三垂線定理及逆定理的應(yīng)用

三垂線定理及逆定理的應(yīng)用第一頁，共十五頁，2022年，8月28日三垂線定理及逆定理的應(yīng)用第二頁，共十五頁，2022年，8月28日例一：判斷下列命題是否正確（１）若一直線垂直于一個平面的一條斜線，則該直線必垂直于斜線在平面上的射影。()（２）平面內(nèi)與這個平面的一條斜線垂直的直線互相平行。()（3）若兩條直線互相垂直，且其中的一條平行一個平面，另一條是這個平面的斜線，則這兩條直線在平面上的射影互相垂直。()錯誤正確正確第三頁，共十五頁，2022年，8月28日ABDCCABD1111例二：在正方體中：猜想和具有什么特殊的位置關(guān)系？能否找到與具有這種關(guān)系的其他面對角線嗎？并簡要證明。

證明：第四頁，共十五頁，2022年，8月28日變題:是上一動點(diǎn)，在平面上能否作一條過點(diǎn)的線段與垂直？是面內(nèi)一點(diǎn)，在平面上能否作一條過點(diǎn)的線段與垂直？ABCABCD1D111P..F分析：第一問：顯見過點(diǎn)作的平行線即可。第二問：找到在面內(nèi)的射影，過點(diǎn)作射影的垂線段即可。

第五頁，共十五頁，2022年，8月28日.EOAPBCD例三：第六頁，共十五頁，2022年，8月28日.EOAPBCDF第七頁，共十五頁，2022年，8月28日NMPABCD.E

練習(xí)：已知，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：MNAB第八頁，共十五頁，2022年，8月28日ABDCCABD1111.PO思考：在正方體中，是的中點(diǎn)，為底面的中心。求證：分析：與異面，、既可為平面的斜線，也可為平面內(nèi)直線。關(guān)鍵在于平面的選擇,射影的確定。方法一：以為平面，則是平面的斜線，是平面內(nèi)直線。由條件可知：平面，則為在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，問題轉(zhuǎn)化為證明即可。第九頁，共十五頁，2022年，8月28日ABDCCABD1111.POM方法二：以為平面，是平面的斜線，是平面內(nèi)直線。由條件可知：平面，則是在平面內(nèi)的射影，再構(gòu)造出平面，找到在平面內(nèi)的射影。因此是在平面內(nèi)的射影，問題轉(zhuǎn)化為證明即可。1、不同平面的選擇，不同射影的確定，使圖形中構(gòu)造“一面四線”有難有易。2、在空間的任一平面內(nèi)，平幾的公理、定理仍然成立。在解證立幾問題時，靈活運(yùn)用平幾知識是十分重要的。第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例一：在下列三個命題中，為真命題的共有（）1、如果一條直線和一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則這條直線和這條斜線垂直2、如果一條直線和一條斜線垂直，那么這條直線和斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直3、如果一條直線和一條斜線垂直，也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線在平面內(nèi)，或者和平面平行A.O個B.1個C.2個D.3個B判斷命題的真假，應(yīng)嚴(yán)格按照三垂線定理及逆定理。第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日ABCEF()A第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日引入：道路旁有一條河，河對岸有一嘹望塔，高10米。利用測角儀和皮尺，設(shè)計一個合理的方案測出塔頂與道路的距離。ABlCD分析：將道路、塔、河岸抽象為線段或直線。塔頂與道路的距離是點(diǎn)A到L的垂線段長，關(guān)鍵是垂足的確定。假設(shè)AC是距離，連結(jié)BC，由三垂線定理的逆定理：BCl。因此要確定垂足C，用測角儀測定BCl即可。問題轉(zhuǎn)化為在RtABC中求AC.利用工具構(gòu)造RtBCD，求出BC，即得AC.第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日ABCDO例二：四面體中，，求證：當(dāng)題中具備了（構(gòu)造后具備了）定理所需條件“一面四線”可用定理解題。三垂線定理證明異面垂直，逆定理證明共面垂直。分析：AD、BC是兩條異面直線。即證兩條異面直線垂直。根據(jù)三垂線定理，只需證明AD在平面BCD內(nèi)的射影和BC垂直。因此可作AO平面BCD于O點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為證明ODBC。連結(jié)BO、CO，根據(jù)三垂線定理的逆定理可證：BOCD，COBD，確定O是BCD的垂心，則ODBC得以解決。第十四頁，