平行四邊形(專題講座含答案)

平行四邊形（專題講座1)例1．下面有四個(gè)命題：（1）一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；(2）一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊(3）行四邊形.(4)一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形。其中，正確的命題的個(gè)數(shù)( ）(A)1 （B) 2 (C) 3 (D) 4例D,以C為邊在兩側(cè)各作一個(gè)正三角形為平行四邊形。k例3．平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)5米和6米，一條對(duì)角線長(zhǎng)為8米，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為 求k。k4．中，AB=AC，AD⊥BCDPBC上,PE⊥BCBA的延長(zhǎng)線于EACF.（1）求證：2AD=PE+PF；（2平移P點(diǎn)在C,PE交A的延長(zhǎng)線于EC的延長(zhǎng)線于，AD，PE，PF滿足的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論。AFAFB D P C例在等腰三角形C的兩腰C上分別取點(diǎn)E和使求證。例6．如圖，在等腰△ABC中，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE。。求證:∠BAC=100°。ABCD求證:對(duì)角AC與兩正方形的頂點(diǎn)XY的聯(lián)線互相垂直。平行四邊形(專題講座1答案）例1．下面有四個(gè)命題：（1)一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形;(2)一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A）1 (B) 2 (C） 3 (D） 4解命題（1）是假命題。如圖中的四邊形ABCD,∠A=∠C，AB=CD，但它不是平行四邊形。命題2）如圖2E底邊D至任意點(diǎn)，以O(shè)為對(duì)角錢ABCE，這時(shí)四邊形ABCDAD=BCAO=OC，但它不是平行四邊形。命題（4）也是假命題，如圖（3）,四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD垂直平分AC，但四邊形ABCD不是平行四邊形.下面證明命題（3)是真命題。如圖（4）,四邊形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且命題。如圖（4）,四邊形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且OB=OD，以O(shè)為中心，將△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°?！逴B=OD,∴D與重合,B與D重合，點(diǎn)A與射線OC上的點(diǎn)A′不是C,則∠BA′D＞。(A在線段C上，非點(diǎn)C（A′在線段OC的延長(zhǎng)線上）都與∠BA′D=∠BAD=∠BCD矛盾，所以 A′即為C，即OA=OA′=OC，所以A′即為點(diǎn)C，即OA=OA′=OC，所以四邊形ABCD是平行四邊形。故選。PDOB例2PDOBAC為邊在兩側(cè)各作一個(gè)正三角形ACQBPDQ.證明因△ACP與△ACQ都是正三角形,于是。故四邊形PAQC為平行四邊.連結(jié)PQ CAC于O。則OACPQ.連結(jié)BD，因ABCD是平行四邊形，故BD與AC互相平分，即BD的中點(diǎn)也是O。 A因?yàn)镻O=QO，BO=DO，所以BPDQ為平行四邊形。Qk例平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)5米和6米一條對(duì)角線長(zhǎng)為8米，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為 ，求kk。解 我們先來證明下面的平行四邊形定平行四邊形四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。 C D右圖中ABCD是平行四邊.作CE⊥AB,DF⊥AB，垂足為。顯然則。 故BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2=(AB+AF）2+FD2+（AB-BE)2+CE2=（AB+BE）2+CE2+(AB-BE）2+CE2=2(AB2+BE2+CE2)=2(AB2+BC2)。

B E A Fk下面運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)解答原題k

）2+82=2(52+62),k=58.例4．如圖,在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,點(diǎn)P在BC上，PE⊥BC交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F。（1）求證：2AD=PE+PF；EAFDPF'（2）PE,PBCBAE，AC的延長(zhǎng)線于AD,PEEAFDPF'AFAFB CB D P C A'解 （1）如圖,延長(zhǎng)AD至A’,使A'D=AD，連結(jié)A’C，延長(zhǎng)EF交A’C于F’.∵在△ABC中,AB=AC,且AD⊥BC,AD平分BC，即BD=CD．又Rt△ADC≌RtA’DCACD=A’CD為等腰三角形，F(xiàn)P=F’P。又A'C∥AB,∴四邊形AA’F’E是平行四邊形，∴ AA’=EF’，AA’=2AD,EF’=EP+PF’=EP+PF,故2AD=PE+PF。 E(2)AD、PE、PF滿足關(guān)系式2AD=PE—PF。如圖,延長(zhǎng)AD到A’使A'D=AD,連接A’C并延長(zhǎng)與EF相交于F’．則由(1)知PF=PF’，且AA'F’E是平行四邊形，∴AA’=EF'，2AD=PE—PF’. AF'B D C PFA'ABCAB,AC上分別取點(diǎn)E。證明 作平行四邊形ABCH，在HC上截取HG=AE,連結(jié)G顯然四邊形H和C也是平行四邊形。A HCG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。G在△EAF與△FCG中，AE=CF，∠EAF=∠FCG， EGAF=CG，所以△EAF≌△FCG。于是EF=FG。因2EF=EF+FG>EG=2，故EF≥1。FB C例6．如圖,在等腰△ABC中，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求證：∠BAC=100°.AB證明 由圖及已知條件中，AD=ED,△ADE AB為等腰三角形，其底角∠EAD必為銳角，所以等腰三角形ABC中，∠BAC為鈍角，必是頂角。所以AB，AC是腰，有AB=AC。過C作AD的平行,與過D所作BC的平行線交于 C點(diǎn)連結(jié)易知BCFD為平行四邊,因此D F∠EAD=∠ECF。在△ADE與△CEF中,AD=CE，AE=DB=CF，∠EAD=∠ECF，所以△ADE≌△CEF,于是ED=EF.ED=BC=DF，△DEF180設(shè)∠BAC=α，則∠ADF=∠ABC= 2 ，∠DAE=180o—α，∠ADE=180o-2∠DAE=180o-2（180o—α)=2α-180o.180由∠ADF+∠ADE=∠EFD=60o，得 2 +(2α—180o）