《矩陣的廣義逆及其應(yīng)用【研究】》

矩陣的廣義逆及其應(yīng)用摘要：矩陣是一個非常有效而且應(yīng)用廣泛的工具，也是處理實際問題的重要工具，本論文主要討論的是可逆矩陣的求法及簡單應(yīng)用，同時推廣一般逆矩陣。本論文主要分為兩個部分來展開，一是矩陣的一般逆，先是闡述逆矩陣的定義，再簡要介紹了逆矩陣的求法，然后給出了逆矩陣一些應(yīng)用實例，如在線性方程組、初等循環(huán)矩陣、信息編碼解碼、調(diào)配問題、投入產(chǎn)出分析等方面的應(yīng)用；二是矩陣的廣義逆，矩陣的廣義逆較逆矩陣復(fù)雜些，先是討論了廣義逆矩陣的概念，并對廣義逆進(jìn)行分類，同時簡述了一些計算方法，最后討論了廣義逆矩陣的應(yīng)用，如減號逆、加號逆、密鑰協(xié)商的應(yīng)用。本論文簡要介紹了逆矩陣與廣義逆矩陣的概念及不同的應(yīng)用，有助于分析矩陣的解題能力和鞏固矩陣的基本知識。關(guān)鍵詞：逆矩陣廣義逆矩陣線性方程組信息編碼密鑰協(xié)商1緒論1.1研究目的意義在矩陣的理論中，逆矩陣是非常重要的部分，我們已經(jīng)學(xué)了一些基本的定義，性質(zhì)和逆矩陣的計算，高等代數(shù)中，我們都是在矩陣為方陣并且行列式不為零的條件下來對矩陣的逆展開討論的。但是，這里我們就要考慮到一般的逆矩陣只是對非奇異的方陣有意義，我們在實際生活中碰到的矩陣并不是恰好滿足方陣且行列式不為零這兩大條件，因此在此基礎(chǔ)上，提出了廣義逆矩陣的概念。通過逆矩陣與廣義逆矩陣的結(jié)合，緊緊掌握了矩陣的理論知識。本課題通過總結(jié)了一般的逆矩陣和廣義逆的定義及性質(zhì)，并給出在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，其中對部分理論給出簡單的解釋，對一些重要的結(jié)論給出典型例題加以說明。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀矩陣是代數(shù)的一個重要研究對象，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用中不可或缺的一部分。根據(jù)世界的數(shù)學(xué)發(fā)展記錄，早在20世紀(jì)50年代就已經(jīng)創(chuàng)建了矩陣這一術(shù)語來理解線性方程。但實際上，早在千年前的中國《九章算術(shù)》一書中，就已經(jīng)對矩陣進(jìn)行了描述。1850年，英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特(JamesJosephSylveste)在研究線性方程的時候，當(dāng)所遇的未知數(shù)的數(shù)量和方程的數(shù)量不同時，這種情況下行列式不可用，因而引入矩陣這一詞。1858年，在研究矩陣的理論的時候，英國數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊（Arthurkelley）對兩個矩陣的恒等、加法、數(shù)字與矩陣的乘法都進(jìn)行了定義，對數(shù)字與矩陣的乘法，以及特殊矩陣譬如零矩陣、單位矩陣。同時他給出了矩陣的乘法及求逆的概念，并利用伴隨矩陣法來證明矩陣乘法結(jié)合律，及沒有交換律的結(jié)論，還證明了兩個非零矩陣相乘仍為零矩陣，還提出了轉(zhuǎn)置、對稱、反對稱矩陣的概念。1920年，廣義逆矩陣的概念首次由E.H.穆爾在美國芝加哥提出，但由于其極其困難的表示法，這一理論幾乎沒有引起注意。1955年，英國的數(shù)學(xué)物理學(xué)家約翰·彭羅斯(JohnPenrose)提出了一個定義，它等價于E.H.穆爾給出的廣義逆的定義，但是更加明確，后來被人們稱為穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。到19世紀(jì)末，整個矩陣?yán)碚擉w系基本形成。至今，它已發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個重要部分，在測量、控制論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)理論等方面都應(yīng)用廣泛。2逆矩陣2.1逆矩陣的定義定義1：設(shè)矩陣A?Rn×n，存在矩陣AB=BA=E那么A為可逆矩陣，同時B是A的逆矩陣，記作A?1，即B=注1：可逆矩陣A必定是方陣，且只有唯一的逆，同時A?1與A階數(shù)相同AA2.2可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì)如下：=1\*GB3①若矩陣A可逆，則：A?1也可逆，且AAT也可逆，且A當(dāng)數(shù)λ≠0，則λA也可逆，且(λA)?1=2\*GB3②若矩陣A，B可逆，則：AB也可逆的，且(AB)?1有A?1有A?k=3\*GB3③若矩陣A1,A2,?,An都可逆，則A1,(A注2：若A，B兩者都是可逆矩陣，并且有相同的階數(shù)，那么A+B未必是可逆的。例如A=1121,B=1注3：如果=3\*GB3③的逆命題成立，即假如矩陣AB是可逆的，那么A和B都是可逆的。由于矩陣AB可逆的，則|AB|=|A||B|≠0,即有|A|≠0且|B|≠0,因此矩陣A、B都可逆。2.3逆矩陣的判別方法若矩陣A為n階方陣，則滿足矩陣A的充要條件有：（1）存在n階方陣B使得AB=BA=E；（2）|A|≠0；（3）矩陣A可以由一系列初等行變換（或者列變換）化成單位矩陣E；（4）線性方程組AX=O只有零解；（5）矩陣A的行向量（列向量）組線性無關(guān)。3逆矩陣的應(yīng)用3.1在信息編碼、解碼中的應(yīng)用如果甲方想通過公共渠道向乙方傳遞一些信息，在傳輸過程中，可能缺乏足夠的安全保護(hù)，第三方很可能竊取所要傳輸?shù)男畔?，并進(jìn)行篡改。所以在信息傳輸之前,為了安全起見，我們通常對將要傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行加密：運(yùn)用可逆矩陣的乘法等性質(zhì)做簡單運(yùn)算。1.將26個字母a,b,?,z與26個阿拉伯?dāng)?shù)字1,2,?,26一一對應(yīng)，空格用數(shù)字0來表示。如要傳輸?shù)男畔⑹莄andy，那么得到的信息編碼是3，1，14，4，25。2.將信息編碼從左到右每x個(3個或者4個)字符分成一組，不足x個的用空格填上，這就得到了編碼矩陣Y。將此信息編碼寫成3×2矩陣（按列），得到Y(jié)=3.2在調(diào)配問題中的應(yīng)用隨著商品經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，商品的種類也越來越龐大，從而調(diào)配問題也日益突出，下面通過具體的實際問題來說明調(diào)配問題的求解過程。例:1：假設(shè)某酒吧有甲、乙、丙三種酒，它們分別包含三種主要成分A,B,C的含量如下表：表1.不同酒的酒含量ABC甲0.700.200.10乙0.600.200.20丙0.650.150.20調(diào)酒師現(xiàn)需要用以上三種酒來調(diào)制出另外的一種酒，使得該酒中X,Y,Z的含量分別為：66.5%，18.5%，15%，問該調(diào)酒師能否配置出滿足要求的酒呢？如果可以，那么這三種酒分別加入的比例是多少呢？如果甲酒缺貨時，那么能否用三種主要成分含量為（0.800.120.08）的丁酒來代替呢?如果可以，那么配置比例又是多少？3.3在投入產(chǎn)出分析中的應(yīng)用所謂的投入產(chǎn)出分析，是研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個部分間表現(xiàn)為投入與產(chǎn)出的相互依存關(guān)系的經(jīng)濟(jì)數(shù)量方法。投入指在生產(chǎn)、經(jīng)營活動中的消耗(如人的勞動、原材料、設(shè)備、能源等消耗)。產(chǎn)出指生產(chǎn)活動中創(chuàng)造出的各種有用的物品與勞務(wù)(如生產(chǎn)出來的積累、消費(fèi)、產(chǎn)品等)。把一定比例的動力設(shè)備、原材料、資金投入生產(chǎn)活動中，就可以按計劃生產(chǎn)出一定數(shù)量的產(chǎn)品。例如，投入生鐵與廢鋼經(jīng)過冶煉就能產(chǎn)出鋼，投入棉花經(jīng)過紡織就能生產(chǎn)出棉布等等。由y=A(110220330)T,因為產(chǎn)值不能是負(fù)的，所以上述結(jié)果不合理，也就是說該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的第二部門的產(chǎn)值過大(今年大約過剩40)，而其他部門缺乏相應(yīng)的產(chǎn)品與之配合.這也說明該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門發(fā)展不平衡，必然有一些產(chǎn)品閑置，而且因為相應(yīng)部門的生產(chǎn)能力過大，這些產(chǎn)品永遠(yuǎn)不能夠得到利用.因此，為了避免以上情況發(fā)生，使各:部門平衡發(fā)展，管理部門需要調(diào)整初始產(chǎn)值。要使國民經(jīng)濟(jì)均衡發(fā)展，不能只顧眼前利益，只發(fā)展一些見效快或易發(fā)展的產(chǎn)業(yè)，造成發(fā)展不平衡的狀態(tài)，制約整個國民經(jīng)濟(jì)的良好發(fā)展，應(yīng)該注意長短結(jié)合，防止經(jīng)濟(jì)危機(jī)的出現(xiàn)特別是，要有更多的科技投入，也就是即改變消耗系數(shù)矩陣，只有這樣才能真正使經(jīng)濟(jì)得到既迅速又均衡的發(fā)展。4矩陣的廣義逆4.1定義若把矩陣A的列向量所組成的線性空間記為S(A)，則線性方程組Ax=b有解（或者說容）的充分必要條件是b∈S(A)，若A可逆，則此線性方程組必定有解，其解為x=A?1b，若A不可逆，對于相容方程組Ax=b，現(xiàn)在提出這樣的問題：能否找到只有與A有關(guān)的矩陣G定理1：對任意b∈S(A)，存在矩陣G使得x=Gb為相容線性方程組Ax=b的解的充要條件是，G滿足AGA=A（1-1）證：?假設(shè)對于任何b∈S(A)，矩陣G使得x=Gb為Ax=b的解，即AGb=b，設(shè)A∈Cm×n，那么對任何，取b=Az，代入上式，有AGAz=Az，由z的任意性即得

?假設(shè)G滿足AGA=A，對于任何b∈S(A)，不妨設(shè)b=Az，則A即x=Gb就是Ax=b的解。1955年，彭諾斯指出，對于任意復(fù)數(shù)矩陣Am*n，如果存在負(fù)矩陣An*m，滿足AXA=A(1-1)XAX=X(1-2)(AX)T=AX(1-3)(XA)T=XA(1-4)則稱X為A的一個Moore-Penrose廣義逆，并把上面的四個方程叫做Moore-Penrose方程，簡稱M-P方程，而在（1-3，（1-4）中的T表示轉(zhuǎn)置。而當(dāng)某個X，只是滿足式（1-1），則X為A的{1}廣義逆，記做；如果另外一個Y滿足式（1-1）、（1-2），則Y為A的{1,2}廣義逆，記做;如果，則X同時滿足四個方程式，他就是Moore-Penrose廣義逆。應(yīng)用較多的有一下五種：A{1},A{1,2}A,{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}只有A+=1\*GB3①A1：其中任意一個確定廣義逆，稱為A的減號逆矩陣，或g逆，記為A?；=2\*GB3②A1,2：其中任意一個確定的廣義逆，稱為A的自反廣義逆，記為Ar?；=3\*GB3③A1,3：其中任意一個確定的廣義逆，稱為A的最小范數(shù)廣義逆，記為Am?；=4\*GB3④A1,4：其中任意一個確定的廣義逆，稱為A的最小二乘廣義逆，記為Ai?；=5\*GB3⑤A1,2,3,4：唯一確定的廣義逆，稱為加號逆，或偽逆，或Moore-Penrose逆，記為A+。4.2廣義逆的分類4.2.1減號逆A?定義2：設(shè)矩陣A?Rn×n，存在矩陣AGA=A稱G為A的減號逆矩陣，記G=A?，即在A?1存在時，可知A?1也滿足上式，故減號逆A?是普通逆矩陣A?1的推廣，另外由AA可見，當(dāng)A?為A的一個減號逆時，(A?符合定義的A?不唯一，一般可求出矩陣A=其推導(dǎo)過程為：設(shè)，且rank（A）=r，存在n階的可逆矩陣Q與m階的可逆矩陣P，使得那么可以得到根據(jù)Y應(yīng)滿足AYA=A,有再令分塊如題設(shè)要求，代到上面的公式中，可以得到所以Y1=Er，于是就可以推斷出=所以，Y1=Er，Y24.2.2自反廣義逆Ar?通常對于普通的矩陣A，有(A?1)A=10但是A?1即(A定義3：對于一個m×n階實矩陣A，使AGA=A,以及GAG=G.同時成立的n*m階實矩陣X，稱其是A的一個自反廣義逆，用Ar表示，那么就有AArA=A及其ArAAr=A顯然，自反廣義逆為減號逆的一個子集，滿足其自反性質(zhì)(A4.2.3最小范數(shù)廣義逆Am?定義4：設(shè)矩陣A?Rm×n(m≤n)AXA=A以及(XA)那么X為A的一個最小范數(shù)廣義逆，記作Am?。故最小范數(shù)廣義逆是用條件(XA)T定理2：設(shè)A?RA為A的一個最小范數(shù)廣義逆。由于(AAT)?不唯一，故4.2.4加號逆A+加號逆的本質(zhì)是AXA=A的基礎(chǔ)上用Moore?penrose條件的四個方程加以限制，用這樣的方式得出的子集A+，不僅在應(yīng)用上特別重要，而且有很多有趣的性質(zhì)。在矩陣中的右上角的定義5：設(shè)A?Rm×n，如果有一個n×m階矩陣AAAX=U∑OOXA=V∑OO所以，X=V∑OO4.3廣義逆的性質(zhì)性質(zhì)1：(A證：由AA?A=A得AHA(性質(zhì)2：AA為了證明性質(zhì)2，先證明一個引理。引理1：A=O?證：?顯然，即A=O??性質(zhì)3:R證:由矩陣乘積的秩不大于其因子的秩和A=AA4.4廣義逆計算言下之意是零矩陣的廣義逆總是存在的，但討論零矩陣的廣義逆似乎無多大意義，下面假設(shè)A是非零矩陣。定理：任何非零矩陣的廣義逆都是存在的。證：設(shè)非零矩陣A?CA為行（或列）滿秩矩陣，這時A的右（或左）逆存在，而右（或左）逆都滿足廣義逆的定義，即A行滿秩時，可取A?列滿秩時，可取A?（1）A既非行滿秩，又非列滿秩，設(shè)A的秩RA.=r，0<r<min{m,n}，則存在可逆矩陣P，Q,其中Ar為r階可逆矩陣，Ar為A=P即A可滿秩分解為A=BD，其中B=P?1ArO?Cm×r為列滿秩矩陣，D=A所以A的廣義逆A?若矩陣A既非行滿秩又非列滿秩，由定理的證明知，有滿秩分解A=P則A求P,Q和Ar（1）先對AE進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變?yōu)锳AE初等行變換A（2）再對A1E進(jìn)行初等列變換，當(dāng)A1AE初等列變換如此即得到的式中的P,Q和Ar再對A1進(jìn)行列變換，求出Q和A，A5矩陣的廣義逆的應(yīng)用5.1用廣義逆A?求方程組通解的應(yīng)用1.利用矩陣A的一個廣義逆A?,求矩陣方程AX=B定理3：若A?是A的一個廣義逆矩陣，則矩陣方程AX=BX=A證：首先證明矩陣方程AX=O的通解為X=(E因為A?是A的一個廣義逆矩陣，A?A是一個n階方陣，由定義A?AA=A，即有AEn?A?A=O。若令n階方陣C=E又矩陣方程AX=O的一個特解為X=A?B，根據(jù)矩陣方程AX=B代入通解公式，其中y1,2.用矩陣A的全部廣義逆A?，求矩陣方程AX=B根據(jù)廣義逆矩陣的計算方法，如果能求出矩陣A的全部廣義逆A?，而廣義逆中又自然帶有若干個自由未知量，即可由X=例2：已知A=1?11解：對矩陣A進(jìn)行行及列的初等變換，可求得其中y1X=其中z15.2線性方程組的最佳逼近解由于加號逆不僅是減號逆，還是最小范數(shù)逆以及最小二乘逆，所以對于方程組AX=b是否有解，我們都可以用加號逆A+（1）AX=b相容時，X=A+b是極小范數(shù)解；X=（2）AX=b不相容時X=A+b是最小二乘解；X=A定理4：不相容方程組AX=b有唯一的極小最小二乘解X=A證：不相容方程組最小二乘解的一般表達(dá)式為x=只需證明：對任意列向量Z應(yīng)成立恒有不等式A即可。事實上A試求極小范數(shù)最小二乘解。A=所以F=00由公式得FA有極小范數(shù)最小二乘解X=5.3在密鑰協(xié)商方案中的應(yīng)用假設(shè)用戶甲和用戶乙兩人之間由于某種原因需要秘密聯(lián)系，于是他們通過公