2023年三角形公式定理

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2023年三角形公式定理第一篇：三角形公式定理第三章三角形公式定理第三章三角形三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.1三角形的內(nèi)角和在同一平面內(nèi),由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內(nèi)角,簡稱多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做多邊形的外角.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180在原來圖形上添畫的線叫做關(guān)心線依據(jù)三角形內(nèi)角的特征,對三角形進行分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形；銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對邊叫做斜邊.推論1直角三角形的兩個銳角互余推論2三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

1.2三角形的有關(guān)線段三角形一個角的平分線和對邊相交,角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線從三角形的一個頂點向其對邊或?qū)叺难娱L線畫垂線,頂點和垂足間的線段叫做三角形的高全等三角形

2.1全等三角形的證明邊邊邊有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角有兩角及其

夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等定理有兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

2.2直角三角形全等的判定定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等等腰三角形

3.1等腰三角形及其性質(zhì)三角形的三邊,有的三邊互不相等,有的有兩邊相等,有的三邊都相等.三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形,有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角定理等腰三角形的底角相等推論等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形定理一個三

角形是等腰三角形的充要條件是這個三角形有兩個內(nèi)角相等等邊三角形定理1等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60等邊三角形定理2三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形定理3有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形

3.2線段的垂直平分線與角平分線定理線段的垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等定理和一條線段兩個端點距離相等的點,都在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線可以看成是全部和線段兩段距離相等的點的集合定理點在角平分線上的充要條件是這一點到這個角兩邊的距離相等角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的全部點的集合

3.3軸對稱定義假如點A,B在直

線l的兩側(cè),且l是線段AB的垂直平分線,則稱點A,B關(guān)于直線l相互對稱,點A,B互稱為關(guān)于直線l的對稱點,直線l叫做對稱軸定義在平面上,假如圖形F的全部點關(guān)于平面上的直線l成軸對稱,直線l叫做對稱軸定義在平面上,假如存在一條直線l,圖形F的全部點關(guān)于直線l的對稱點組成的圖形,仍是圖形F自身,則稱圖形F為軸對稱圖形,直線l是它的一條對稱軸定理1對稱軸上的任憑一點與一對對稱點的距離相等2對稱點所連線段被對稱軸垂直平分推論兩個圖形假如關(guān)于某直線稱軸對稱,那么這兩個圖形是全等形

3.4三角形中的不等關(guān)系定理三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角定理三角形任何兩邊的和大于第三邊推論

三角形任何兩邊的差小于第三邊定理在一個三角形中,假如兩邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角較大定理在一個三角形中,假如兩個角不等,那么它們所對的邊也不等,大角所對的邊較大在一個三角形中,一條邊大于另一條邊的充要條件是,這條邊所對的角大于另一條邊所對的角4直角三角形

4.1勾股定理逆定理勾股定理逆定理假如三角形的三邊長a,b,c滿足條件a+b=c,那么c所對的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性質(zhì)定理在直角三角形中,假如一個瑞角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

4.3直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半基本作圖

5.1基本作圖

5.1作三角形

5.3軌跡與反證法我們把物體按某種規(guī)律運動的路途叫做物體運動的軌跡我們就把一個點在空間按某種規(guī)律運動的路途,叫做這個點運動的軌跡,這個點就叫做動點定義具有性質(zhì)a的全部點構(gòu)成的集合,叫做具有性質(zhì)a的點的軌跡軌跡具有純粹性和完備性基本軌跡1與兩個已知點距離相等的點的軌跡是連結(jié)這兩點的線段的垂直平分線基本軌跡2與已知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線圓幾何公式：101圓是定點的距離等于定長的點的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點的

距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理不在同始終線上的三個點確定一條直線110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111推論1平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等115推論在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑119推論3假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于

它的內(nèi)對角121直線L和O相交dr直線L和O相切d=r直線L和O相離dr122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129推論假如兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，

被交點分成的兩條線段長的積相等131推論假如弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等134假如兩個圓相切，那么切點確定在連心線上135兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdR+r(Rr)兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含dR-r(Rr)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n3):依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)

接正n邊形經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)180/n140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長142正三角形面積3a/4a表示邊長143假如在一個頂點四周有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360，因此k(n-2)180/n=360化為(n-2)(k-2)=4144弧長計算公式：L=nR/180145扇形面積公式：S扇形=nR/360=LR/

2146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)其次篇：三角形公式在直角三角形中，假如一個銳角等于30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半3勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c4勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形5定理四邊形的內(nèi)角和等于3606多邊形內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)1807平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等8平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等9推論夾在兩條平行線間的平行線段相等10

平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線相互平分11平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形12平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形13平行四邊形判定定理3對角線相互平分的四邊形是平行四邊形14平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形15矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角16矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等17矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形18矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形19菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等20菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角21菱形面積=對角線乘積的

一半，即S=(ab)222菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形23菱形判定定理2對角線相互垂直的平行四邊形是菱形24正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等25正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且相互垂直平分，每條對角線平分一組對角26定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的27定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分28逆定理假如兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱29等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等30等腰梯形的兩條對角線相等76等腰梯形判定定理在同一底上的兩

個角相等的梯形是等腰梯形77對角線相等的梯形是等腰梯形31平行線等分線段定理假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等32推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=(a+b)2第三篇：中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式定理匯總2023年高考數(shù)學(xué)資料整理中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式定理匯總集合類：AB=AABAB=BAB規(guī)律關(guān)系類：對數(shù)類：logaM+logaN=logaMN

logMaM-logaN=logaNlogaMN=NlogaMlogabMN=NblogaMloga1=0logaa=1loga1=-1alogaba=blogaab=blogab=alogba=1a三角函數(shù)類：sin,一二正co，s一四正tan，一三正sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cosatan(-a)=-tanasin2+cos2=1sinp2-a=cosasinp+a=cosa2cosp-a=sinacos2p2+a=-sinaa-1asinA=bsinB=csinC=2Ra+b+csinA+sin

B+sinCrrvra*b=a*b*cosq=rra*bcosq=a*bxx+yya=b+c-2bccosAcosA=+-2bcxx221+*yyx+yx+y流程圖類：Int

2.5=

2.5=2取不大于

2.5的最大整數(shù)mod(10,3)=1平面幾何類：取10除以3的余數(shù)圓標(biāo)方程(x-a)圓心：(a,b)+(y-b)=r函數(shù)類：斜率：k=yxy(x-x-圓一般方程x+y+Dx+Ey+F=0x)(D+E-4F0)點斜式：y-yy-=k(x-x-x)y兩點式：y-y=x-xDE

圓心：,-;半徑：-22+-4F點點距離：PP截距式：xa+yb=1=0ba=x2-x1)y2-y1+一般式：Ax+By+C韋達定理：x+x=-l1/l2k1=k2點線距離：dcxx=aA=x+By+CA+BAx+By+C1=0與A2x+B2y+C2=0平行：AB垂直：AA=+ABBB橢圓：ab-yb=1(ab0)==0a-c焦點：(c,0),(-c,0)c平行：A1x+B1y+C3=0垂直：B1x-A1y+C3=0平面對量類：rrab=vra/b離心率：e=準(zhǔn)線：x=ac

雙曲線：a-yb=1(a,b0)b=c-a(xx,2yy)焦點：(c,0),(-c,0)離心率：e=acxy-xy=0準(zhǔn)線：x=漸近線：y=cbax拋物線：y=2px(p0)p焦點：F,02(x)=2x2,11=-2xx,(xa),=axa-1離心率：e=ca準(zhǔn)線：x=-p2數(shù)列類：等差：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dS1+n)n=n(2=na+n(n-1)2dm+n=p+qam+an=ap+aq等比：an-1n=a1qan=an-mm

qSa11-nq=a1-anqn=1-q1-q(q1)m+n=p+qaman=apaq線性規(guī)劃類：nnxnniyi-xiyii=1(b=i=1i=1*)n2nx2ni-xii=1i=1a=y-bxnxiyi-nxy(xi-x)(yi-y)(*)b=i=1n=nx2x2i-n(xi-x)i=1i=1a=y-bx導(dǎo)數(shù)類：(kx+b),=kC,=0C為常數(shù)x,=1(ax),=axlna(a0,且a1)(ex),=ex(logax),=1exloga=1xlna(a0,且a1)(l

nx),=(sinx),x=cosx(cosx),=-sinxf(x)g(x),=f,(x)g,(x)Cf(x),=Cf,(x)(C為常數(shù))f(x)g(x),=f,(x)g(x)+f(x)g,(x)f(x),f,(x)g(x)+f(x)g,(x)g(x)=g2(x)(g(x)0)復(fù)數(shù)：i=-1a+bi=c+dia=c,b=d(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)ix2+y=(x+yi)(x-yi)Z-a=r,以(a,0)為圓心，r

為半徑的圓Z-(a+b)i=r,以(a,b)為圓心，r為半徑的圓w=13-2+2i=1(1i)2=2i1+w+w2=0ax+bx+c=0,(b2-4ac0)x=-b4ac-b2求根公式：i2a向量與向量模關(guān)系：Z1-Z2Z1-Z2Z1+Z2Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1=a+bi,Z2=a+(-b)iZ1,Z2共軛。

等式與不等式：a+b=(a+b)a-ab+b()(a+c)22a(+b)a+ab+bb3b=a+24(a+b+c)23a+b+c()a+b2ab,a+b2ab,a=b時取“=a+b2aba+

b+cab+bc+ac222平面幾何類：內(nèi)心：三條角平分線的交點到交邊距離相等，為內(nèi)切圓圓心外心：三條中垂線的交點外接圓的圓心垂心：三條高線的交點重心：三條中線的交點S三角形=1pp-ap-bp-c注：p=(a+b+c)2角平分線：中AD=ABAC=BDDC：線2AB長+AC-BC12aS扇形=pr=rl弧長2p2立體幾何類：S直棱柱側(cè)=chch,V柱體=V長方體=abc=ShV球=pRS正棱錐側(cè)=S正棱臺側(cè)=1212，V椎體=V臺體=1313ShSS,S球=4pR+S,(c+c)hhS+()公理1：假如一條直線上的兩點

在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在這個平面內(nèi)。

公理2：假如兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線。

公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行。

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

定理1：假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

定理2：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

點、線、平面垂直：過一點有且只

有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直。

直線與平面平行的判定定理：假如平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線與平面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

直線與平面垂直的判定定理：假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：假如兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

兩個平面平行的判定定理：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質(zhì)定理：假如兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行。

兩個平面垂直的判定定理：假如一個平面經(jīng)過；另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。

第四篇：三角形垂心定理三角形的三條高所在直線交于一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OGGH=12。

此直線稱為三角形的歐拉線Eulerline

3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等

。

定理證明已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點O，連接CO并延長交AB于點F，求證：CFAB證明：連接DEADB=AEB=90度

D、

B、D、E四點共圓ADE=ABEEAO=DACAEO=ADCAEOADCAE/AO=AD/ACEADOACACF=ADE=ABE又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度CFAB第五篇：三角形射影定理幾何證明射影就是正投影，從一點到過頂點垂線垂線的垂足，叫做這點在這條直線上的正投影。

一條線段的兩個端點在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射

影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

公式如圖，RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：1AD=BDDC，2AB=BDBC，3AC=CDBC。

證明：在BAD與ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BADACD相像，AD/BDCD/AD，即AD2=BDDC。其余類似可證。

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。

由公式2+3得：AB+AC=BDBC+CDBC=BD+CD)BC=BC即AB+AC=BC。***2任憑三角形

射影定理任憑三角形射影定理又稱“第一余弦定理：設(shè)ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是

D、

B、C，則有abcosCccosB，bccosAacosC，cacosBbcosA。

注：以“abcosCccosB為例，b、c在a上的射影分別為bcos

C、ccosB，故名射影定理。

證明1：設(shè)點A在直線BC上的射影為點D，則A

B、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且BD=ccosB，CD=bcosC，a=BD+CD=bcosCccosB.同理可證其余。

1.圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

2.圓周角定理的推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓

周角所對的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.2弦切角定理推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑進一步指出：由于過已知點有且只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線確定過切點；反過來，過切點垂直于切線的直線確定經(jīng)過圓心，因此可以得到兩個推論：推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心引導(dǎo)同學(xué)分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，總結(jié)出如下結(jié)論：假如一條直線具備以下三個條件中的任憑兩個，就可推出第三個

(1)垂直于切線；

(2)過切點；

(3)過圓心相交

弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等幾何語言：若弦A

B、CD交于點P則PAPB=PCPD相交弦定理推論：假如弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC=PAPB相交弦定理推論割線定理：割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線則有這點到