江蘇省南京市年高二數(shù)學(xué)暑假綜合練習(xí)二

PAGEPAGE1高二暑假綜合練習(xí)（二）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答卷紙相應(yīng)位置上．1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)為___________．2．已知eq\F(2＋3i,i)＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則ab＝___________．3．為了調(diào)查城市PM2.5的值，按地域把36個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對應(yīng)的城市數(shù)分別為6，12，18．若用分層抽樣的方法抽取12個(gè)城市，則乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為___________．4．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個(gè)小組，且他們參加各個(gè)興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為___________．5．已知非零向量a，b滿足|a|＝|a＋b|＝1，a與b夾角為120°，則向量b的模為___________．開始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN輸出k結(jié)束(第開始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN輸出k結(jié)束(第8題)7．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－EQ\F(1,2)，Sn為其前n項(xiàng)和，則eq\f(S4,a4)＝___________．8．右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的k＝___________．9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝eq\F(eq\R(,3),3)，則△ABC的面積為___________．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的圓心在第一象限，圓C與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，且與直線x－y＋1＝0相切，則圓C的半徑為___________．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(ex－k，x≤0，,(1－k)x＋k，x＞0))是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________．12．已知α，β為平面，m，n為直線，下列命題：①若m∥n，n∥α，則m∥α；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，則m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．其中是真命題的有___________．(填寫所有正確命題的序號)13．已知直線x＝a(0＜a＜eq\F(π,2))與函數(shù)f(x)＝sinx和函數(shù)g(x)＝cosx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，若MN＝eq\F(1,5)，則線段MN的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為___________．14．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋m的圖象與函數(shù)g(x)＝ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________．

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋eq\f(π,4))的值．16．如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求證：AD⊥DC1；ABCDA1B1C1(ABCDA1B1C1(第16題)17．經(jīng)觀察，人們發(fā)現(xiàn)鮭魚在河中逆流勻速行進(jìn)時(shí)所消耗的能量為E＝kv3t，其中v為鮭魚在靜水中的速度，t為行進(jìn)的時(shí)間(單位：h)，k為大于零的常數(shù)．如果水流的速度為3km/h，鮭魚在河中逆流行進(jìn)100km（1）將鮭魚消耗的能量E表示為v的函數(shù)；（2）v為何值時(shí)，鮭魚消耗的能量最少?18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為eq\f(1,2)，右準(zhǔn)線為l：x＝4．M為橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線AM與直線l交于點(diǎn)P．（1）求橢圓C的方程；（2）若＝，判斷點(diǎn)是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；ABPMNxyO(第18題)（3）連結(jié)ABPMNxyO(第18題)19．設(shè)t＞0，已知函數(shù)f(x)＝x2(x－t)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率為k，當(dāng)x0∈(0，1]時(shí)，k≥－eq\F(1,2)恒成立，求t的最大值；（3）有一條平行于x軸的直線l恰好與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)C，D，若四邊形ABCD為菱形，求t的值．20．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a的值；（2）確定a的取值集合M，使aM時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—1：幾何證明選講ABDCPO·(第21A題)如圖，CP是圓O的切線，P為切點(diǎn)，直線CO交圓OABDCPO·(第21A題)求證：∠DAP＝∠BAP．B．選修4—2：矩陣與變換設(shè)a＞0，b＞0，若矩陣A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(a0,0b))把圓C：x2＋y2＝1變換為橢圓E：eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,3)＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A－1．C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C：ρ＝4cosθ被直線l：ρsin(θ－EQ\F(π,6))＝a截得的弦長為2EQ\r(,3)，求實(shí)數(shù)a的值．D．選修4—5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．如圖，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面PBC；PABCDE(第22題)PABCDE(第22題)23．在一個(gè)盒子中有大小一樣的7個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，2，3，3．現(xiàn)從盒子中同時(shí)摸出3個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量X為摸出的3個(gè)球上的數(shù)字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(X)．

高二暑假綜合練習(xí)（二）參考答案一、填空題．1．42．－63．44．eq\F(1,3)5．16．eq\F(7,2)7．－58．119．eq\F(eq\R(,3),6)10．eq\R(,2)11．[eq\F(1,2)，1)12．②③④13．eq\F(7,10)14．(－∞，－eq\F(1,2)－ln2)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）解：（1）因?yàn)閍∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，…3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝eq\F(3,5)．…6分（2）因?yàn)閍⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…8分所以tanθ＝－eq\F(5,6)．…10分所以tan(θ＋eq\F(π,4))＝eq\F(tanθ＋taneq\F(π,4),1－tanθtaneq\F(π,4))＝eq\F(1,11)．…14分16．（本小題滿分14分）證明：（1）因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…5分因?yàn)镈C1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…7分ABABCDA1B1C1（第16題圖）D1ABCDA1B1C1（第16題圖）O（2）(證法一)連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為A1因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A1B．…11分因?yàn)镺Deq\o(,\d\fo0()\s\up1(ì))平面ADC1，A1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1(ì))平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…14分

(證法二)取B1C1的中點(diǎn)D1，連結(jié)A1D1，D1D，D1B．則D1C1eq\o(eq\o(,\d\fo()\s\do4(＝)),\d\fo4()\s\up2(∥))BD．所以四邊形BDC1D1是平行四邊形．所以D1B//C1D．因?yàn)镃1Deq\o(,\d\fo0()\s\up1(ì))平面ADC1，D1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1(ì))平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可證A1D1//平面ADC1．因?yàn)锳1D1eq\o(,\d\fo0()\s\up1(ì))平面A1BD1，D1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1(ì))平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．…11分因?yàn)锳1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1(ì))平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．…14分17．（本小題滿分14分）解：（1）鮭魚逆流勻速行進(jìn)100km所用的時(shí)間為t＝eq\f(100,v－3)．…2分所以E＝kv3t＝kv3eq\f(100,v－3)＝eq\f(100kv3,v－3)(v(3，＋￥))．…6分（2）E￠＝100keq\f(3v2(v－3)－v3,(v－3)2)＝100keq\f(,)eq\f(2v2(v－4.5),(v－3)2)．…10分令E￠＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．因?yàn)閗＞0，v＞3，所以當(dāng)v(3，4.5)時(shí)，E￠＜0，當(dāng)v(4.5，＋￥)時(shí)，E￠＞0．故E＝eq\f(100kv3,v－3)在(3，4.5)上單調(diào)遞減，在(4.5，＋￥)上單調(diào)遞增．…………13分所以，當(dāng)v＝4.5時(shí)，E取得最小值．即v＝4.5km/h時(shí)，鮭魚消耗的能量最?。?4分18．（本小題滿分16分）解：（1）由eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，,eq\f(a2,c)＝4．))解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1．))所以b2＝3．所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．…4分（2）因?yàn)椋?，所以xM＝1，代入橢圓得yM＝eq\f(3,2)，即M(1，eq\f(3,2))，所以直線AM為：y＝eq\f(1,2)(x＋2)，得P(4，3)，所以＝(－1，eq\f(3,2))，＝(2，3)．…8分因?yàn)椤ぃ絜q\f(5,2)≠0，所以點(diǎn)B不在以PM為直徑的圓上．…10分（3）因?yàn)镸N垂直于x軸，由橢圓對稱性可設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)．直線AM的方程為：y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，所以yp＝eq\f(6y1,x1＋2)，直線BN的方程為：y＝eq\f(－y1,x1－2)(x－2)，所以yp＝eq\f(－2y1,x1－2)，…12分所以eq\f(6y1,x1＋2)＝eq\f(－2y1,x1－2)．因?yàn)閥1≠0，所以eq\f(6,x1＋2)＝－eq\f(2,x1－2)．解得x1＝1．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，eq\f(3,2))．…16分19．（本小題滿分16分）解：（1）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因?yàn)閠＞0，所以當(dāng)x＞eq\F(2t,3)或x＜0時(shí)，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(eq\F(2t,3)，＋∞)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)0＜x＜eq\F(2t,3)時(shí)，f′(x)＜0，所以(0，eq\F(2t,3))為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．………………4分（2）因?yàn)閗＝3x02－2tx0≥－eq\F(1,2)恒成立，所以2t≤3x0＋eq\F(1,2x0)恒成立，…6分因?yàn)閤0∈（0，1]，所以3x0＋eq\F(1,2x0)≥2eq\R(,3x0×eq\F(1,2x0))＝eq\R(,6)，即3x0＋eq\F(1,2x0)≥eq\R(,6)，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝eq\F(eq\R(,6),6)時(shí)取等號．所以2t≤eq\R(,6)，即t的最大值為eq\F(eq\R(,6),2)．…8分（3）由（1）可得，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值0，在x＝eq\F(2t,3)處取得極小值－eq\F(4t3,27)．因?yàn)槠叫杏趚軸的直線l恰好與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線l的方程為y＝－eq\F(4t3,27)．…10分令f(x)＝－eq\F(4t3,27)，所以x2(x－t)＝－eq\F(4t3,27)，解得x＝eq\F(2t,3)或x＝－eq\F(t,3)．所以C（eq\F(2t,3)，－eq\F(4t3,27)），D（－eq\F(t,3)，－eq\F(4t3,27)）．…12分因?yàn)锳（0，0），B（t，0）．易知四邊形ABCD為平行四邊形．AD＝eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)，且AD＝AB＝t，所以eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)＝t，解得：t＝eq\F(3eq\r(4,8),2)．…16分20．（本小題滿分16分）解：（1）在S＝3n2an＋S中分別令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)因?yàn)閍n≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．經(jīng)檢驗(yàn)a＝3時(shí)，an＝3n，Sn＝eq\F(3n(n＋1),2)，Sn－1＝eq\F(3n(n－1),2)滿足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因?yàn)閍n≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③………………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即數(shù)列a2，a4，a6，…，及數(shù)列a3，a5，a7，…都是公差為6的等差數(shù)列，………10分因?yàn)閍2＝12－2a，a3＝3＋2所以an＝eq\b\lc\{(\a\al(a，n＝1，,3n＋2a－6，n為奇數(shù)且n≥3，,3n－2a＋6，n為偶數(shù)，))…12分要使數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，須有a1＜a2，且當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，an＜an＋1，且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＜an＋1，即a＜12－2a3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n為大于或等于3的奇數(shù)3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n為偶數(shù)解得eq\F(9,4)＜a＜eq\F(15,4)．所以M＝(eq\F(9,4)，eq\F(15,4))，當(dāng)aM時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．………………16分21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—1：幾何證明選講證明：因?yàn)镃P與圓O相切，所以∠DPA＝∠PBA．………………2分因?yàn)锳B為圓O直徑，所以∠APB＝90°，所以∠BAP＝90°－∠PBA．………………6分ABDCPO·(第21A題)因?yàn)锳D⊥ABDCPO·(第21A題)所以∠DAP＝∠BAP．………………10分B．選修4—2：矩陣與變換解（1）：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為圓C：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，經(jīng)過矩陣A變換后對應(yīng)點(diǎn)為P′（x′，y′）則eq\b\bc\[(\a\al\vs4(a0,0b))eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x,y))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(ax,by))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x′,y′))，所以eq\b\lc\{(\a\al(x′＝ax，,y′＝by．))．………………2分因?yàn)辄c(diǎn)P′（x′，y′）在橢圓E：eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,3)＝1上，所以eq\F(a2x2,4)＋eq\F(b2y2,3)＝1，這個(gè)方程即為圓C方程．………………6分所以eq\b\lc\{(\a\al(a2＝4，,b2＝3．))，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝2，b＝eq\R(,3)．………………8分（2）由（1）得A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(20,0eq\R(,3)))，所以A－1＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(eq\F(1,2)0,0eq\F(eq\R(,3),3)))．………………10分C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：因?yàn)閳AC的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，直線l的直角坐標(biāo)方程為x－EQ\r(,3)y＋2a＝0．………………4分所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|2＋2a|,2)＝|1＋a|．………………6分因?yàn)閳AC被直線l截得的弦長為2EQ\r(,3)，所以r2－d2＝3．即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2．………………10分D．選修4—5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．證明：因?yàn)閍，b是正數(shù)，所以a2＋4b2≥4ab．………………2分所以a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4ab＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥2eq\R(,4ab×eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab)))＝4．即a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．………………10分22．（1）根據(jù)題意，建立如圖所示