專題6.15數列與簡論問題的研究拓展

1：設{ad的等差數列，{bq的等比數列 若a3n1，是否存在m,kN，使a a 數列中，若b1，公比q(0,1)，且kN，b

仍是{b q

k

k {aa1d2試證明任給mN,pN使aaa成等比數列 1 探究2：已知an是公差為d的等差數列，bn是公比為q的等比數列若a3n1，是否存在m、kN*，有a a?說明理由 找出所有數列a和b，使對一切nN*an1b,a an3：從數列

列．設數列

a1d(d0)若a1a2a5q若a1

，從數列

2612否為

的無窮等數列，請說明理由拓展：若a11，從數列

1m(m2)項（

2項，試問當且僅當t為何值時，該數列為{an}的無窮 探究4：設數列{a}，對任意nN*都有(knb)(aa)p2(a a)，(其中k、b、p 常數an（1）當k0b3p4時，求a1a2an（2）當k1，b0，p0時，若a33，a915，求數列{an}的通 若數列an中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列k1b0p0Sn是數列an的前na2a12a，對任意nN*S0,

1

11 1 若存在，求數列an的首項a1的所有取值；若不存在，說明理由（1）當k0b3p43(a1an42(a1a2

an)， n1去代n3(a1an142(a1②-①3(an1an)2an1an13an在①中令n1a1a0，

anan1)，3a an 3nan 數列{an13的等比數列，a 3nan （2）當k1，b0，p0時，n(a1an)2(a1 an) 用n1去代n得，(n1)(a1an1)2(a1 anan1) ④-

(n1)an1nana10 n1去代nnan2n1)an1a10，⑥-nan22nan1nan0，即an2an1an1an∴數列{aa3a15，∴公差da9

2，∴

2n

9 n由（2）知數列{ana2a12ana12(n1。又amnNpN使na12(n1a12(m1a12p1，得a12pmn1，故a1 又由已知 ，

1 —方面，當

18

時，

n(n

1)

，對任意

nN

，都有1

11 11 S另一方面，當a12Snn(n1Sn

n則111 11 nn2

1 Sa14Snn(n3Sn

3 n

1

111

13

n

n

n

)11a6

n(na1)n(n3)，

1(1 1) 1 11

1(

3 n 1)11

3n

n n 又18

12a4a6a8或a

拓展1：設數列ann1, 是等差數列，且公差為d，若數列an中任意（不同）兩項之和仍是數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列（1）若a1

（2）試問：數列an為“封閉數列”的充要條件是什么？給出你的結論并加以證明

對任意的正整數滿足：an2an1k(k為常數

稱為“等差比數列nan1nn若數列an的前n項和Sn滿足Sn2(an1)，求an的通項 ，并判斷an是否為“等差比數n若數列an為等差數列，試判斷an是否為等差比數列？并說明理由

5（1）設aa,a是從－1,0,1這三個整數中取值的數列，若aa

91 (a1)2a1)2a1)2107，則aa,

中數字0的個數 . 1 已知a,b,c,d是正整數，abcd，da7，若a,b,c成等差數列，b,c,d成等比數列，則這四 已知等差數列an首項為a，公差為b，等比數列bn首項為b