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文檔簡介
趨勢曲線模型預測第一頁,共三十七頁,2022年,8月28日第一節(jié)
多次式曲線模型預測法
第三章所談及的回歸分析,是在已知統(tǒng)計資料基礎上,利用線性或非線性回歸技術進行模擬,利用趨勢外推進行預測,而模型的項數(shù)均為常數(shù)項加一次項或非線性構成。事實上,若采用多項式進行模擬,也是一種行之有效的方法。第二頁,共三十七頁,2022年,8月28日一.正規(guī)方程組所謂多項式回歸,就是已知統(tǒng)計資料給出,當預測變量y與自變量x可用一個多項式進行模擬時,利用一元非線性回歸技術,來作出模擬并用于預測。設實際值為(xi,yi),為方便多項式次數(shù)測定,數(shù)據(jù)選取xi-xi-1=?x=C,模型模擬值為(xi,)
就有=f(x)=a0+a1x+a2x+……+amx.
顯然,這是一個m次多項式,同時假定已知數(shù)據(jù)為n組:(xi,yi)i=1,2,……n.2m第三頁,共三十七頁,2022年,8月28日假定y與x是相關的,對應任意的yi,都有yi
且ei=yi-
由回歸分析,最佳擬合為Q=∑ei2=Qmin
利用最小二乘法,對系數(shù)求偏導數(shù),有
(Q/ak)’=0→2∑ei(ei)’ak=0
其中k=0,1,2,3,……,m
因為ei=yi-yi=yi-
a0-
a1x-
……akxik……amxim
所以有:∑(yi-
a0-
a1x1--
……amxim)(-xik)=0
得yi
xik
=a0
∑xik+a1∑xi(k+1)+……am∑xik+m第四頁,共三十七頁,2022年,8月28日令
第五頁,共三十七頁,2022年,8月28日可建立m+1個方程組成的正規(guī)方程組:
s0a0+s1a1+……+smam=u0(k=0)
s1a0+s2a1+………+sm+1am=u1(k=1)
::::
sma0+sm+1a1+……..+s2mam=um(k=m)記為矩陣式:
s0s1s2……sma0u0
s1s2s3……sm+1a1u2
smsm+1
s0…s2m
amum
記為S記為A記為U
則:U=SA→A=S(-1)U=1/|S|S*U有唯一解,故a0,a1,……,am可唯一求出,于是預測方程可以求得。
{2004/11/1}=×第六頁,共三十七頁,2022年,8月28日二、案例某地1972---1979工業(yè)產值統(tǒng)計資料如表,企業(yè)多項式模型,并預測1980、1981年工業(yè)產值年19721973197419751976197719781979序號12345678產值7.548.768.239.9210.6511.6512.5613.78解:(1)描點,觀察,做趨勢圖。
由圖所示,用二次曲線描述合理。即預測模型可取為y=a0+a1x+a2x2第七頁,共三十七頁,2022年,8月28日(2)由正規(guī)方程組U=SA,求A=S(-1)U
∵Sk
=∑Xik
i=1,2,………,8.K=0,1,2,3,4.
S0=∑xi=8;S1=∑xi=36;S2=∑xi=204;S3=∑xi=1296;S4=∑xi=8772
836204∴S=3620412962041296877201234第八頁,共三十七頁,2022年,8月28日第九頁,共三十七頁,2022年,8月28日
836204-183.09A=S(-1)U=362041296410.74204129687722458.381.9464-0.90130.089383.09=-0.91070.5100-0.0536410.740.0893-0.05360.0062458.387.1602=0.44470.0480
故預測模型y=7.1602+0.4447x+0.0480x2
第十頁,共三十七頁,2022年,8月28日
1980:x=9y9=7.1602+0.4447×9+0.0480×92
=15.05051981:x=10:y10=7.1602+0.4447×10+0.0480×102=16.4072絕對誤差相對誤差與實際值比較:1980年為14.770。2809–1。9%1981年為15.640。7672-4。9%第十一頁,共三十七頁,2022年,8月28日三、
擬合多項式的次數(shù)確定
1、作圖法利用實際數(shù)據(jù),選擇合適坐標,采用圖上打點,觀察打點曲線,并選擇一條比較合用的多項式趨勢線。若趨勢線出現(xiàn)拐點:由拐點定義,若出現(xiàn)一個拐點,至少應用3次多項式擬合;
若出現(xiàn)k個拐點,至少應用k+2次多項式擬合。
第十二頁,共三十七頁,2022年,8月28日2.差分判斷法
①差分定義:當自變量呈等距分布時,即
xi=xi-1+△x
則▽yi=yi–
yi-1=f(xi)-f(xi-1)
稱為當x從xi-1變到xi時,yi的一階差分。所有更高階的差分由進一步的差分得到:
二階差分
▽2yi
=▽(▽yi)=▽(yi–
yi-1)=▽yi-▽yi-1=(yi–
yi-1)-(yi-1
–
yi-2)=yi-2yi-1+yi-2
第十三頁,共三十七頁,2022年,8月28日可類推至yi的k階差分▽k
yi
=▽(▽k-1
yi)=………=
②差分對多項式判斷中的應用例:含線性趨勢確定性時間序列數(shù)據(jù)(yt=2t)t012345yt0246810一階差分22222二階差分0000
第十四頁,共三十七頁,2022年,8月28日
例:二次曲線y=ax2+bx+c
x012345
ytca+b+c4a+2b+c9a+3b+c16a+4b+c25a+5b+c一階差分a+b3a+b5a+b7a+b9a+b二階差分2a2a2a2a三階差分000
由此可得出判據(jù)
若一批自變量為等距分布的數(shù)據(jù),經
n次差分之后,形成常數(shù)或差分后在某一定值上下波動,則可用n次多項式擬合此批數(shù)據(jù)變動趨勢。
3.在利用數(shù)據(jù)確定曲線時,要排除偶然發(fā)生的那一類數(shù)據(jù)。第十五頁,共三十七頁,2022年,8月28日第二節(jié)成長曲線預測模型一.Gompertz曲線成長曲線主要應用兩個原則:相似性原則與延續(xù)性原則①決定過去技術發(fā)展的因素,很大程度的也將決定未來的發(fā)展,條件是不變的或變化不大的;②發(fā)展過程屬于漸進的,影響過程的規(guī)律不發(fā)生突變;③增長曲線即生命周期與生物生長過程相似孕育—出生—成長—成熟—老化—死亡發(fā)明—定型—推廣—成熟—老化—淘汰
第十六頁,共三十七頁,2022年,8月28日
1.經驗公式
,有三個系數(shù)K,a,b(雙層指數(shù))
取常用對數(shù)lgyt=lgK+btlga
2.參數(shù)k,a,b的確定(三和法)
假定有若干原始數(shù)據(jù),取△t=1,t=1,2,3,…….3n且滿足
即:lgyt=lgK+btlga第十七頁,共三十七頁,2022年,8月28日排列成表如下
t123……nlgytlgy1lgy2lgy3……lgyn
n+1n+2n+3……2nlgyn+1lgyn+2lgyn+3……lgy2n
2n+12n+22n+3……3nlgy2n+1lgy2n+2lgy2n+3……lgy3n
共有3n個數(shù)據(jù),平均分為3組,第一組第二組第三組第十八頁,共三十七頁,2022年,8月28日第一組:求和:
=nlgK+(b1+b2+……bn)lga……①第二組:求和:
∑lgyt=nlgK+(bn+1+bn+2+……b2n)lga②第三組:求和:∑lgyt=nlgK+(b2n+1+b2n+2+……b3n)lga③③-②:lgyt-lgyt=bn(b+b1+b2+……bn)(bn
-1)lga…4②-①:lgyt-lgyt=(b+b1+b2+……bn)(bn
-1)lga……⑤第十九頁,共三十七頁,2022年,8月28日第二十頁,共三十七頁,2022年,8月28日3.例:某廠產品銷售總額歷史數(shù)據(jù):(萬元)年份(t)196819691970197119721973yt407418432447463485log
yt2.612.622.642.652.672.69年份(t)197419751976197719781979yt508535566602644694log
yt2.712.732.752.782.812.84
年份(t)198019811982198319841985yt734826912101811481311log
yt2.882.922.963.013.063.12第二十一頁,共三十七頁,2022年,8月28日上述數(shù)據(jù)的模型識別,一般采用作圖法或計算機模擬。由上述公式,可求出K=305,a=1.3;b=1.1yt=預測1988年銷售額:
t=21,y==2125.7(萬元)
第二十二頁,共三十七頁,2022年,8月28日4.關于Gompert曲線的討論
①.a>1a)0<b<1b)b>1t→0,yt→Kat↗,yt↗t→-∞yt→K細胞分裂核爆后繼無抑制上升t→0,yt→Kat↗,yt↘t→+∞yt→K第二十三頁,共三十七頁,2022年,8月28日動植物生命衰減②.a>1a)0<b<1b)b>1t→-∞yt→0t→+∞yt→Kt→0yt→Ka第二十四頁,共三十七頁,2022年,8月28日以上“K”稱為最大步長值,或飽和點值如:家電生產及銷售,農田畝產,機器工作效率等,耐用消費品
③Gompert曲線是雙層指數(shù),又稱雙指數(shù)模型。第二十五頁,共三十七頁,2022年,8月28日二.Logistic曲線該曲線為美國生物學家,人口統(tǒng)計學家
R.Pearl博士通過利用微分方程表示生物生長速度,求解得到的公式,為Logistic增長曲線。
1.數(shù)學模型微分方程形式為:dy/dt=ky(K-y)
其中k,K>o常數(shù)且0<y<k,為可分離變量一階微分方程。解出為
yt=K/[1+ae(-bt)]
其中a=e-ck
(C為積分常數(shù))
b=kK
書中公式為是變形的一種。(1/2005/4/04)第二十六頁,共三十七頁,2022年,8月28日當t→∞時y=K,為極限參數(shù),稱飽和值.曲線為
改變a只影響曲線位置變動而不改變形狀(a位置參數(shù))改變b只影響曲線形狀而不改變位置.(b形狀參數(shù))此方法,80年代曾用于閉路電視發(fā)展預測,結果1990年美家庭將有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美聯(lián)邦通訊委員會從禁止到支持.
tytt=0n2ny0y1y2y3第二十七頁,共三十七頁,2022年,8月28日二.參數(shù)估計解法1:三點法,取已知三點;第一點為起點t=0,另兩點分別為t=n和t=2n,即從時間上均勻分段.設曲線序列始點選定為y|t=0=y0→y0=k/(1+a)…①
中點:y|t=n=y1,→y1=k/[1+ae-bn]………②
終點:y|t=2n=y2,→y2=k/[1+ae-2bn]……③
由①式,推出a=(K-y0)/y0……………④
由②式:y1?[1+ae-bn
]=K
得
e-bn=(K-y0)/ay1
有
b=[lna+lny1–ln(K-y1)]/n………⑤
第二十八頁,共三十七頁,2022年,8月28日將公式②中解出e-bn及公式④代入公式③
,得:y2{1+(K-y1)2/[(K-y0)y12/y0]}=K整理得出
K=[y0y12+y12y2-2y0y1y2]/[y12
-y0y2]…...6公式⑥⑤④三式共同組成參數(shù)估計公式.
第二十九頁,共三十七頁,2022年,8月28日解法2:線性回歸法,前提是假定K已知公式變形:y
=K/[1+ae-bt]K/y=1+ae-bt)
ae-bt=K/y-1取自然對數(shù)lna–bt=ln(K/y-1)令ln(K/y-1)=y’,lna=a0,–b=a1則構成線性方程
y’=a0+a1t利用一元線性回歸方法,解出y’,進而求出預測值y解法3:為近似積分法,見書介紹解法4:為三和法第三十頁,共三十七頁,2022年,8月28日三.舉例:我國家用縫紉機市場需求量轉折點預測
1970—1982年統(tǒng)計資料年份:197019711972197319741975普及率%5.496.6767.9109.12510.54412.029197619771978197919801981198213.69415.36317.28219.45922.98027.05431.227由于歐洲市場已飽和,可參考統(tǒng)計數(shù)據(jù)(飽和值K)同名日英法蘇芬美飽和值(%)803547.61962.5030.30371.429據(jù)專家估計:中國由于廣闊的農村市場,飽和率可達70%第三十一頁,共三十七頁,2022年,8月28日解:yt’=K/[1+ae-bt]
且K=70%
用回歸分析1)線性化及預測方程:yt=a0+a1t
式中a0=lna,a1=-b,yt’=ln(K/yt-1)
∵K,yt為已知,∴yi’為已知∑yi’=18.1174,y
’=1.39365,∑yi’=30.96707n=13,t=7.0,∑ti=819,∑ti
yi’=76.5519
22第三十二頁,共三十七頁,2022年,8月28日利用線性回歸中求參數(shù)公式:
a0=y-bx=y’-bt及(1/n)∑xi
yi
-x(1/n)∑yi(1/n)∑ti
yi’-t(1/n)∑y’
(1/n)∑xi
-x(1/n)∑xi(1/n)∑ti
-t(1/n)∑ti
得a0=2.453620→a=ea0=11.6304
a0=-0.176662→b=-a=0.176
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