī)律。布爾不僅構(gòu)造了邏輯代數(shù)系統(tǒng)，而且十分明白地對系統(tǒng)作了邏輯解釋。他的邏輯代數(shù)系統(tǒng)，他給出了兩種解釋：一種是類演算，一種是命題演算．命題演算系統(tǒng)可以看作二值代數(shù)系統(tǒng)。在命題演算的解釋中，他令X，Y，Z等代表命題，并假定命題只能接受真、假兩種可能情況。1表示真，0表示假，XY表示X與Y的合取，即“X并且Y”；X+Y表示不相容的析取，即“X或Y，但不同真”；1-Y表示Y的否定。根據(jù)這種解釋，X為真記作X=1，X為假記作X=0。如果X真則Y假記作X(1-Y)=0，X真且Y真記作XY=1。因此，復(fù)合命題的真假就可以通過布爾演算由它的支命題的真假唯一決定。這就是現(xiàn)在使用的真值表示方法。用這種方法，使數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家對邏輯有更廣泛更全面的理解。布爾一生共發(fā)表了50篇學(xué)術(shù)論文和兩部教科書。布爾以自學(xué)取得成就而著稱于世，被羅素描寫成純粹數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)者，成為19世紀數(shù)理邏輯的最杰出代表。以他的名字命名的布爾代數(shù)今天已發(fā)展為結(jié)構(gòu)極為豐富的代數(shù)理論，并且無論在理論方面還是在實際應(yīng)用方面都顯示出它的重要價值。特別是近幾十年來，布爾代數(shù)在自動化系統(tǒng)和計算機科學(xué)中已被廣泛應(yīng)用。施羅德（德，1841－1902年）《邏輯代數(shù)講義》（3卷，1890－1905年）把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰。邏輯代數(shù)的發(fā)展是數(shù)理邏輯。弗雷格（德，1848－1925年）1879年《概念語言》提供數(shù)理邏輯的體系，一切數(shù)學(xué)可以化歸為邏輯，成為數(shù)理邏輯和邏輯主義的奠基人和創(chuàng)始人，1884年《算術(shù)基礎(chǔ)》作為邏輯的延展建立數(shù)學(xué)，從邏輯推出算術(shù)，由于羅素（英，1872－1970年）的工作，弗雷格的工作受到重視。皮亞諾（意，1858－1932年）以簡明的符號及公理體系為數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究開創(chuàng)了新局面，1889年《算術(shù)原理新方法》完成了整數(shù)的公理化處理，給出了自然數(shù)公理，1895－1908年5卷本的《數(shù)學(xué)公式匯編》試圖從邏輯記號的若干基本公理出發(fā)，建立整個數(shù)學(xué)體系，書中給出了4200條公式和定理使用了精簡的符號，希望將數(shù)理邏輯的概念應(yīng)用在數(shù)學(xué)各分支的所有已知結(jié)果上，對羅素（英，1872－1970年）及布爾巴基學(xué)派的工作產(chǎn)生影響。1889年皮亞諾《算術(shù)原理新方法》的著作中創(chuàng)造了符號表示屬于，表示包含。5、數(shù)論19世紀以前數(shù)論只有一些孤立的結(jié)果。自從高斯（德，1777－1855年）在1801年發(fā)表了他的《算術(shù)研究》后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展，這一年高斯只有24歲。17世紀數(shù)論回顧。費馬（法，1601－1665年），律師，1646年升任議會首席發(fā)言人，以后還當過天主教聯(lián)盟主席等職，費馬的官場生涯沒有什么突出政績值得稱道，不過費馬從不利用職權(quán)向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明，贏得了人們的信任和稱贊。費馬一生未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究只不過是業(yè)余之愛好，生前極少發(fā)表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版，《數(shù)學(xué)論集》還是去世后由其長子將其筆記、批注及書信整理成書而出版的。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一，對于微積分誕生的貢獻（建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法等）僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀數(shù)論天地的人。費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王?！?/p>

l621年費馬在巴黎買到丟番圖的《算術(shù)》，他利用業(yè)余時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數(shù)范圍內(nèi)，從而開始了數(shù)論這門數(shù)學(xué)分支。費馬在數(shù)論領(lǐng)域中的成果是巨大的，其中主要有：（1）全部素數(shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式。（2）形如4n+1的素數(shù)能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數(shù)之和。（3）沒有一個形如4n+3的素數(shù)，能表示為兩個平方數(shù)之和。（4）形如4n+1的素數(shù)能夠且只能夠作為一個直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。（5）邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)。（6）4n+1形的素數(shù)與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數(shù)之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數(shù)之和；5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數(shù)之和，以此類推，直至無窮。費馬小定理（1640年10月18日）費馬大定理，平方數(shù)問題，費馬數(shù)：1640年給梅森（英，1588－1648年）的信。18世紀數(shù)論回顧。1732年歐拉（瑞，1701－1783年）證明F5不是素數(shù)，1736年歐拉證明了費馬小定理，1742年哥德巴赫（德，1690－1764年）猜想，1753年歐拉宣布證明了n=3時的費馬大定理（1770發(fā)表），1754年歐拉證明了費馬平方數(shù)I問題，1770年拉格朗日證明了費馬平方數(shù)II問題，1770年華林（英，1734－1798年）問題。1743年歐拉發(fā)現(xiàn)二次互反律，發(fā)展為代數(shù)數(shù)論。高斯：“數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇；數(shù)論，數(shù)學(xué)的女皇?！编]票：高斯和格廷根（尼加拉瓜，1994）。圖片：德國馬克上的高斯（1989）。高斯的數(shù)論研究總結(jié)在1801年的《算術(shù)研究》中，這本書奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)論方面的劃時代之作，也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一。《算術(shù)研究》中的主要思想有三個：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論，其中復(fù)整數(shù)理論是代數(shù)數(shù)論的開端，給出了二次互反律的證明，稱它為“算術(shù)中的寶石”（高斯一生中至少給出過它8個不同的證明）。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，高斯都是18－19世紀之交的中堅人物。如果把18世紀的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。1855年，在獲得崇高聲譽、德國數(shù)學(xué)開始主宰世界之時，一代天驕走完了生命旅程。庫默爾（德，1810－1893年）的工作與證明費馬大定理有關(guān)，涉及代數(shù)