平行四邊形輔助線作法歸類解析

平行四邊形輔助線歸類講義與平行四邊形有?們借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC,且AECF,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)⑴連結(jié)BF ⑵BFDE⑶證明:連結(jié)DB,DF,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∴AOOC,DOOB∵AEFC AOAEOCFC 即OEOF∴四邊形EBFD為平行四邊形 ∴BFDEDCODCODFOEB A B E圖1 圖2第二類：平移對(duì)角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。2ABCDACBD相交于點(diǎn)O,AC12，BD10，ABm，那么m的取值范圍( )A1m11 B2m22 C10m12 D5m6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DBCE，DCBE,則有四邊形CDBE平行四邊形，∵在ACE中， AC12，CEBD10,AE2AB2m∴12102m1210,即22m22 解得1m11 故選A第三類:過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3，四邊形ABCD為平行四邊形AC

BD

AB

BC

CD

DA2證明:過(guò)A,D分別作AEBC于點(diǎn)E，DFBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∴AC

AE2

CE

AB2

BE

(BCBE)

AB2

BC

2BEBCBD

DF2

BF

(CD

CF2)(BCCF)

CD

BC

2BCCFAC

BD

AB

BC

CDDA2

2BCCF2BCBE∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∴AB∥CD且ABCD,ADBC∴ABCDCF ∵AEBDFC900∴ABEDCF ∴BECF∴AC

BD

AB

BC

CD

DA231P31PF2CADAE C F B A K圖3 圖4第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。ABCD中EF分別是CDDA與CFPAPAB證明:延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K∵四邊形ABCD為正方形ABCDABCDCDADBADBCDD900∴又∵DDAK900,DFAF ∴CDF≌∴AKCDAB ∵CE

1CD,DF

1AD ∴CEDF∵BCDD900

2 2∴BCE≌CDF ∴2∵900∴APAB

∴2900

CPB900，則KPB900第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。55ABCD中E為邊CD適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于F，則有AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽FABADEADEANOFBEC圖6B 圖5 C F第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線66ABCDANBNBE交BD于F,求BF:BDACBD于點(diǎn)O，連結(jié)ON

1BC，NE3BD∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∴OAOC,OBOD2∵ANBN ON1BC且ON

1BC ∴BEBF2 2 ON FO∵BE

1BC ∴BE:ON2:3 ∴BF23 FO 3BF