講課提綱第三次NoteBolzano定理說明實數(shù)具有列緊性Cauchy收斂

§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.34（1，10，kk

是an

n

anA

ak a

Alimanlim

A

Note：對某些數(shù)列，可以利用必要性說明其極限不存在。例如數(shù)列(1)na12an12

an調(diào)性，我們考慮他的兩個特殊子列a2n和a2n1。a2n2a2n

a2n a2n1a2na2na2n3a2n1

a2n1a2n122a2n12

1

a2n22

1a2n

可證n

a2n

n

a2n1

an二、區(qū)間套定理（Cantor準則[an,bn]滿足[an1,bn1an,bnn區(qū)間套定理（Cantor準則

n

(bnan)0定理：若[an,bn]是一個區(qū)間套，則存在唯一的實數(shù)，使得[an,bnn 界a1

n

an

n

bnA

n

an,B

n

bn利用極限的保序性質(zhì)，anABbn，由于取AB，則[an,bn](n)。

n

(bnan0BA0 1Note：開區(qū)間套沒有相應結(jié)論，例如(0n) 證明：設數(shù)列cnmcnM記a1mb1Md1a1b1d1是cn的上界，則取[a2,b2a1d1]，否則[a2,b22d2a2b22

d2是cn[a3,b3a2d2[a3,b3d2,b2]；[ak,bk]，滿足：對任意的kbk是cn的上界，且[akbk中至少含有cn中的一項。

k

k

ak[ak,bkk首先對任意的n，都有cn。否則，若存在

K0，當kK有

cn，這與bk是cn的上 000k

ak，所以存在K0kK時，有0ak。又因為[akbk中至少含有cn中的一項，所以存在0

Note 證明：設數(shù)列cnmcnM記a1mb1Md1a1b1，若[a1d1cn中的無窮多項，則取[a2,b2a1d1，否則2[a2,b2]d2a2b2，若[a2d2中包含cn中的無窮多項，則取[a3,b3a2d22[a3,b3][d2,b2]；依次，得到區(qū)間套根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的實數(shù)

n

bn

n

ancn1[a1,b1cn2[a2,b2n2n1

[ak,bk]

nk1，則k

例：設數(shù)列anbnnk，使得ankbnk證明：由an得到收斂子列an；由bn得到收斂子列bnk，同時ankNoteRn中的有界點列存在收斂子列。定理（有限覆蓋定理(an,bn)是閉區(qū)間[ab的一個覆蓋，則存在n1n2,nN得[a,b] 1k

k

蓋[ab]。記[c1d1a,bm1c1d1，若[c1m1不能被(an,bn)2間覆蓋，則取[c2d2]c1m1，否則取[c2d2]m1m2c2d2，若[c2m2(an,bn)中的任意有限個區(qū)間覆蓋，則取2[c3d3]c2m2]，否則取[c3d3]m2d2根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的實數(shù)

n

cn

n

dn[cndn][ab] (an,bn)是閉區(qū)間[ab的一個覆蓋，所以存在(an,bn，使得(an n充分大時，就有[an,bn](an0,bn0) 例利用有限覆蓋定理證明若函數(shù)f(x)在[a,b]上則存在c[a,b]對任意的0，函數(shù)f(x)在(c,c)[a,b]上c[ab]c0(cccc[a,b

f