2020-2021高中數學第一冊學案：3.3函數的應用（一）含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學年高中數學人教B版必修第一冊學案：3.3函數的應用（一）含解析3．3函數的應用(一)[課程目標］1.利用所學知識，解決一次函數型、二次函數型及分段函數型的實際問題;2。掌握求解函數應用題的基本步驟，培養(yǎng)學生的數學應用意識．知識點函數的模型[填一填]1．已知函數的模型(如一次函數、二次函數等),求解析式時，一般方法是設出函數的解析式,根據題設條件，用待定系數法求系數，解題中要充分挖掘題目的隱含條件，充分利用圖形的直觀性．2．數學建模就是通過建立實際問題的數學模型來解決問題的方法．[答一答]“用一根長為12m的鐵絲彎成一個矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大面積是多少？”本問題可以建立一個什么樣的數學模型去解決？提示：可設矩形框架一邊長xm，則另一邊長為eq\f（12－2x,2)＝6－x(m）．∴面積S＝x(6－x）＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9≤9(m2）．∴本問題可以建立二次函數模型利用二次函數的性質解決．類型一一次函數模型［例1］某市有A、B兩家乒乓球俱樂部,兩家的設備和服務都很好,但收費標準不同，A俱樂部每張球臺每小時5元，B俱樂部按月收費，一個月中30小時以內（含30小時）每張球臺90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元．某學校準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時．（1)設在A俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x）元(15≤x≤40），在B俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費為g（x）元(15≤x≤40），試求f（x）和g(x)的解析式；（2)問選擇哪家俱樂部比較合算？為什么？［解](1）由題意可得f(x）＝5x(15≤x≤40)，當15≤x≤30時，g（x)＝90,當30<x≤40時,g（x)＝90＋(x－30）×2＝2x＋30,∴g（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（90，15≤x≤30，,2x＋30,30〈x≤40。)）(2)當15≤x<18時，75≤f(x)<90，g(x)＝90，∴f（x）<g(x）;當x＝18時，f（x）＝g(x)＝90；當18〈x≤30時，g(x）＝90，而f(x)＝5x>5×18＝90,∴f（x）>g（x);當30<x≤40時，g(x）＝2x＋30≤2×40＋30＝110，而f(x)＝5x>5×30＝150,∴f（x）〉g(x)．∴當15≤x<18時,選A俱樂部比較合算；當x＝18時，兩家一樣；當18〈x≤40時,選擇B俱樂部比較合算．求解一次函數模型應用題的策略1一次函數模型層次性不高，求解也較為容易，一般情況下可以用“問什么，設什么，列什么"這一方法來處理。2對于給出圖像是一次函數圖像的應用題，可以先利用函數的圖像用待定系數法求出解析式，再反過來,用函數解析式來解決問題，最后翻譯成具體問題作出解答.［變式訓練1］商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價20元，茶杯每個定價5元,該商店現推出兩種優(yōu)惠辦法：(1)買一個茶壺贈送一個茶杯;(2）按購買總價的92%付款．某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個），若購買茶杯數為x(個)，付款為y(元)，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數關系式,并指出如果該顧客需購買茶杯40個,應選擇哪種優(yōu)惠辦法?解：付款分為兩部分,茶壺款和茶杯款,需要分別計算．由優(yōu)惠辦法（1）得函數關系式為y1＝20×4＋5（x－4)＝5x＋60（x≥4,x∈N＋)．由優(yōu)惠辦法(2)得函數關系式為y2＝(20×4＋5x)×92％＝4.6x＋73.6（x≥4，x∈N＋）．當該顧客需購買茶杯40個時，應選擇優(yōu)惠辦法（2）．理由如下：采用優(yōu)惠辦法(1)應付款y1＝5×40＋60＝260元;采用優(yōu)惠辦法(2）應付款y2＝4.6×40＋73.6＝257。6元，由于y2〈y1，因此應選擇優(yōu)惠辦法（2）．類型二二次函數模型［例2］某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調查發(fā)現，若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y（箱）與銷售單價x（元/箱）之間的函數關系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元）與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式；（3）當每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？[解］(1)根據題意,得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N＋)．（2）因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝（x－40）(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N＋）．（3)因為w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60)2＋1200，所以當x〈60時,w隨x的增大而增大．又50≤x≤55,x∈N＋,所以當x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．二次函數模型的解析式為fx＝ax2＋bx＋ca≠0。在函數建模中，它占有重要的地位.在根據實際問題建立函數解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的最值問題。二次函數求最值最好結合二次函數的圖像來解答.[變式訓練2]某農家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間日房租每增加2元，客房出租數就會減少10間．若不考慮其他因素，旅游公司將房間租金提高到多少時,每天客房的租金總收入最高？解：設客房日租金每間提高x個2元，則每天客房出租數為300－10x，由x>0，且300－10x>0得:0〈x〈30，設客房租金總收入y元，則有:y＝（20＋2x)·(300－10x）＝－20（x－10）2＋8000(0<x〈30），由二次函數性質可知，當x＝10時,ymax＝8000。所以當每間客房日租金提高到20＋10×2＝40元時，客房租金總收入最高，每天為8000元．類型三分段函數模型[例3］某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收入滿足函數:R(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（400x－\f(1，2）x2，0≤x≤400，，80000，x>400,））其中x是儀器的月產量．（1)將利潤表示為月產量的函數f（x);（2）當月產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元?（總收入－總成本＝利潤）［解］(1)設月產量為x臺，則總成本為(20000＋100x）元，則f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，，－100x＋60000，x>400。))（2）當0≤x≤400時,f(x)＝－eq\f（1，2)x2＋300x－20000＝－eq\f（1,2)(x－300）2＋25000，∴當x＝300時，f（x)max＝25000；當x>400時，f(x）＝－100x＋60000，此時f（x)在定義域上是減函數，∴f(x）<f(400）＝20000.綜合以上情形可知，當x＝300時，f（x)的最大值為25000。即每月生產300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元．1在求分段函數解析式時，應先確定分“段”，即函數分成幾段，并抓住“分界點”，確保分界點“不重，不漏”.2求函數值時，先確定自變量的值所屬的區(qū)間，再代入；同樣,已知函數值,求解自變量的值時,就是解方程的過程，即每段都令y取已知函數值,解出相應x的值，再判別是否屬于所在區(qū)間.［變式訓練3]已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地．（1）把汽車與A地的距離x（千米）表示為時間t（小時）的函數；（2）求汽車行駛5小時后與A地的距離．解：(1）汽車以60千米/時的速度從A地到B地需2.5小時，這時x＝60t；當2。5〈t≤3.5時,x＝150；汽車以50千米/時的速度返回A地需3小時，這時x＝150－50（t－3。5）＝－50t＋325。所求函數的解析式為x＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(60t，0≤t≤2.5,,150，2。5〈t≤3.5，,－50t＋325，3。5〈t≤6.5.))(2）當t＝5時，x＝－50×5＋325＝75，即汽車行駛5小時后離A地75千米．1．某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為：y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x,1≤x<10，x∈N＋，,2x＋10，10≤x<100,x∈N＋，，1.5x,x≥100,x∈N＋.))其中，x代表擬錄用人數，y代表面試人數．若應聘的面試人數為60，則該公司擬錄用人數為（C）A．15 B．40C．25 D．130解析：令y＝60。若4x＝60，則x＝15〉10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用25人．2．化工廠在一月份生產某種產品200t，三月份生產yt，則y與月平均增長率x之間的關系是(D)A．y＝200x B．y＝200x2C．y＝200（1＋x) D．y＝200(1＋x)2解析:一月份為200t，二月份為200x＋200＝200(x＋1)t，三月份為200(x＋1)x＋200（x＋1)＝200（x＋1）(x＋1）＝200(x＋1)2t，即y＝200(x＋1)2。3．某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網內打出電話時間t（分鐘）與打出電話費s(元)的函數關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差（A）A．10元 B．20元C．30元 D。eq\f(40，3）元解析:設A種方式對應的函數解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應的函數解析式為s＝k2t，當t＝100時，100k1＋20＝100k2,∴k2－k1＝eq\f(1，5），當t＝150時,150k2－150k1－20＝150×eq\f（1,5)－20＝10.4．某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時,每多訂一個，訂購全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元．(1）當一次訂購量為多少時，零件的實際出廠單價恰降為51元？（2)當一次訂購量為x個時，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數P＝f（x)的表達式．（3)求當銷售商一次訂購500個零件、1000個零件時，該廠獲得的利潤．解:（1)設一次訂購x0個時,單價恰降為51元,則x0＝100＋eq\f（60－51,0。02）＝550。因此,當一次訂購550個時，每個零件的實際出廠單價恰好降為51元．（2)當0<x≤100時,P＝60；當100〈x〈550時，P＝60－0。02(x－100)＝62－eq\f（x，50）;當x≥550時,P＝51.所以P＝f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（60，0<x≤100，，62－\f（x,50)，100〈x<550，，51，x≥550.)）（3）設銷售商一次訂x個時，廠家獲利為y元,則y＝（P－40)x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2